Estás muerto bastante rápido en este escenario.

Y es genial que hayas traído esto a nuestra atención.

La fuerza requerida para mover el aire dentro y fuera de los pulmones no es el problema. El aire en el bolsillo que rodea inmediatamente su cuerpo está en el mismo marco de tiempo que sus pulmones. Por lo tanto, la respiración es bastante normal.

El problema real es el intercambio de atmósfera a través del diferencial de tiempo. ¿Cuánto diferencial puede haber, antes de que la acumulación de CO2 dentro de tu burbuja de tiempo te mate?

Y lo peor de eso es que mientras su superhéroe puede entrenarse a sí mismo para respirar un alto porcentaje de CO2, como caminar mucho a gran altura... su superhéroe no puede hacer nada con respecto a la lentitud con la que se mueven las moléculas entre los marcos de tiempo

Lo cual depende completamente de cómo definas esa transición en tu historia.

Disfruté de la ficción que sugiere que las cosas pueden moverse entre flujos de tiempo (p. ej., la película interestelar donde el tiempo se ve afectado por la gravedad de un agujero negro) y donde no pueden (p. ej., Star Trek NG "Time's Arrow" ).

Desafortunadamente, eso significa preguntarnos qué tan rápido esas moléculas pueden moverse a través del diferencial es demasiado basado en historias. Si la naturaleza de su superpoder no permite ningún movimiento a través del diferencial, incluso con entrenamiento (y debido al poco aire que se mantiene a pulgadas del cuerpo), su superpersona tiene minutos en cualquier momento diferencial antes de sufrir hipoxia cerebral... y solo un unos minutos después de eso antes de morir. Si permite el movimiento a través del diferencial, entonces debe decirnos cuál es la ecuación que define el movimiento.

Sin embargo, hay un poco de frialdad cómica aquí.

¿Dije que moriría? Je... no realmente. Lo que haría sería perder el conocimiento y supongo que su superpoder se apagaría junto con su conciencia. Hasta que conoció sus límites, parecía acelerar y luego colapsar y patinar sobre el pavimento, sufriendo un rasguño sustancial en la carretera.

JBH tiene una excelente respuesta. Pensé en agregar un problema diferente: morir congelado.

Existes en equilibrio térmico con tu entorno: la cantidad de calor que exportas por radiación/convección/conducción es igual a la cantidad que absorbes, y la red te permite mantener la temperatura de tu cuerpo. Dado que está generando calor internamente, la temperatura de su cuerpo es mayor que la de su entorno (la mayor parte del tiempo).

Supongamos que está operando al doble de la tasa "normal". Ignorar la conducción. ¿Lo que sucede? Tu entorno es radiantemente frío, ya que desde tu punto de vista irradian con la mitad de la potencia que normalmente emiten. En términos generales, los objetos irradian a una velocidad proporcional a la cuarta potencia de su temperatura (donde la temperatura está en grados Kelvin). La temperatura ambiente es de unos 300 grados Kelvin. Por lo tanto, su entorno está efectivamente a 252 grados K, o alrededor de -54 grados F. Además, la convección no proporcionará mucho calor por la misma razón que no proporciona mucho oxígeno, especialmente si no se está moviendo.

Desde el punto de vista del resto del mundo, te has vuelto extremadamente caliente y seguirás así mientras te congeles.

Respuesta corta: la asfixia no será un problema

Incluso sin respirar, tu héroe puede hacer mucho. El buceo libre, donde las personas no respiran en absoluto, tiene registros que implican una actividad física considerable de alrededor de 20 minutos o más (el récord actual de simplemente contener la respiración en una piscina es de más de 24 minutos). Todo el mundo puede aprender a contener la respiración durante más tiempo, hasta cierto punto, y tu héroe tiene un muy buen motivo .

La hipoxia y la toxicidad del CO2 solo surgirían de manera algo gradual y probablemente no serían demasiado dañinas (aparte de los accidentes y la mala suerte) porque cualquier efecto de moderado a severo, como efecto secundario, presumiblemente eliminaría el problema.

También tienen muchas formas de mitigar el problema de la asfixia. Sería bastante simple hacer algún tipo de unidad depuradora/rebreather de CO2 con forma de cuerpo delgado, y/o también una unidad de suministro de oxígeno/concentrador de oxígeno si es necesario, que encaje en el espacio de efecto, lo que proporcionaría ayuda respiratoria a largo plazo.

Pero las matemáticas de la durabilidad bajo la respiración "ordinaria" son divertidas. Así que vamos a intentarlo...

¡Usando Matemáticas!

Centrándose solo en la asfixia (no calor, frío, impulso, etc.):

El aire no respirado contiene ~79 % de nitrógeno, 21 % de oxígeno, 0,03 % de CO2. El aire exhalado tiene el mismo nitrógeno pero más cerca del 16 % de oxígeno/5 % de CO2. Un adulto en reposo respira alrededor de 10000 - 15000 L de aire por hora ( 1 2 ). El CO2 se vuelve incómodo, luego incapacitante, luego tóxico, sin embargo, en concentraciones bajas, y eso es independientemente del nivel de oxígeno en el aire. Esta página sugiere que

• 0,1% CO2 = dolor de cabeza
• 1% CO2 = concentración de fatiga caliente y pegajosa + "piernas de gelatina"
• 2% CO2 = respiración 50% más rápida (aproximadamente una respiración cada 2 segundos, no 3 segundos, en reposo), dolor de cabeza después de algunas horas, cansancio.
• 3% CO2 = respiración doble (jadeo), fuerte dolor de cabeza, mareos, alteraciones visuales y auditivas (chispas, baja visión nocturna), presión arterial alta. "Extremadamente lento pero no suele ser fatal"
• 4-5% CO2 = "inmediatamente peligroso", además de lo anterior, 4x respiración normal, asfixia/sensación de "incapacidad para respirar", inconsciente <30 minutos, exposición prolongada = posibles efectos permanentes y riesgo de muerte.
• 5%+ CO2 = adicionalmente: tinnitus, confusión, jadeo, problemas de visión
• 10% CO2 - inconsciencia/muerte en minutos.

Su superhéroe probablemente responderá a estos de una manera autolimitada: cuanto menos funcionales sean, más probable es que abandonen el compromiso de las superpotencias debido a la angustia o, en el peor de los casos, a la inconsciencia).

El aire deficiente en oxígeno (hipoxia) también es peligroso. Esta página sugiere que:

• 15-19% afecta el pensamiento, la coordinación y el juicio
• 12-15% causa mala coordinación/juicio, fatiga por el esfuerzo y malestar emocional
• 10-12% causa coordinación/juicio "muy pobre", náuseas/vómitos, posiblemente pérdida del conocimiento en minutos, dificultad para respirar, posible daño cardíaco.
• <10% inconsciencia casi inmediata, letargo físico, convulsiones, muerte.

Podemos suponer que la asfixia implica 2 problemas: el que ocurra antes, por hipoxia (falta de oxígeno) y toxicidad por CO2.

También necesitamos una idea del volumen de aire y la tasa de difusión. Esos son muy ondulados, pero supongamos que el efecto se extiende alrededor de 6 a 8 pulgadas (15 a 20 cm).

• Los humanos tienen ~ 1.5 - 2 m2. de piel ( Wikipedia ) por lo que la persona tiene un volumen de aire de ~ 225-400 L transportado por el efecto. Supongamos que el desvanecimiento si el efecto con la distancia significa que solo obtienen un uso efectivo del 60% de este volumen, efectivamente tienen un espacio de aire de 135-240 L de aire utilizable. También ignoraremos la difusión alrededor de la forma del cuerpo y supondremos que el aire cercano a ellos se puede mezclar bien.
• La respiración produce un volumen igual pero con un 5 % de CO2 en lugar de despreciable, por lo que producen alrededor del 5 % x (10k - 15k) litros de CO2 en una hora, o alrededor de 500 - 750 L/h, o 8,3 - 12,5 L/min. Usan oxígeno a aproximadamente 2.1k - 4.1k L/hr (10-15k respirados x 21% O2), o alrededor de 35A esas tasas, es probable que el CO2 sea, con mucho, el problema más grave.
• El CO2 se filtra y el O2 se filtra, en cierta medida. No voy a hacer las ecuaciones diferenciales para presiones parciales de gas en un escenario de física manual, en cambio, ignoraré esto por ahora y veré qué escala de tiempo obtenemos inicialmente. , sin difusión (peor caso).
• También voy a suponer que están relajados y conservan energía (saben que hacer un poco, respirar lentamente y repetir una vez que recuperan el aliento, es mejor que hacer mucho a la vez). Entonces usan oxígeno a tasas cercanas al reposo.
• También asumo que no proyectan a la fuerza el aire exhalado, para obtener mayores tasas de aire fresco.

Sobre esas suposiciones, y simplificando mucho, debería ser fácil graficar cómo van su oxígeno y CO2, y más o menos cuándo se vuelve difícil/peligroso debido a cualquiera de estos.

Problema..

Pero no es tan fácil, primero voy a tener que pensar mucho en cómo conciliar 2 cifras muy diferentes:

• varios sitios dicen que una persona respira 10k-15k aire por hora
• pero también tenemos unas 20 respiraciones por minuto en reposo = 1200 respiraciones por hora, con un volumen corriente de ~ 1/3 L, lo que sugiere una ingesta corriente de 400 L/hora. (Además de 2,5-3 L de volumen residual).

Una vez que descubra de qué se trata, intentaré terminar esto. Pero por ahora, esto debería ser lo suficientemente útil como para agregarlo de todos modos.

Mitigación/ayudas respiratorias

El truco es que podrían mitigar ambos problemas de asfixia con bastante facilidad. El efecto se extiende unas pocas pulgadas, y eso es mucho espacio para colocar un suministro de oxígeno delgado hecho a medida, una unidad concentradora de oxígeno o una unidad de reciclado/depurador de CO2, si es necesario. Esas cosas pueden ser bastante pequeñas y pueden diseñarse planas, para que encajen contra la piel dentro de las "pocas pulgadas" del efecto.

Entonces, después del primer par de incidentes desagradables, que son mala suerte / accidentes de supervivencia a un lado), su héroe se entera de que necesita esto, y lo desarrolla o lo hace personalizado, lo prueba, lo refina y luego se ríe felizmente la próxima vez.

La siguiente es una respuesta muy larga, pero valdrá la pena, aunque solo sea porque llega a la conclusión opuesta en comparación con la pregunta y todas las respuestas hasta ahora.

Para tener una mejor idea de lo que va a pasar, vamos a pasar por el proceso de prueba.

Para empezar, te has dado cuenta de que tu campo de tiempo es básicamente lo contrario de la dilatación del tiempo que ocurre cerca de los agujeros negros o cuando te mueves a una velocidad tremenda pero sin la gravedad negativa o la energía cinética necesaria para obtener esa aceleración del tiempo. tú mismo. Un campo de dilatación del tiempo simularía algo similar a lo que estás experimentando: el tiempo fuera del campo de dilatación se acelera en comparación con el tiempo dentro del campo de dilatación y sabemos que la materia es libre de moverse entre esas barreras de tiempo sin problema. Entonces sabe que el aire aún se difundirá en su campo.

Ahora que te has mudado al desierto y quieres empezar despacio quedándote quieto mientras activas tu campo, nunca sabes lo que va a pasar, ¿verdad? Así que activas tu campo de aceleración del tiempo, te aceleras al doble del tiempo y esperas.

Lo primero que notas es que te estás calentando. Si bien recibe menos calor radiativo de su entorno y sigue generando el mismo calor radiativo por unidad de tiempo, también está produciendo más calor y está algo aislado del mundo exterior. El calor radiativo es una de las formas menos eficientes de perder calor (razón por la cual el espacio es un buen aislante a pesar de que hace frío, ya que la mayoría de las veces puedes perder calor a través de la radiación), por lo que la ganancia neta de estar aislado del mundo exterior te hace sentir más cálido durante bastante tiempo, pero va a hacer más frío si esperas lo suficiente.

En comparación con usted, las partículas de aire en su piel no se aceleran en absoluto, pero en comparación con el mundo exterior, irán el doble de rápido. ¡Actúan como si tuvieran el doble de energía térmica pero sin la energía cinética real! Para lograr el equilibrio, las partículas de aire junto a su piel deberán reducir la velocidad a la velocidad de las partículas fuera de su campo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy

La energía cinética de las partículas de aire junto a su piel disminuirá. E=0,5*m*V^2. Independientemente de la masa, cualquier pérdida del 50 % de la velocidad significa una pérdida del 25 % de la energía, ¡así que el aire que te rodea está a punto de volverse mucho más frío! Lo que es peor es que esto es solo una aceleración de tiempo 2x, en cualquier aceleración múltiple más alta, ¡esta diferencia crecerá exponencialmente! Pero no va a ser instantáneo. Si el aire a tu alrededor fuera el doble de caliente que el entorno, simplemente se dispersaría lentamente. Por lo tanto, toma un tiempo antes de que comience a sentir más frío, especialmente porque ahora está generando más calor y perdiendo menos. La forma en que actúa su campo también lo protege: las partículas de aire que chocan entre sí apenas tendrán diferencia de tiempo, incluso en los bordes de su campo de tiempo.

Pero mientras estás parado en tu entorno cada vez más frío, notas algo peor: la presión del aire está cayendo a tu alrededor. La barrera del tiempo hace que sea más difícil para las partículas de aire escapar, ya que empujan contra las partículas de aire "ralentizadas" que requieren mucha más energía para moverse. Aún así, dado que sus partículas se mueven más rápido en comparación con el resto, tendrá más partículas de aire que "escaparán" de su zona acelerada de tiempo y menos regresarán a ella. A medida que la presión cae con aceleraciones de tiempo más altas, seguirá cayendo hasta que pueda sufrir hipoxia. Por un momento entras en pánico y mueves la cabeza... Y el dulce aire fresco de presión normal entra rápidamente mientras mueves el campo de aceleración del tiempo sobre ellos. Algo que parece faltar en las otras respuestas es que mientras te muevas, "empujarás" presión normal y aire a temperatura normal en su campo de tiempo. Y ese aire se puede inhalar y exhalar fácilmente. El CO2 y el aire frío a baja presión quedarán detrás de su cuerpo, ¡así que la asfixia no será inminente! Todavía.

Para evitar la hipoxia, comienzas a moverte a un ritmo pausado mientras juegas con la aceleración. Lo que notas de inmediato es que la gravedad sigue siendo la misma, pero cada movimiento que haces tiene mucha más fuerza detrás. Anteriormente, podría poner 10 newton por segundo para mover una extremidad en particular, pero debido a la aceleración del tiempo, parece que el mundo exterior pone 20 newton por segundo. Afortunadamente, no estarás saltando una milla y muriendo por el impacto cuando camines, ya que cualquier cosa dentro de tu campo actúa normalmente, por lo que podrás caminar normalmente (la gravedad tampoco cambia). Cualquier interacción con el mundo exterior donde una parte del objeto está fuera de tu campo (por ejemplo, una persona a la que golpeas) experimentará el efecto completo de tus newtons adicionales por segundo acelerados en el tiempo (además del campo de aceleración del tiempo).

A medida que comienza a ir más rápido, nota una acumulación de presión de aire frente a usted, lo que ralentiza su velocidad. El campo de tiempo evita que el aire frente a usted se escape fácilmente hacia el aire no acelerado que lo rodea. Intenta fluir a tu alrededor, pero el flujo normal se ve ahogado por los límites del campo del tiempo. Este tipo de presión te hace pensar en una nave espacial que vuelve a entrar en la atmósfera y se calienta y te da miedo por un momento, pero nunca alcanzarás la velocidad suficiente para calentarte ( https: //what-if.xkcd .com/28/ ;) ). De hecho, se estará enfriando a medida que el aire que antes lo aislaba ahora fluye contra usted a una velocidad acelerada. La rapidez con que te enfríes depende de la temperatura del aire, pero está ahí.

A medida que el aire frente a usted se acumula y lo empuja, comienza a sentir un "tirón" detrás de usted. Normalmente, cuando te mueves, el aire a tu alrededor llena el área que dejaste. Desafortunadamente, la mayor parte del aire se ralentiza y el área de alta presión frente a usted tendrá que intentar llenarlo. Esto acelera aún más el aire alrededor de su cuerpo, causando un posible flujo ahogado ( https://en.wikipedia.org/wiki/Choked_flow ). No es agradable de ninguna manera, ¡vas a tener frío!

A medida que acelera, el aire lo enfriará y el aire a mayor presión comenzará a ahogarlo ( https://biology.stackexchange.com/questions/41639/breathing-becomes-harder-in-certain-wind-conditions ). A medida que corre más rápido, corre el riesgo de morir de hiperoxia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoxia ), en lugar de hipoxia.

Es probable que el frío sea el primer problema, pero también tiene una solución ridículamente simple: use un abrigo. Los peores problemas ocurren en tu piel debido a la diferencia horaria, pero una capa cubriría y aislaría el aire en el punto donde está la peor diferencia horaria. Podrías simplemente llevar una mochila con unos cuantos abrigos (y un chubasquero, funcionan de maravilla contra el viento), y cada vez que quieras acelerar el tiempo más rápido te detengas un momento, te pongas un abrigo más grueso y luego empieces a correr de nuevo. Esto debería hacer maravillas para protegerlo contra el frío y el flujo ahogado.

Sin embargo, aún morirás de hiperoxia si vas demasiado rápido. Solo con tanques de aire cerca de su cuerpo esto sería solucionable, solo asegúrese de que todo el aire esté dentro de la zona de máxima aceleración del aire o la diferencia de presión en el tanque podría causar problemas para su respiración.

No sé en qué momento el frío o la presión serán un problema. Pero esto es solo un comienzo para descubrir a qué velocidad podría ir al máximo. Teniendo en cuenta que algunas personas han sobrevivido a las desintegraciones de aviones de velocidad MACH múltiple y sobrevivieron (vinculados en What-if, sobrevivieron a través de sus trajes presurizados e inmediatamente disminuyeron la velocidad, por lo que solo van así de rápido por una fracción de segundo) probablemente podría estar yendo bastante mal rápido con la preparación adecuada, pero no por mucho tiempo.

¡Te ves caliente!

Considere: su temperatura corporal normal es de 300 K y tiene una longitud de onda máxima de 9,7 micrones. Si corres a 3 veces la velocidad, la longitud de onda de tu radiación se reduce en un factor de 3, lo que corresponde a 900K, un resplandor rojo sombrío.

Sube a 5 veces la velocidad del tiempo y a un extraño, y serás de color amarillo brillante.

Pero también se presenta el otro problema.

La luz del exterior se desplazará hacia el rojo. Incluso con una aceleración de 2-3, la luz visible se desplazará al rojo hacia el infrarrojo; tendrías que ver por lo que el resto de los mortales llamamos UV. Durante el día hay suficiente UV para que puedas ver, aunque el mundo estará oscuro. También tendrá un color seriamente distorsionado. Para tener una idea, mire la película de color infrarroja.

Por la noche estarías ciego con aceleraciones de más de 2. Es posible que tengas que moverte como una cucaracha, que aparentemente no tiene suficiente cerebro para ver y correr al mismo tiempo. Ellos corren. Detener. Pique. Detener.

O podría llevar una linterna. Sus fotones se desplazarían a la salida UV y se convertirían en su regreso visible. Ten en cuenta que esta linterna podría causar graves daños a las personas que te rodean. Las fuentes de luz ultravioleta brillante no son buenas para los ojos de las personas.

Suponiendo que no te asfixies o te congeles hasta morir...

Sería extremadamente ruidoso, hasta el punto de causar daños permanentes en la audición de todos los que lo rodean, romper elementos frágiles como vidrios y computadoras, y causar daños estructurales en cualquier edificio al que ingrese. Tal vez incluso matar a todos los que caminan cerca.

La superficie de su burbuja de tiempo actuará como una especie de horizonte de eventos invertidos para el sonido, donde el sonido puede salir, pero no puede entrar.

Cada respiración que hagas producirá ruidos silenciosos que se propagarán a la velocidad del sonido hasta el borde de la burbuja del tiempo, hasta su propio horizonte de eventos.

Cada vez que cepillas tu ropa. Cada paso. Cada latido del corazón.

Cada sonido se sumará a la amplitud del sonido que ya está en el borde de su burbuja de tiempo, simplemente construyéndose, componiendo y, aunque no habrá pasado tiempo para nuestros observadores afuera, desde la perspectiva de nuestro héroe, ese sonido solo está esperando. nosotros para liberar el control del tiempo, para tener un momento de falta de atención, luego BOOM, hay una explosión como la presión pura, que se comporta como la detonación de un alto explosivo, completo con el daño por sobrepresión a todo lo que está cerca.

Otro tema a considerar, ya que el título pregunta sobre problemas/límites en general (no solo asfixia). ¿Serían estables los gradientes de presión? Es decir, si su aire tiene una física diferente (diferente distribución de velocidades y diferente flujo de entrada / salida de energía "como se ve desde el otro lado", ¿tendría un problema de que el aire en su burbuja es más o menos energético simplemente por estar en ese parte del espacio-tiempo , y por lo tanto surge una situación inestable en la que el aire tiende a abandonar constantemente el espacio, lo que lleva a una baja presión/vacío, o se mueve constantemente hacia él? ¿Podría esto conducir a una presión de equilibrio (o falta de una) que fuera perjudicial a tu héroe?

Comencemos con una burbuja de tiempo con una superficie dada$S$, factor tiempo$F$y opacidad$R$.

• $S$describe la forma de la superficie en sí (en la que será necesario hacer integraciones). Evidentemente,$S$es una superficie continua cerrada (de lo contrario, nada tiene sentido).

• el factor tiempo$F$indica el factor en el que el tiempo se acelera en el interior$S$.

• $R$es la reflectividad, un número adimensional entre 0 y 1, que indica la probabilidad de que una molécula aleatoria choque$S$y se refleja de vuelta.

Distribución de velocidad

Comenzaremos con la distribución de Maxwell-Boltzmann y la compararemos dentro y fuera de$S$. La función de densidad de probabilidad es:

Dónde$k$es la constante de Boltzmann,$T$es la temperatura del ambiente. Esto da la densidad de probabilidad de encontrar una partícula con velocidad$\mathbf v$. Esta probabilidad cambiará debido al campo de tiempo.

En aras de la simplicidad, pasemos al interior del campo y analicemos el exterior (podríamos hacer lo contrario y deberíamos obtener los mismos resultados). Afuera, el tiempo se ralentiza por factor$F$.

Es decir, la velocidad de todo es más lenta por un factor$F$. Por lo tanto, la función de probabilidad fuera de los desplazamientos:

Para ver que esa es la probabilidad real, se puede calcular la velocidad media$\langle v\rangle$y ver que se ralentizó por$F$. Otra posibilidad es$v_{rms}$.

el añadido$F^2$dentro de la exponencial cerca de la velocidad se explica, pero el agregado$F^2$cerca de la temperatura fuera de la exponencial, se debe únicamente a la normalización; después de todo, estamos hablando de una función de densidad de probabilidad.

La media sigue siendo cero incluso con$F$, pero ahora la desviación estándar de la distribución de velocidades es diferente. Tenga en cuenta que no tiene sentido que cambie la temperatura, porque todos los fenómenos físicos se han ralentizado: las velocidades lo hicieron, pero también la transferencia de calor y todo lo demás que implica movimiento real.

El equilibrio se alcanza cuando el número de moléculas por unidad de tiempo que salen de la burbuja es igual al número de moléculas por unidad de tiempo que entran en la burbuja. Para$F=1$, esto es trivial. Para$F\neq 1$, si estamos dentro de la burbuja, las partículas del exterior se moverán mucho más lentamente (el cambio en la distribución de la velocidad). Inicialmente , entrará menos en la burbuja y saldrá más, lo que hará que la densidad de partículas en la burbuja disminuya, hasta que se alcance el equilibrio: hasta que el flujo sea igual. Entonces, esperamos que el aire dentro de la burbuja se vuelva mucho más delgado, luego en el exterior (por$F>1$). Al revés, si$F<1$, la atmósfera interior tendrá mayor presión que la exterior. Nuestro objetivo es calcular la relación de densidades moleculares (o la relación de presiones) con respecto a$R$y$F$. :).

Necesitamos calcular el número exacto de partículas/moléculas por unidad de tiempo que van de afuera hacia adentro (cruzando la barrera). Llámalo,$s_{io}$Ese número, es:

¡Suerte con esa integral! Lo vas a necesitar.

Atmósfera dentro de la burbuja del tiempo

En realidad, ya tenemos mucha suerte: el gas se distribuye isotrópicamente, no hay potencial externo y podemos hacer todo tipo de buenas aproximaciones, porque es cierto.

Simplifiquemos. Dejar$n_i$Sea la densidad dentro de la burbuja, y sea$n_o$sea ​​la densidad exterior. Lo mismo para las presiones$p_i$y$p_o$. Asumiremos que la burbuja de tiempo tiene una forma 'cúbica', lo que permitirá una simplificación considerable de la integral de superficie. Pero, debido a la isotropía, el resultado sigue siendo válido para formas complicadas. Además, estemos dentro de la burbuja. Dejar$s_{io}$el flujo de adentro hacia afuera (el número de partículas por unidad de tiempo por unidad de área que salen de la burbuja). Y deja$s_{oi}$Sea el flujo de afuera hacia adentro (el número de partículas por unidad de tiempo por unidad de área que ingresan a la burbuja). Calcularemos estas cantidades para$yz$plano, pero cualquier otro cálculo de cara es análogo.

En expansión:

Integrando:

De este modo:

Análogamente, podemos calcular el otro factor de la misma manera:

Y llegaremos a:

Exigiendo equilibrio, finalmente llegamos a:

Usando la ley de los gases ideales,$P = nkT$, también obtenemos la relación de presión entre el exterior y el interior:

La presión en el interior cae como$1/F$. Si la presión exterior es de 1 atm, si$F=10$veces más rápido en la burbuja, entonces, la presión en el interior será de 0,1 atm. No es una buena presión para respirar mientras se ejecuta... Tenga en cuenta que la relación de presión no depende de la opacidad de la burbuja de tiempo$R$, como el$R$cancelar.

Tiempo para alcanzar el equilibrio

Ahora, debido a que estas son ecuaciones de equilibrio, no hay idea de cuánto tiempo tomará alcanzar el equilibrio. Eso es lo que vamos a investigar aquí. Pero, eso no es difícil de calcular. Para eso definimos$N_i$la cantidad de moléculas en el interior, y$N_o$la cantidad de moléculas en el exterior. Debido a la conservación de partículas, si 1 partícula salió de la barrera, entonces, existe una partícula menos dentro. Lo aplicamos:

Por lo tanto:

Por lo tanto, nos queda la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

Afortunadamente, eso es fácil de resolver. La solución es simplemente:

Podemos poner la solución en la forma:

Dónde$t_c$se llama constante de tiempo. Ese tiempo nos da una pista, una intuición, de cuánto tarda el sistema en relajarse hasta el equilibrio. Ese tiempo es:

Note algo importante: aparentemente, la constante de tiempo no depende del factor tiempo$F$(Ojalá no haya cometido errores en los cálculos, siéntase libre de verificar) (aunque ahora que lo pensé, tiene un poco de sentido: si dos ambientes estuvieran a diferentes presiones, y uno abriera una pared para la ecualización, el tiempo constante no dependería de la diferencia de presión en sí, sino de la geometría de todo. Aquí, el equilibrio provoca una diferencia de presión y, de nuevo, la constante de tiempo solo depende de la geometría y la temperatura, no de la diferencia de presión, y por lo tanto, la factor$F$).

Cuanto mayor sea el volumen de la burbuja, mayor será el tiempo. Cuanto mayor es el área, menor es el tiempo que tarda. Cuanto mayor sea la opacidad$R$, mayor es el tiempo que tarda. Cuanto mayor es la temperatura del ambiente, menos tiempo se tarda. Etcétera.

Un ejemplo numérico

¡Conectemos algunos números! El volumen del cuerpo humano es aproximadamente$V\approx 0.07 m^3$. El área del cuerpo humano es aproximadamente$A\approx 1.7 m^2$. Asumir temperatura$T=300K$, con composición atmosférica de nitrógeno,$m = 2.3258671 \cdot 10^{-26} Kg$. Constante de Boltzmann$k = 1.38\cdot 10^{-23} J/K$. No pongamos opacidad,$R=0$. Esto nos da una constante de tiempo.$t_c$de.... [agrega suspenso]........$t_c = 0.00024s$. Es decir, 0,2 milisegundos. Um... Supongo que sugiero que tu héroe nunca active la burbuja del tiempo para$F$, de lo contrario, en menos de un milisegundo después, se alcanzará el equilibrio. Si$F$es demasiado alto, eso podría compararse con una descompresión explosiva.