Mecánica orbital: ¿se estrellará un satélite?

Question

Mecánica orbital: ¿se estrellará un satélite?

sin importancia

Para un satélite con una velocidad y una posición iniciales sobre un planeta, me gustaría saber si experimentará una trayectoria elíptica, circular, parabólica o hiperbólica, o si chocará contra el planeta. La posición inicial $(x,y)$ en relación con el centro de Marte, y la velocidad $(v_x,v_y)$ son conocidos.

Siento que la órbita será circular si el potencial efectivo $U^*(r) = L^2/{2mR^2} - GMm/R$ está en un mínimo (con respecto a r), donde L=momento angular. diferenciando, $\frac{dU^*}{dr} = \frac{GMm} {r^2} - \frac{L^2}{mr^3} = 0$ . Y por lo tanto, si se somete a una órbita circular, el radio es $\frac{L^2}{GMm}%$ , ¿es esto correcto?

Si se ignora la resistencia del aire, ¿cuánta información se necesita para determinar si un satélite chocará contra un planeta o no? ¿Existe una energía mínima por debajo de la cual siempre entrará en espiral y chocará?

dmckee --- gatito ex-moderador

Nunca "entrará en espiral y chocará" mientras "se ignora la resistencia del aire" a menos que invoque la relatividad general o los efectos de múltiples cuerpos. En la mecánica newtoniana todas las "órbitas" de dos cuerpos en un

r^{- 1}

$r^{-1}$ potenciales---abiertas o cerradas---son secciones cónicas.

una mente curiosa

@dmckee: Bueno... todavía podría chocar contra el planeta si el pequeño eje de la órbita elíptica es más pequeño que el radio del cuerpo alrededor del cual está orbitando.

floris

@ACuriousMind: sí, pero eso no es "en espiral".

Respuestas (2)

Mecánica orbital: ¿se estrellará un satélite?

Nunca "entrará en espiral y chocará" mientras "se ignora la resistencia del aire" a menos que invoque la relatividad general o los efectos de múltiples cuerpos. En la mecánica newtoniana todas las "órbitas" de dos cuerpos en un $r^{-1}$ potenciales---abiertas o cerradas---son secciones cónicas.
@dmckee: Bueno... todavía podría chocar contra el planeta si el pequeño eje de la órbita elíptica es más pequeño que el radio del cuerpo alrededor del cual está orbitando.

floris · Answer 1

La ecuación de vis viva es

v^{2} = GRAMO METRO (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$

Esto nos dice que si conocemos la velocidad y la distancia radial de un satélite en cualquier punto de la órbita, podemos conocerla en cualquier otro punto. Podemos usar esto para responder a su pregunta.

Primero: el satélite escapará si el parámetro $a$ (el semieje mayor de la órbita) diverge (así que $\frac{1}{a}\rightarrow 0$ ), que sucede cuando:

v > \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{r}}

$v > \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

La trayectoria será parabólica cuando la velocidad sea exactamente igual a la velocidad de escape (excentricidad = 1):

v = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{r}}

$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Y para cualquier velocidad menor que esta, la trayectoria será elíptica. Que la órbita se sumerja por debajo de la superficie del planeta (es decir, que se estrelle) depende del valor de $a$ y la excentricidad $e$ . Lo sabemos $a$ está relacionado con la energía específica $\epsilon$ de la órbita por

ϵ = - \frac{2 GRAMO METRO}{a} = \frac{1}{2} v^{2} - \frac{GRAMO METRO}{r}

$\epsilon = -\frac{2GM}{a} = \frac12 v^2 - \frac{GM}{r}$

Así, basta conocer la velocidad y el radio instantáneo para conocer el parámetro $a$ :

a = \frac{2 GRAMO METRO}{\frac{GRAMO METRO}{r} - \frac{1}{2} v^{2}} = \frac{2 r}{1 - \frac{v^{2} r}{2 GRAMO METRO}}

$a = \frac{2GM}{\frac{GM}{r}-\frac12 v^2}\\ =\frac{2r}{1-\frac{v^2 r}{2GM}}$

Esto solo será válido para $v<v_{\rm{escape}}$ .

Ahora necesitamos usar esto para encontrar la distancia de acercamiento más cercano. Aquí necesitamos usar el momento angular. Tomando prestada la inspiración de esta respuesta , escribimos

| METRO | = | \vec{r} \times \vec{v} | = \sqrt{GRAMO METRO a (1 - {mi}^{2})}

$|M|=|\vec{r}\times\vec{v}|=\sqrt{GMa(1-e^2)}$

Podemos resolver esto para $e$ . Entonces usamos

\frac{r_{pag}}{r_{a}} = \frac{1 - mi}{1 + mi}

$\frac{r_p}{r_a} = \frac{1-e}{1+e}$

con el que te combinas $r_p + r_a = a$ para resolver $r_p$ . Y si eso es menor que el radio del planeta, se estrellará.

Dejaré los detalles de ese cálculo como ejercicio. Probablemente hay un atajo que olvidé.

estas usando $e$ y $\epsilon$ arriba. Para evitar confusiones, debe usar uno u otro, pero no ambos.
@ ja72: no son lo mismo. $e$ es la excentricidad, $\epsilon$ es la energía característica. Estos son los símbolos comúnmente utilizados. ¿Tiene alguna sugerencia de símbolos alternativos?
@ ja72 Sí, en el párrafo justo después de la ecuación para la velocidad de escape (comenzando con "Y para cualquier velocidad menor que esta..."). A menos que la "excentricidad $e$ " no es una definición suficiente para ti (también doy la relación entre excentricidad y perigeo/apogeo).
Otra forma de encontrar la excentricidad es tomar la magnitud del vector de excentricidad .

proyecto de ley n · Answer 2

Para un enfoque más conceptual: si la energía mecánica total ( $K+U$ ) es positivo, la órbita será hiperbólica. (Recuerda eso $U$ será negativo.)

Si $K+U = 0$ , la órbita será parabólica.

Si $K+U < 0$ , la órbita será algún tipo de elipse.

Si $K+U=\frac{U}{2}$ , la órbita elíptica será circular (excentricidad, $e$ = 0).

Si la órbita es elíptica y no circular, necesitas encontrar el periapsis:

r_{pag} = a (1 - mi) .

$r_p=a(1-e).$ Use el enfoque que da Floris para ese cálculo.

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