¿Cómo puede la energía cinética ser proporcional al cuadrado de la velocidad, cuando la velocidad es relativa?

Sin leer el resto de su pregunta, primero debo responder que uno no tiene nada que ver con el otro .

La energía cinética depende del marco, al igual que la velocidad .

El momento es proporcional a la velocidad y también depende del marco, al igual que la velocidad .

Ahora, mirando el cuerpo de tu pregunta:

Imagina que tú y tu pareja están en el espacio a la deriva juntos, a una velocidad desconocida.

¿ Velocidad desconocida relativa a qué ? ¿Velocidad desconocida relativa a la Tierra? ¿Velocidad desconocida en relación con el sistema solar? ¿Velocidad desconocida relativa al CMB?

Suponiendo naves espaciales de 100 kg, ¿5 kJ de energía siempre producirán 10 m/s de velocidad relativa?

¿ Relativo a qué ? ¿ En relación con el marco de referencia inercial inicial antes de la aceleración? ¿O relativo a algún marco de referencia en algún movimiento relativo arbitrario?

(El objetivo de todas estas preguntas es incitarlo a pensar más claramente sobre su pregunta con la esperanza de que usted mismo llegue a la respuesta...)

La paradoja de la bicicleta espacial

(también conocido como " Los Shadoks van al espacio " o " Cómo caminar en el espacio ")

Creo que esta es una linda pregunta. Aunque el estilo es un poco incómodo con respecto a los marcos y la velocidad, se presenta como una paradoja interesante. En pocas palabras, la pregunta es la siguiente (simplificando los detalles):
si conduzco una nave espacial, la invariancia del marco inercial me dice que obtengo el mismo aumento de velocidad por cada nueva unidad de energía utilizada para acelerar el movimiento. Pero si estoy en la Tierra andando en bicicleta, obtengo menos aumento de velocidad por cada nueva unidad de energía gastada en acelerar. ¿Por qué es diferente?

Por supuesto, los detalles importan, y debe haber una falacia en alguna parte , que identificamos analizando los detalles de los ejemplos. El cartel obviamente es consciente de que hay una falacia, pero tiene dificultad para desanudarla en los contextos en los que se afirma.

Aunque posiblemente pueda interpretarse como tal, no estoy de acuerdo con la opinión de que esta pregunta es puramente una cuestión de marco. La paradoja es mucho más un problema de conservación del impulso, probablemente originado en un problema pedagógico, ya que el impulso a menudo se ignora en los ejercicios sin colisión que se llevan a cabo en la superficie de la Tierra.

Por lo general, en los problemas que tienen lugar en la Tierra, tendemos a olvidar la Tierra. Pero está ahí. Afortunadamente !

La alta velocidad es dura en una bicicleta (¿por qué?)

La pregunta considera dos bicicletas A y B, que cada una acelera una primera vez con una cantidad dada de energía, y luego A acelera nuevamente con la misma energía. Pero A no duplica su velocidad, solo la multiplica por$\sqrt{2}$. Por lo tanto, su aumento de velocidad con respecto a B es solo alrededor de 0,414 de su primer aumento de velocidad debido a la inmovilidad en el suelo.

Analicemos el caso de las bicicletas. Todo esto es lineal, así que me olvido de los vectores. Y simplemente hacemos un análisis mayoritariamente cualitativo para entender lo que sucede. El resto es solo aplicar fórmulas. Asumiré, para simplificar abusivamente las cosas, que la superficie local de la Tierra es un marco inercial para la pequeña duración del experimento (es una aproximación que se usa con frecuencia). Entonces tomamos el terreno local como marco inercial para un primer análisis.

Suponga que la primera aceleración de$v_0=0$m/s a$v_1=10$m/s usó una fuerza$F$aplicado a distancia$d$por un tiempo$t_1$. Cada bicicleta ganó un impulso$Ft_1$y una energía cinética$K=Fd$con respecto a su marco inicial: Tierra.

Ahora la bicicleta A vuelve a acelerar, con la misma cantidad de energía. Puede hacerlo aplicando la misma fuerza$F$sobre la misma distancia$d$en la superficie de la Tierra. Como ya tiene velocidad, la distancia$d$será cubierto en un tiempo más corto$t_2$. Entonces esta aceleración le dará menos impulso.$Ft_2$, que el primero, lo que explica que la ganancia de velocidad sea menor.

Pero si hacemos el mismo análisis con respecto a la bicicleta amiga B , las cosas son diferentes. Mientras A acelera por segunda vez, el compañero B se mueve y en realidad cubre una distancia$v_1 t_2$. Entonces, la distancia recorrida por A con respecto a B durante la segunda aceleración es solo$d-v_1 t_2$. Por lo tanto, la energía gastada en acelerar es, desde el punto de vista de (marco) B,$K_B=F(d-v_1 t_2)$que es claramente menor que$K=Fd$.

Pero "sabes" que gastaste energía$K$, y algo de eso ha desaparecido desde el punto de vista de B. ¿Dónde se ha ido la energía? Bueno, desde el punto de vista de B, en realidad no se mueve: todos estamos inmóviles con respecto a nosotros mismos. Cuando A iba deslizándose, también estaba inmóvil con respecto a B, hasta que volvió a acelerar. Era la Tierra la que se movía debajo de las dos bicicletas a gran velocidad.$v_1$, en la dirección opuesta.

Cuando A aceleró, aplicó una fuerza de empuje en el suelo para avanzar, que se equilibró con una fuerza de fricción (reacción) del suelo. Es la fuerza de reacción la que hace el trabajo de acelerar A a lo largo de una distancia. En el marco de la Tierra. La Tierra no se mueve, por lo que ninguna fuerza unida a la Tierra realiza ningún trabajo. Pero en el marco Buddy B, la Tierra en realidad se está moviendo hacia atrás. La fuerza de fricción de la aceleración A aumenta la cantidad de movimiento de A, y este aumento tiene que ser robado en alguna parte (la cantidad de movimiento total no cambia). Entonces tiene que venir de la Tierra, es decir, de un cambio en la velocidad de la superficie de la Tierra (no se preocupe, no causará terremotos, como lo muestran las respuestas a varias preguntas en este sitio). La parte faltante de la energía se ha utilizado para acelerar el movimiento de la Tierra con respecto a B.

La alta velocidad es fácil en el espacio (¿o sí?)

Llevar el mismo problema al espacio, por mucho que tenga sentido (verás por qué), puede aclarar algunas cuestiones. Pero es realmente muy diferente.

La única forma de acelerar es intercambiando impulso con otra masa. Además del uso directo de los campos de fuerza naturales (como la gravedad), la forma habitual de hacerlo es agotando una masa de reacción a la velocidad de un motor de cohete. Lanzas la masa hacia un lado y te empujan hacia el otro lado con la variación inversa del momento. Dado que usted lleva la masa, el truco suele ser aumentar el impulso agotado utilizando alta velocidad con masas pequeñas , de modo que no termine sin masa demasiado rápido (a menos que sea un modelo superior).

Es posible que tenga un indicador en la pantalla que le diga cuánta energía gastó. Pero eso tiene un uso limitado porque no le dirá en qué lo gastó, ya que está acelerando tanto su nave como la masa de reacción agotada. La distribución de la energía está controlada por la preservación del impulso, de modo que tenemos en el marco de inercia inicial (como es bien sabido):

• conservación del impulso:$m_c v_c+m_r v_r=0$

• energía cinética :$1/2(m_c v_c^2+m_r v_r^2)= W$

donde índices$c$y$r$son respectivamente la nave y la masa de reacción agotada, y W es la energía gastada. Tenga en cuenta que inicialmente la masa de la nave es$m_c+m_r$ya que la nave transporta la masa de reacción que se va a agotar.

Si lo analiza desde otro marco inercial B yendo inicialmente a una velocidad$v$con respecto a la nave), descubres que la variación de la energía cinética es nuevamente$W$, aunque la energía cinética total incluye otro término$(m_s+m_r)v^2/2$que es la energía cinética inicial de la nave en el marco inercial B.

Ahora podemos abordar la primera pregunta:

¿5 kJ de energía producirán siempre 10 m/s de velocidad relativa, suponiendo naves espaciales de 100 kg?

La respuesta es casi sí (en mecánica clásica), siempre que todas las demás cosas a bordo se mantengan iguales. Lo cierto es que la nave siempre ganará la misma cantidad de velocidad con respecto a su marco de inercia anterior, siempre que gaste su energía de la misma manera. ¿Para qué más servirían los marcos inerciales?$\,$?

Sin embargo, la magnitud de esa velocidad será inferior a 10 m/s porque la energía gastada debe compartirse como energía cinética entre la nave espacial y la masa de reacción agotada. La relación de compartición permanece abierta con los datos proporcionados aquí, y también aumenta la velocidad.

Dado que todos los marcos inerciales tienen una velocidad constante entre sí, y dado que las velocidades se suman vectorialmente en la mecánica clásica, supongo que todo eso sigue siendo cierto en todos los marcos inerciales.

Pero como dije, esto es cierto si todas las demás cosas se mantienen iguales a bordo. Asumimos que, de alguna manera, la masa del barco se mantiene constante (la masa se mantiene mediante la transferencia desde otra embarcación: ¿reabastecimiento de combustible espacial?). La otra cosa que debe mantenerse sin cambios es la relación de distribución de energía entre la aceleración del barco y la aceleración de la masa agotada, medida en el marco de inercia del barco justo antes de la aceleración. Por supuesto, este marco de inercia cambia con cada aceleración.

En realidad, la energía se comparte en proporción a las velocidades respectivas de la nave y la masa de reacción agotada en el marco de inercia de la nave antes de la aceleración. si multiplicas por$v_c v_r/2$en la fórmula de conservación de la cantidad de movimiento, obtienes$K_c v_r + K_r v_c =0$, dónde$K_c$y$K_r$son energías cinéticas. Resulta que$K_c/K_r=-v_c/v_r=m_r/m_c$, la última igualdad resultante directamente de la fórmula de conservación del impulso.

Visto desde el barco, el intercambio de energía se controla mediante el control de la velocidad de escape (o masa de reacción agotada). Entonces, suponiendo que el cambio de masa sea insignificante, la respuesta a la pregunta es sí, para 5 kJ de energía, la velocidad siempre aumentará en la misma cantidad, aunque es menos de 10 m/s en magnitud, siempre que la velocidad de escape no cambie. Es velocidad en lugar de velocidad, ya que la nave podría cambiar su orientación.

Volver a la tierra

Esto lleva a la segunda pregunta:

Si 5kJ siempre produce 10m/s, ¿Por qué los segundos 5kJ solo producen 4.1m/s?

Bueno, eso fue cierto para la bicicleta y, como se insinuó antes, la situación es ligeramente diferente, porque la masa de reacción es la Tierra misma.

Cuando la bicicleta está inicialmente en reposo en el marco de tierra, era como si la Tierra fuera una masa de reacción llevada por la bicicleta (¿no eres fuerte?). Cuando la bicicleta se acelera al empujarla sobre la Tierra, la masa en el planeta es tal que esencialmente no se mueve en su cuadro inicial, mientras que la bicicleta sí lo hace, aunque sea lentamente. Entonces, si consideramos la fórmula de relación de energía compartida anterior, la relación de velocidad$v_c/v_r$es prácticamente infinito porque$v_r$es cuasi nulo. Lo mismo es cierto entonces para la relación de energía$K_c/K_r$, para que toda la energía vaya a parar a la bicicleta, y nada al planeta. Y esta es la razón por la que la bicicleta acelera a 10 m/s, convirtiendo toda la energía en energía cinética.

Pero la situación es diferente para la segunda aceleración. En el caso de la nave espacial, lleva su masa de reacción a su propia velocidad. Pero en el caso de la bicicleta, la segunda aceleración se obtiene empujando una masa de reacción que se mueve con respecto a la bicicleta. Es como un astronauta en el espacio que está alcanzando una gran roca y la patea al pasar para obtener más velocidad, no como una nave que expulsa la masa que lleva en su propio marco de inercia.

Luego, el análisis se puede realizar en el marco de la roca, que es similar a nuestro análisis en el marco de la Tierra, o en el marco inicial del astronauta, que es similar al análisis en el marco de la bicicleta amiga B.

Como conclusión temporal, también hay naves espaciales que utilizan la técnica de " patada al pasar " para acelerar. Todavía son ciencia ficción, pero se han considerado seriamente. Son las naves espaciales estatorreactores y funcionan un poco como los aviones estatorreactores, con las mismas limitaciones de velocidad mínima, pero utilizando polvo y gas espaciales en lugar de aire como masa de reacción acelerada. Se supone que la " versión más avanzada ", el estatorreactor Bussard , también recolecta energía del espacio circundante, pero esa es otra historia.

Tenga en cuenta que aquí, los "quemadores" producen aceleración al expulsar masa de rápido movimiento. La conservación de la cantidad de movimiento hace que el barco vaya más rápido. Ambos observadores medirán el mismo cambio de velocidad.

Sin embargo, alguien en un marco "estacionario" (o cualquier otro marco con una velocidad diferente) medirá el mismo cambio de velocidad pero un cambio diferente de energía. La velocidad, la energía y el momento son todos relativos, pero para marcos inerciales, la velocidad y el momento son linealmente relativos (por lo que podemos sumar o restar una constante para una transformación dada), mientras que la energía es cuadrática.

Suponiendo naves espaciales de 100 kg, ¿5 kJ de energía siempre producirán 10 m/s de velocidad relativa?

En este caso, donde la velocidad relativa inicial es 0, sí. Pero no en general, porque si parten de otra

Tanto el impulso como la velocidad deben ser relativos a la misma cosa. En otras palabras, si los dos ciclistas van a la misma velocidad, el impulso de uno de los ciclistas con respecto al otro es cero. Si chocaran entre sí, ambos moviéndose a la misma velocidad, no pasaría nada.

En cuanto a la fórmula, no se puede decir que$5KJ$produce$10m/s$y luego otro$5KJ$ $4.14 m/s$. La fórmula no es asociativa.

Para responder primero a su última pregunta: la energía depende del cuadrado de la velocidad, no de la velocidad en sí.

$$E \propto v^2$$ o $$v \propto \sqrt{E}$$

Lo que significa que cuando duplicas la velocidad, cuadruplicas la entrada de energía. Para el ejemplo que habías dado, para obtener una velocidad de$20$ $m/s$tendrías que dar una entrada de energía de$20$ $kJ$. Claramente, cuando duplica la entrada de energía, solo verá un aumento en la velocidad proporcional a$\sqrt 2$, y en tu caso eso es$1.414 * 10 = 14.14$, que es exactamente lo que tienes.

Esperemos que esto aclare algo de su confusión. Para responder a su pregunta del título: como ya han señalado otras respuestas, tanto el impulso como la velocidad son relativos. En la relatividad especial, el impulso se transforma como

$$p = \gamma mv$$ dónde $v$es la velocidad del cuerpo en un marco de referencia, y $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$$ dónde $u$es la velocidad relativa entre los dos marcos de referencia. Entonces, cuando un observador mide una velocidad diferente debido a su marco de referencia, también medirá una energía cinética diferente.

Bueno, para entender esto de manera más intuitiva, calculemos el siguiente ejemplo. Tenemos 3 cohetes de 100 kg uno al lado del otro flotando en el espacio. El cohete 1 y el cohete 2 tienen la misma velocidad y el cohete 3 tiene una velocidad$v_{int}$diferente del cohete 1 y 2. Cuando llame al cohete 1 nuestro observador y a dónde fue, intente que el cohete 2 alcance la misma velocidad que el cohete 3

En el espacio no podemos hablar de acelerar sin quemar algo de masa o/y cambiar a la relatividad. entonces, para permanecer en el régimen clásico, tendré que introducir la ecuación del cohete

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_{init}} {m_{final}}$$ dónde $v_e$es la velocidad efectiva de la masa expulsada. Y $\Delta v$es el cambio en la velocidad del cohete. Y $m_{init}$, $m_{final}$son la masa antes y después de la llamada quemadura. La velocidad del escape $V_e$en el marco del observador está relacionado con la velocidad del escape en el marco del cohete $v_e$por (ya que la velocidad de escape está en la dirección negativa) $$V_e=V_{rocket}-v_e$$

ahora digamos que el cohete 2 tiene un motor tal que si expulsa 1 kg de combustible ($\Delta m$) alcanzará una velocidad$V$igual al cohete 3. entonces

$$\Delta v = V - 0 = v_e \ln\frac{100}{99}\approx0.01 v_e$$ por lo que nuestro motor teórico tiene un $v_e$de 100. Lo que nos dice que hay una nube de polvo o combustible que va en la otra dirección con una velocidad de $100V$ahora comprobamos la energía cinética utilizada para alcanzar esa velocidad. $$E_2 = \frac{1}{2} \left[ m_{final} * V_{final}^2 + \Delta m*(V_e)^2\right] \\=\frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 1*(100V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 10000*V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} 100 99 * V^2$$ Donde he sumado la energía cinética de la masa expulsada más la energía cinética final del cohete. Puede ver claramente que la cantidad de energía química convertida en energía cinética depende en gran medida de su elección de $\Delta m$. Entonces, esto es en el espacio donde expulsamos una cantidad muy pequeña de nuestra masa y el resultado es que necesitamos una cantidad muy grande de energía (en comparación con nuestra energía cinética final) para alcanzar nuestra velocidad objetivo.

Pero entonces, ¿por qué no importan expulsar masa para una bicicleta? La razón de esto es que en la tierra la masa que expulsas es muy, muy grande. básicamente estás expulsando la tierra misma, así que$v_e$se hace cada vez más pequeño el término extra$\Delta m v_e^2$se vuelve cada vez más pequeño. esto se debe al hecho de que$v_e$cuadrados y$m$es solo lineal.

entonces, cuando pregunta si siempre producirá 10 m/s delta v, ellos responden que depende. ¿Sigues impulsando con la misma relación de masa porque eso es lo más importante en la mecánica de cohetes?

La energía cinética depende del marco.

La razón es muy simple: la energía cinética es la diferencia entre Mc ^ 2 (no sé cómo escribir cuadrado aquí) y el resto de la energía M0c ^ 2. M depende de v, que depende del marco, por lo que obv la energía cinética depende del marco.

Nota: Traté de darte una explicación lógica aparte de E=1/2mv^2