¿Cómo derivar la relación del cuadrado inverso en la Ley de Gravitación de Newton a partir de las leyes de Kepler?

Considere una órbita circular (la primera ley de Kepler nos dice que esto es posible, ya que los círculos son casos particulares de elipses). Por la segunda ley de Kepler, la velocidad$v$es constante a lo largo de la órbita. Podemos obtener su dependencia de$r$usando la tercera ley de Kepler :$T^2\propto r^3$. El resultado es$v^2\propto 1/r$.

Para que la órbita sea circular, la fuerza debe satisfacer

$$\begin{equation} F(r)=m\frac{v^2}{r}\propto\frac{1}{r^2}. \end{equation}$$

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¡ También podemos encontrar la dirección de la fuerza a partir de las leyes de Kepler! Trabajamos en dos dimensiones porque la primera ley de Kepler nos dice que las órbitas se mantienen en un plano. La aceleración en coordenadas radiales es

$$\begin{equation} \vec{a} = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}. \end{equation}$$ Note que el $\hat{\theta}$componente de la aceleración es sólo $\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})$, y eso $r^2\dot{\theta}$es la velocidad de área, que es constante según la segunda ley de Kepler. Por lo tanto, la aceleración tiene la dirección de $\hat{r}$, y también lo hace la fuerza. Este último debe ser entonces de la forma $$\begin{equation} \vec{F}(\vec{r})=-F(r)\hat{r}, \end{equation}$$ donde la dependencia sólo de $r$y no $\theta$es una consecuencia de la isotropía del espacio.