Constante de integración en la Teoría del Equilibrio de las Mareas

El autor está integrando sobre dos coordenadas angulares:

• $\phi$, el ángulo azimutal ("longitud"), que va desde$0$a$2\pi$, y
• $\theta$, el ángulo de altitud ("latitud"), que va desde$0$a$\pi$.

Al integrar utilizando coordenadas no euclidianas, se debe recordar multiplicar el integrando por el jacobiano de la transformación de las coordenadas euclidianas a las utilizadas en el integrando. En este caso, el integrando está en coordenadas esféricas con radio fijo$R$, entonces el jacobiano es$R\sin{\theta}$. Este es un resultado bien conocido cuya derivación se puede encontrar fácilmente en otros lugares. El$R$, y el factor de$2\pi$obtenido de la integración en el$\phi$-dirección, no están presentes presumiblemente porque, al ser constantes, se transfirieron fuera de la integral y se llevaron al otro lado de la ecuación que representa la conservación de la masa (solo la mitad de la cual está presente en el momento de la publicación).

El significado físico de esto es geométrico: imagina que se integra a través del área de superficie de una esfera usando tiras paralelas a las líneas de latitud. Tenga en cuenta que el área de estas tiras disminuye a medida que se acerca a los polos. el factor de$\sin{\theta}$describe la relación del área de una franja en la latitud$\theta$al área de la tira en$\theta=\pi/2$.