Si una bola que gira sobre una barra golpea a otra bola, ¿cuál es el momento lineal o angular conservado?

Considere el siguiente diagrama:

Esto muestra una masa$m$moviéndose más allá de un punto$P$En linea recta. Tenga en cuenta que la masa no está conectada a$P$de cualquier manera, simplemente pasa en línea recta.

El momento angular de$m$acerca de$P$es dado por:

$$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Entonces la dirección de$\vec{L}$es normal a la pantalla y la magnitud es:

$$L = rmv \sin\theta \tag{1}$$

y desde:

$$\sin\theta = \frac{d}{r}$$

Sustituyendo esto en la ecuación (1) da:

$$L = mvd \tag{2}$$

Tenga en cuenta que todo en la ecuación (2) es una constante, por lo que nos dice que$L$es una constante también, por lo que el momento angular se conserva aunque a primera vista este no es un sistema que está girando.

Y esto proporciona la respuesta a su pregunta. Aunque en tu segundo ejemplo, la bola$B$no está unido a nada, todavía tiene un momento angular y este momento angular aún se conserva.

Respuesta al comentario:

Su distinción entre momento angular y lineal es artificial. Si miras mi trabajo arriba, la partícula obviamente tiene un momento lineal, pero también un momento angular. Además, el valor del momento angular depende de dónde fije el punto$P$por lo que no hay un valor único de momento angular.

Cuando tienes una bola en una barra giratoria, la dirección del momento lineal no se conserva porque hay una fuerza que actúa (a través de la barra) y las leyes de Newton dicen que la fuerza es la tasa de cambio del momento:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Sin embargo, existe un teorema (el teorema de Noether) que nos dice que el momento angular se conserva si la fuerza es independiente del ángulo. Entonces, si calculamos el momento angular sobre el punto de pivote, encontraremos que esta cantidad es una constante. Por eso es útil para calcular trayectorias.

Pero es incorrecto decir que el momento lineal de la bola unida a la barra es cero. En cualquier momento el momento lineal de la pelota$A$es$\vec{p} = m\vec{v}$, pero la dirección de$\vec{p}$(aunque no su magnitud) está cambiando continuamente con el tiempo debido a la fuerza aplicada por la biela.

Volviendo a tu problema: antes de la colisión, el momento lineal de$A$es mv, pero su dirección cambia continuamente con el tiempo. Sin embargo, el momento angular es constante porque la fuerza sobre$A$es central

Durante el choque actúa una fuerza entre$A$y$B$. Esta fuerza actúa normalmente sobre las bielas, es decir, no es una fuerza central, por lo que los momentos angulares no serán constantes. Si consideramos que la colisión dura un instante, entonces la única fuerza que actúa es la que existe entre las dos bolas, por lo que se conservará el momento lineal total. Antes de la colisión$p_A = mv$y$L_B = 0$. Después de la colisión$p_A = 0$y$p_B = mv$, por lo que el momento lineal total$p_A + p_B$se conserva

Inmediatamente después de la colisión$B$comienza a girar alrededor de su pivote debido a la fuerza aplicada por su biela. La fuerza aplicada por su varilla significa la dirección de$p_B$ahora cambia con el tiempo, aunque su magnitud no. El momento angular$L_B$es constante porque la fuerza aplicada por la barra es central alrededor$B$.

Tenga en cuenta que todavía tiene perfecto sentido físico para calcular$L_A$- es solo:

$$L_A = \vec{r}_A \times m\vec{v_B}$$

pero la fuerza aplicada a$B$por su barra no es centralmente simétrica con respecto a$A$, entonces$L_A$no es constante (y por lo tanto no es terriblemente útil).

Si$B$no está conectado a un pivote, por lo que se mueve en línea recta, entonces ninguna fuerza actúa sobre$B$. Eso significa que ambos$\vec{p}_B$y$\vec{L}_B$calculados sobre cualquier punto son constantes.

La bola A tiene un momento lineal que apunta en la dirección de su trayectoria de vuelo. Pero no se conserva, porque tiene una fuerza que actúa sobre él (fuerza centrípeta), que no tiene contrapartida (a menos que especifique dónde está montado el eje y permita que el soporte se mueva también).

Observe que también puede atribuir un momento angular a B incluso cuando no se mueve en una trayectoria circular (como lo explicó John Rennie).