Adición gráfica de velocidades en el espacio-tiempo de Minkowski

Para la adición de velocidades relativistas en el plano, existe una construcción gráfica muy elegante que se detalla en:

John A. Rhodes y Mark D. Semon, "* Espacio de velocidad relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas", Am. J. física. 72 #7, julio de 2004

Es decir, esta construcción te permite visualizar la composición de dos miembros cualesquiera del grupo.$\mathrm{SO}(1,\,2)$. Le brinda tanto la velocidad combinada como la rotación de Wigner (recuerde que la adición de dos impulsos no colineales no es un impulso, sino un impulso combinado con una rotación, como analizo más adelante aquí ).

He construido una demostración de Mathematica que dibuja la construcción gráfica en:

Rod Vance, "Boost Composition and Wigner Rotation in Rhodes-Semon Rapidity Space", Wolfram Demonstrations Project Publicado: 2 de noviembre de 2015

Básicamente, uno representa impulsos en el modelo de disco de Poincaré del espacio hiperbólico: el impulso de la rapidez$\eta$haciendo un ángulo$\phi$con el$x$eje está representado por el número complejo$z = e^{i\,\phi}\,\tanh\left(\frac{\eta}{2}\right)$. Bosquejo la construcción a continuación:

Nuestro primer impulso es el rayo.$\vec{OA}$, y el triángulo de suma es el triángulo hiperbólico$\triangle OAB$. El segundo impulso lleva el material compuesto a lo largo del arco circular.$AB$, donde la tangente azul al arco en el punto$A$está en la dirección del segundo impulso. El arco está definido únicamente por esta tangente y el lema de que todos esos arcos forman ángulos rectos con el círculo unitario en los dos puntos donde se encuentran con el círculo unitario. El impulso compuesto es el punto$B$. La rotación de Wigner es el ángulo subtendido por el arco$AB$en el centro del circulo$C$.

Si$z_1$es el primer impulso, seguido del impulso representado por el punto$z_2$, entonces la velocidad y la dirección del impulso combinado se representan mediante el punto:

y la rotación de Wigner que la acompaña es, como se indicó anteriormente, el ángulo subtendido por el arco$AB$en el centro del circulo$C$. el arco$AB$define la trayectoria del estado de movimiento si un marco inicialmente se mueve inercialmente en relación con el observador como se describe por$z_1$sobre el que actúa una aceleración constante en la dirección de la tangente azul.

Por supuesto, el método no es completamente gráfico, pero también necesita calcular tangentes hiperbólicas para encontrar los puntos$z_1$y$z_2$de todos modos, pero te da mucha intuición tanto para el cambio de estado de movimiento bajo aceleración constante. En realidad, es muy parecido a hacer cálculos de transformación de impedancia con una carta de Smith , que también es una calculadora gráfica para una transformación de Möbius de$z_2$en la forma de la ecuación (1). Aquí, como en el gráfico de Smith, podría simplemente usar un nomograma para transformar entre velocidades y rapidez para encontrar los puntos correctos en el gráfico. De hecho, puede usar una carta de Smith girada sin modificar para su cálculo, porque un conjunto de las dos familias ortogonales en la carta de Smith son precisamente geodésicas en el disco de Poincaré, es decir, círculos que se encuentran con el círculo unitario en ángulo recto.

Si eres realmente purista, puedes maximizar la construcción gráfica de dos maneras.

1. Tenga en cuenta que$|z_1+z_2|$,$|z_1|$y$\left|1+z_2\,\frac{z_1^\ast}{z_1}\right| = \left|1+z_2\,\exp(-2\,i\,\arg(z_1)\right|$se encuentran todos fácilmente por construcción gráfica dados vectores que representan$z_1$y$z_2$, por lo tanto la proporción$|z_3|=\left|\frac{z_1+z_2}{z_1+z_2\,z_1^\ast}\right|$se encuentra fácilmente mediante multiplicaciones y divisiones reales. Entonces uno simplemente necesita construir la intersección del arco de aceleración circular y el círculo$|z|=|z_3|$con una brújula;

2. Comience con el punto$z_2$y luego tenga en cuenta que está asignado al punto de refuerzo compuesto$z_3$por la composición de las siguientes operaciones en el siguiente orden:$z\mapsto \exp(-2\,\arg(z_1))\,z$,$z\mapsto 1+z$,$z\mapsto z^{-1}$,$z\mapsto \left(1-{z_1^\ast}^{-1}\right)\, z$,$z\mapsto z + {z_1^\ast}^{-1}$. Hay construcciones gráficas estándar de regla y compás para todos estos que involucran el Círculo de Apolonio y la construcción del paralelogramo (donde${z_1^\ast}^{-1}$y$1-{z_1^\ast}^{-1}$también se encuentran de$z_1$por las mismas construcciones).