Derivación de la Tercera Ley de Newton a partir de la homogeneidad del Espacio

Estoy siguiendo el primer volumen del curso de física teórica de Landau. Entonces, todo lo que digo a continuación habla principalmente sobre los primeros 2 capítulos de Landau y el enfoque de derivar las leyes de Newton del principio de Lagrangian suponiendo el principio de acción extrema de Hamilton. Tenga en cuenta este punto de vista al leer y responder a mis consultas y descuide amablemente los sistemas a los que no se aplica el Principio de acción:

Si usamos la homogeneidad del espacio en las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenemos un resultado notable, es decir, la conservación del momento para un sistema cerrado.

Ahora, este resultado, usando la forma de Lagrange para un sistema cerrado de partículas, se transforma en Σ F = 0 . Ahora bien, ¿cómo de esto podemos concluir que las fuerzas internas que ejercen las partículas vienen en pares iguales y opuestos?

¿Es porque para 2 partículas esto resulta como F 1 + F 2 = 0 y tomamos las fuerzas ejercidas por las partículas entre sí como independientes de otras partículas (es decir, el principio de superposición) como un hecho experimental?

Dudo que toda la Mecánica newtoniana sea derivable de la Mecánica lagrangiana y las supuestas simetrías. Entonces, según yo, un hecho como la Tercera Ley de Newton debería poder derivarse de él sin usar un hecho experimental adicional.

Tengo una idea para demostrarlo rigurosamente. Considere dos partículas i y j . Deja que la fuerza actúe i por j ser F i j y en j por i ser k i j F i j . Ahora la condición se vuelve Σ ( 1 + k i j ) F i j = 0 donde se entienden los términos a incluir y rechazar en sumatoria. Como esto debe ser cierto para cualquier valor de F i j , obtenemos k i j = − 1 . No sé si este argumento o el refinamiento de tal argumento se sostiene o no. Puedo ver muchas preguntas surgiendo en este argumento y no es muy convincente para mí.

Me gustaría saber de ustedes si es un resultado experimental utilizado o no. Si no es así, ¿el método anterior es correcto o incorrecto? Si está mal, ¿cómo podemos probarlo?

Apéndice

Mi método de prueba utiliza el hecho mismo de la superposición de fuerzas, por lo que es defectuoso. He supuesto que los coeficientes k i j son constantes y no cambian en la influencia de todas las demás partículas, que es exactamente lo que dice el principio de superposición.

Como la superposición de Fuerzas puede derivarse de la superposición de energías potenciales en un punto del espacio y la energía potencial es más fundamental en la Mecánica Lagrangiana, planteo mi pregunta de la siguiente manera:

¿Es el principio de superposición de energías potenciales por diferentes fuentes en un punto en el espacio derivable del interior de la Mecánica Lagrangiana o es un hecho experimental usado en la Mecánica Lagrangiana?

Ahora, dudo que esto sea derivable ya que la suposición fundamental sobre la energía potencial es solo que es una función de las coordenadas de las partículas y esta función puede o no respetar la superposición.

Respuestas (3)

La derivación en Landau y Lifschitz hace algunos supuestos implícitos adicionales. Asumen que todas las fuerzas provienen de interacciones de pares y que las fuerzas de pares son rotacionalmente invariantes. Con estos dos supuestos, la función potencial en el Lagrangiano es

V ( X 1 , … , X norte ) = ∑ ⟨ i , j ⟩ V ( | X i − X j | )

Y luego es fácil probar la tercera ley de Newton, porque la derivada de la función distancia es igual y opuesta para cada par de partículas.

Este tipo de derivación es razonable desde un punto de vista físico para objetos macroscópicos, pero matemáticamente no está bien porque omite ejemplos importantes.

Sin invariancia rotacional, sin tercera ley

Dejando de lado la suposición de invariancia rotacional, pero manteniendo la suposición de interacción por pares, se obtiene el siguiente contraejemplo en 2 dimensiones, con dos partículas (A,B) con vectores de posición ( A X , A y ) ( B X , B y ) respectivamente:

V ( A X , A y , B X , B y ) = F ( A X − B X ) + F ( A y − B y )

dónde F es cualquier función distinta de F ( X ) = X 2 . Este potencial de par conduce a fuerzas iguales y opuestas, pero no colineales. El momento lineal y la energía se conservan, pero el momento angular no, excepto cuando ambas partículas están sobre las líneas. y = ± X en relación unos con otros. El potencial no es físico, por supuesto, en ausencia de un medio como una red que rompa la invariancia rotacional.

Interacciones directas de muchos cuerpos, sin simetría de reflexión, sin tercera ley

Hay otra clase de contraejemplos que es mucho más interesante, porque no rompen las leyes de conservación del momento angular o del centro de masa, por lo que son interacciones físicamente posibles en el vacío, pero rompen la tercera ley de Newton. Esta es la interacción quiral de tres cuerpos.

Considere 3 partículas A,B,C en dos dimensiones cuya función potencial es igual al área con signo del triángulo formado por los puntos A,B,C.

V ( A , B , C ) = B X C y − A X C y − B X A y − C X B y + C X A y + A X B y

Si las 3 partículas son colineales, las fuerzas para este potencial de 3 cuerpos son perpendiculares a la línea común sobre la que se encuentran. La derivada del área es máxima al alejar los puntos de la línea común. Entonces, obviamente, no puede escribir la fuerza como una suma de interacciones por pares a lo largo de la línea de separación, iguales y opuestas o no. Las fuerzas y los pares aún suman cero, ya que este potencial es invariante en traslación y rotación.

Interacción directa de muchos cuerpos, simetría de reflexión espacial, tercera ley de mierda

Si la fuerza sobre k partículas es invariante de reflexión, nunca sale del subespacio abarcado por su separación mutua. Esto se debe a que si se encuentran en un subespacio dimensional inferior, el sistema es invariante con respecto a las reflexiones perpendiculares a ese subespacio, por lo que las fuerzas también deben serlo.

Esto significa que siempre puedes inventar fuerzas iguales y opuestas entre las partículas que se suman a la fuerza total y pretender que estas fuerzas tienen un significado físico. Esto le permite salvar la tercera ley de Newton, en cierto modo. Pero da fuerzas sin sentido.

Para ver que esto no tiene sentido, considere el potencial del área del triángulo de tres partículas de antes, pero esta vez tome el valor absoluto. El resultado es una reflexión invariante, pero contiene una discontinuidad en la derivada cuando las partículas se vuelven colineales. Cerca de la colinealidad, las fuerzas perpendiculares tienen un límite finito. Pero para escribir estas fuerzas finitas como una suma de contribuciones iguales y opuestas de las tres partículas, necesita que las fuerzas entre las partículas diverjan en la colinealidad.

Las interacciones de tres cuerpos son naturales.

Hay física natural que da tal interacción de tres cuerpos. Puede imaginar que los tres cuerpos están conectados por puntales rígidos sin fricción que pueden expandirse y contraerse libremente como antenas plegables, y una pompa de jabón sin masa de muy alta calidad se estira entre los puntales. La pompa de jabón prefiere tener menos área de acuerdo con su tensión superficial distinta de cero. Si la dinámica de la pompa de jabón y los puntales es rápida en comparación con las partículas, puede integrar los grados de libertad de la pompa de jabón y obtendrá una interacción de tres cuerpos.

Entonces, la razón por la que los cuerpos se juntan casi en colinealidad con una fuerza transversal finita es clara: la burbuja de jabón quiere colapsar hasta el área cero, por lo que los atrae. Entonces es obvio que no tiene ningún sentido en el que tengan alguna divergencia. fuerzas por pares, o cualquier fuerza por pares en absoluto.

Otros casos en los que obtiene interacciones de tres cuerpos directamente es cuando tiene un campo no lineal entre los tres objetos y la dinámica del campo es rápida. Considere un campo escalar masivo de interacción automática cúbica (con acoplamiento cúbico λ ) procedente de fuentes de fuerza de función delta estacionarias clásicas g. La principal contribución no lineal al potencial clásico es una interacción clásica de tres cuerpos a nivel de árbol de la forma

V ( X , y , z ) ∝ gramo 3 λ ∫ d 3 k 1 d 3 k 2 mi i ( k 1 ⋅ ( X − z ) + k 2 ⋅ ( y − z ) ) ( k 1 2 + metro 2 ) ( k 2 2 + metro 2 ) ( ( k 1 + k 2 ) 2 + metro 2 )

que heurísticamente dice algo así como mi − metro r 123 r 123 r 12 r 23 r 13 donde las r son las longitudes de los lados del triángulo y r 123 es el perímetro (esto es solo una estimación de escala). Para los nucleones, muchos potenciales de cuerpo son significativos.

Las fuerzas de la tercera ley de mierda no son integrables

Si todavía insiste en la descripción de la tercera ley de Newton de las interacciones de tres cuerpos como las partículas de pompas de jabón, y da una fuerza por pares para cada par de partículas que se suma a la interacción completa de muchos cuerpos, estas fuerzas por pares no se pueden pensar en como procedente de una función potencial. No son integrables.

El ejemplo de la fuerza de la pompa de jabón lo deja claro: si A, B, C son casi colineales con B entre A y C, más cerca de A, puede deslizar B lejos de A hacia C muy cerca de la colinealidad, y traerlo de vuelta menos cerca de colineal. La fuerza AB está a lo largo de la línea de separación y diverge en la colinealidad, por lo que la integral de la fuerza a lo largo de este bucle no puede ser cero.

La fuerza sigue siendo conservativa, por supuesto, después de todo, proviene de un potencial de tres cuerpos. Esto significa que la fuerza AB de dos cuerpos más la fuerza BC de dos cuerpos es integrable. Es solo que la fuerza de dos cuerpos AC no lo es. Así que la separación es completamente tonta.

Ausencia de interacciones multicuerpo para objetos macroscópicos en el espacio vacío.

Las interacciones de los objetos macroscópicos se dan a través de fuerzas de contacto, que son necesariamente pares ya que todos los demás contactos están muy lejos, y campos electromagnéticos y gravitacionales, que son muy parecidos a los lineales en estas escalas. Las fuerzas electromagnética y gravitacional terminan siendo linealmente aditivas entre pares, y el resultado es un potencial de la forma que consideran Landau y Lifschitz: interacciones por pares que son rotacionalmente invariantes individualmente.

Pero para átomos compactos en un cristal, no hay razón para ignorar los potenciales de 3 cuerpos. Ciertamente es cierto que en el núcleo son necesarios potenciales de tres y cuatro cuerpos, pero en ambos casos se trata de sistemas cuánticos.

Así que no creo que la tercera ley sea particularmente fundamental. Como cosa filosófica, que nada puede actuar sin que se actúe sobre él, es tan válido como cualquier otro principio general. Pero como afirmación matemática de la naturaleza de las interacciones entre partículas, está completamente anticuada. Las cosas fundamentales son la conservación del momento lineal, el momento angular y el centro de masa, que son leyes independientes, derivadas de la invariancia de traslación, la invariancia de rotación y la invariancia de Galileo, respectivamente. Las fuerzas por pares que actúan a lo largo de la dirección de separación son solo un accidente.

En el marco de la mecánica clásica, la tercera ley de Newton es un postulado independiente.

La tercera ley de Newton en su forma fuerte dice que no sólo las fuerzas mutuas de acción y reacción son iguales y opuestas entre dos cuerpos en la posición r → 1 y r → 2 , también son colineales, es decir, paralelos a r → 2 − r → 1 .

Cuando derivamos ecuaciones de Lagrange a partir de las leyes de Newton (ver, por ejemplo, Herbert Goldstein, "Mecánica clásica", capítulo 1), puede parecer un poco oculto cuando en realidad usamos la tercera ley de Newton.

En la derivación, asumimos que las fuerzas de las restricciones no realizan trabajo virtual 1 . Considere ahora un cuerpo rígido. Es un hecho que confiamos mucho en la tercera ley de Newton en su forma fuerte para argumentar que las fuerzas internas de las restricciones (que mantienen unido el cuerpo rígido) no realizan trabajo virtual.

Consulte también el principio de D'Alembert y el principio del trabajo virtual para obtener más información.

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1 Esto no se aplica, por ejemplo, a las fuerzas de rozamiento por deslizamiento, que por lo tanto tenemos que excluir.

Hola, en realidad me estoy refiriendo al enfoque utilizado por Landau en su Curso de Física Teórica Volumen 1 Mecánica. En él, supone una función de Lagrange y usa simetría y hechos experimentales para derivar varias propiedades de Lagrange y la mecánica newtoniana. Ahora, le pediría que vea la pregunta en el centro de atención anterior y edite su respuesta según sea necesario. Sí, estoy de acuerdo, que las ecuaciones de Lagrange se derivan de las leyes de Newton, pero estoy hablando del enfoque de derivar las leyes de Newton de la mecánica lagrangiana. Matemáticamente, ambas son formulaciones equivalentes.
@Lakshya Bhardwaj: Landau y Lifshitz, "Mecánica", comienza en la página 2 asumiendo un principio de acción. Sin embargo, hay sistemas que no tienen principio de acción, por ejemplo, sistemas con restricciones no holonómicas. Por esta y otras razones, las leyes de Newton son más fundamentales (en el marco de la mecánica clásica no relativista).
Gracias, no sabía sobre las limitaciones del principio de acción. Entonces, enmarquemos la pregunta de esta manera: dado que hablamos solo de sistemas que siguen el principio de acción y comenzamos a usar el formalismo de Lagrange para derivar las leyes de Newton ... lea la pregunta como resto. Le estaría muy agradecido si viera la pregunta en un marco matemático que no es general y tratara de responderla solo en ese sistema. No estoy interesado en respuestas generales ya que acabo de empezar en Mecánica Clásica. Por favor revise el último párrafo de mi pregunta. Gracias.
@Lakshya Bhardwaj: Bueno, si comenzamos con un Lagrangiano L que (entre sus, en general, muchos términos) contiene un término potencial de la forma V ( | r → 2 − r → 1 | ) , dónde r → 1 y r → 2 son las posiciones de dos partículas puntuales, entonces es sencillo demostrar que las fuerzas correspondientes entre las dos partículas obedecen la tercera ley de Newton fuerte.
Sí, es señor. Pero, quiero extender el caso. Mi pregunta es que si tomamos muchas partículas, es decir más de dos. ¿Podemos definitivamente concluir teóricamente que las fuerzas internas serían iguales y opuestas entre un par de partículas? Aunque mi pregunta es solo sobre la forma débil, también me interesaría conocer la prueba de la forma fuerte. Lo que has indicado en tu comentario es para dos partículas. Pero para multipartículas tenemos que asumir el principio de superposición para establecer la tercera ley de Newton en forma débil. Quiero preguntar, ¿es eso derivable o es una observación experimental?
@Lakshya Bhardwaj: Mi argumento anterior no excluye la presencia de otras partículas. El término potencial V ( | r → 2 − r → 1 | ) se supone que es un término de, en general, muchos términos en el potencial.
Está bien. Si ese es el caso, entonces estás suponiendo la superposición de potencial, ¿no es así? Está tomando el potencial en un punto como la suma de varios potenciales individuales. Entonces, mi pregunta, como cambié anteriormente es: ¿El principio de superposición de energías potenciales por diferentes fuentes en un punto en el espacio es derivable del interior de la Mecánica Lagrangiana o es un hecho experimental utilizado en la Mecánica Lagrangiana?
Nunca he oído hablar de la forma fuerte. ¿Es ampliamente discutido? A nivel macroscópico, sería violado por fuerzas de fricción.
La tercera ley de Newton no establece nada acerca de las fuerzas colineales.

Una vez que supo que la suma de todas las fuerzas es cero, ¿por qué asumió que las fuerzas internas tendrán la misma dirección colineal (es decir, por qué serían opuestas a lo largo de la misma línea? Pueden estar en cualquier dirección siempre que la suma es cero?) Además, consideras 2 partículas; F 1 → + F 2 → = 0 podría darte una idea de cómo se comportan las fuerzas. Generalizar a 3 y más direcciones.

Derivación de la Tercera Ley de Newton a partir de la homogeneidad del Espacio
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