¿Se puede aproximar el semieje mayor de una órbita como la distancia orbital promedio para órbitas excéntricas?

Las matemáticas dicen que el semieje mayor no es una buena medida de la distancia promedio para órbitas de alta excentricidad (elípticas).

Básicamente, hay dos formas de medir esto: (1) un promedio de toda la órbita sobre una base puramente geométrica, y (2) el promedio a lo largo del tiempo. Estos dan resultados bastante diferentes, cualitativamente diferentes.

Distancia media sobre base geométrica.

En cierto modo, esta es la más obvia. las matematicas son:

$$R_g = \frac a {2\pi} \int_0^{2\pi}r\,d\theta$$

Y usamos para una elipse:

$$r = \frac \rho {1+\epsilon\,cos\theta}$$

El resultado es (eventualmente :-) ):

$$R_g = a\,\sqrt{1-\epsilon^2} \tag{1}$$

Promedio en el tiempo.

Este es un cálculo engañoso, pero de hecho es el promedio más "humano". Queremos :

$$R_t = \frac 1 T \int_0^T r\,dt$$

Las matemáticas en esto son tediosas y nada útiles, pero el resultado (con un poco de ayuda de Wolframalpha.com) es:

$$R_t = a\,\frac 2 {\pi} \frac{2+\epsilon^2}{(1-\epsilon^2)^{\frac 5 2}}tan^{-1}\left( \sqrt{\frac {1-\epsilon}{1+\epsilon}} \right) \tag{2}$$

Ahora, por cualquier definición, es una ecuación desordenada, pero el punto principal es notar la diferencia clave entre la expresión promediada en el tiempo (2) y la geométrica (1).

La expresión geométrica se hace más pequeña a medida que aumenta la excentricidad.

El promedio de tiempo aumenta a medida que aumenta la excentricidad (una ligera simplificación).

De hecho para ambos$\frac R a$comienza en$1.000$pero cuando$\epsilon\to 1$después$R_g\to 0$y$R_t\to \infty$!

Por qué ?

La expresión geométrica no permite la velocidad orbital del objeto. A medida que aumenta la excentricidad, una órbita termina teniendo un acercamiento más rápido, por lo que menos tiempo se acerca a su primario. A medida que se aleja del primario, la velocidad orbital también disminuye, por lo que pasa mucho más tiempo en distancias largas que en distancias cortas.

Solo para proporcionar una fórmula analítica para la distancia correcta promediada en el tiempo de @uhoh, aquí la derivación de$\langle r\rangle_t=1+\epsilon^2/2$:

$$a=1 \qquad c=e\qquad b=\sqrt{1-e^2}\\ \vec{r}=(\cos \beta-e,\sqrt{1-e^2}\sin \beta)\\ \vec{r'}=(-\sin \beta,\sqrt{1-e^2}\cos \beta)\\ |r|^2=\cos^2 \beta -2e\cos \beta+e^2+\sin^2\beta-e^2\sin^2\beta=1-2e\cos \beta+e^2\cos \beta=(1-e\cos \beta)^2\\ |\vec{r}\times\vec{r'}|=(\cos \beta-e)\sqrt{1-e^2}\cos \beta+\sin \beta\sqrt{1-e^2}\sin \beta= \sqrt{1-e^2}(1-e\cos \beta)=2\,\mathrm{d}A/\mathrm{d}\beta=\text{const. }\mathrm{d}t/\mathrm{d}\beta\\\ \langle|r|\rangle_t= \int_0^{T}|r|\mathrm{d}t=\int_0^{2\pi}{|r|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\beta}}\mathrm{d}\beta =\frac{\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}{(1-e\cos\beta)^2}\mathrm{d}\beta} {\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}({1-e\cos\beta})\mathrm{d}\beta} =\frac{2\pi+e^2\pi}{2\pi}=1+e^2/2$$

La esencia de esto es que su suposición es incorrecta. Es el semieje mayor el que define el período, no la distancia promedio. Newton resolvió esto cuando inventó el cálculo y derivó las leyes de Kepler. (Consulte Derivación de las leyes de Kepler para obtener algunas explicaciones). Aquí está la versión de Wikipedia de Math .

Debo agregar que las tres leyes de Kepler y la derivación de Newton de ellas todavía no definen perfectamente las órbitas. Asumen que solo importa la masa más grande, cuando en realidad, los dos objetos se tiran entre sí. El Sol no solo tira de la Tierra, sino que la Tierra tira del Sol, lo que acelera un poco la órbita (la relación de masa de 330.000 a 1 hace que esto sea casi insignificante, pero está ahí). Los cálculos orbitales newtonianos más precisos entre dos objetos masivos requieren matemáticas más avanzadas. Las leyes de Kepler solo funcionan si el objeto central es mucho más masivo que el segundo objeto.

Ignorando los detalles más finos y solo mirando las tres leyes, la derivación de Newton funciona exactamente en el eje semi-mayor. La distancia promedio no entra en la ecuación.

La distancia promedio de un objeto en órbita a su Sol u objeto central es problemática de todos modos porque el planeta se mueve más lentamente cuando está más distante, por lo que hay algunas formas de calcular la distancia promedio.

Por el tiempo que el planeta pasa en cada parte de su órbita (igual que el área definida por la tercera ley de Kepler)

O bien, puede medir la distancia promedio por arco o ángulo, tomando ángulos cada vez más pequeños y calculando un promedio.

O puede tomar la distancia promedio por la longitud de la elipse a los focos específicos.

Son tres métodos separados para medir la distancia promedio. No hace falta decir que esto se vuelve un poco complicado. La buena noticia es que no necesita hacer ningún cálculo para la distancia promedio porque el semieje mayor es realmente correcto.

¿El semieje mayor es igual a la distancia promedio, quizás por arco o por longitud? No estoy seguro. Trataré de resolver eso. Sé que no es igual al promedio por tiempo.

Tiene sentido. No estoy seguro de haberlo explicado tan bien como debería.

Editar

En distancia media. La distancia promedio estándar con órbitas es por tiempo o área. La tercera ley de Kepler dice áreas iguales en tiempos iguales, por lo que en realidad son dos formas de decir lo mismo, tiempo igual y área de superficie igual.

Creo que su pregunta es interesante e intentaré encontrar una relación entre el semieje mayor y la distancia promedio. De entrada, es un poco complicado, pero me parece que la relación entre la distancia promedio y el semieje mayor cambia con la excentricidad, pero prefiero resolver eso antes de decirlo con certeza.

Esta fue la intención de ser una respuesta complementaria a la respuesta de StephenG . Sin embargo, parece haber un problema con la expresión de la distancia promediada en el tiempo en esa respuesta. Creo que es genial buscar una expresión matemática, pero debe confirmarse numéricamente.

Hice una doble verificación numérica rápida y verifiqué esas tendencias generales, pero aún puede haber un problema con una de las expresiones allí.

Suponiendo un semieje mayor constante de 1, la distancia promediada en el tiempo aumenta de 1 en$\epsilon = 0$a 1,5 en$\epsilon \rightarrow 1$, mientras que para el$\theta$-La distancia promediada ("geométrica") cae de 1 a cero.

Creo que ambos deberíamos agregar ahora el promedio de ruta para completar el promedio sobre ds . :-)

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Escritura de Python:

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in 0.5, 1, 2]

time = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]

a = 1.0
eps = np.hstack((0, 0.2, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99))

orbits = []
for ep in eps:
    rperi = a * (1. - ep)
    vperi = np.sqrt(2./rperi - 1./a)
    X0 = np.array([rperi, 0, 0, vperi])

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol = 1E-12, full_output=True)
    xy = answer.T[:2]
    orbits.append(xy)

rs = [np.sqrt((xy**2).sum(axis=0)) for xy in orbits]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.figure()
plt.subplot(3, 2, 1)
for x, y in orbits:
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 3)
for r in rs:
    plt.plot(time, r)
plt.subplot(3, 2, 5)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)


theta = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]
rs = [a * (1-ep**2)/(1 + ep*np.cos(theta)) for ep in eps]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.subplot(3, 2, 2)
for r in rs:
    x, y = [r*f(theta) for f in (np.cos, np.sin)]
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 4)
for r in rs:
    plt.plot(theta, r)
plt.subplot(3, 2, 6)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)
plt.suptitle("Time averages      Theta averages")
plt.show()