RLC paralelo sin fuente, subamortiguado, con 2 condiciones iniciales

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RLC paralelo sin fuente, subamortiguado, con 2 condiciones iniciales

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Andy alias

Creo que estoy sufriendo de fuga de cerebros. Estoy tratando de resolver una ecuación diferencial de segundo orden para la respuesta natural de un circuito RLC paralelo subamortiguado con condiciones iniciales de $I_L$ y $V_C$ pero estoy cayendo (aparentemente) en el último obstáculo.

Todas las soluciones en la web que he encontrado parecen eludir la solución para encontrar B1 y B2 en este tipo de fórmula. La mayoría (si no todas las soluciones) parecen resolver el voltaje de salida, pero también quiero saber cómo decae la corriente del inductor.

La mejor imagen individual que he encontrado muestra esto: -

Y estoy feliz de poder usar esto para resolver la forma de onda de voltaje si mi condición inicial era solo el voltaje del capacitor PERO, necesito saber cuáles son B1 y B2 para las condiciones iniciales de AMBOS voltaje del capacitor y corriente del inductor.

Entonces, en resumen: -

¿Cuál es la fórmula para $i_L(t)$ para un RLC paralelo
¿Cómo formulo los valores B1 y B2 teniendo en cuenta AMBAS condiciones iniciales?
ídem para $v(t)$

broma

¿Estás mirando solo el caso subamortiguado? O los tres casos? Seguí fácilmente el caso subamortiguado de su imagen y también obtuve la ecuación v(t) completa usando ambas condiciones iniciales con bastante facilidad. La ecuación v(t) en el caso subamortiguado incluye un factor interesante,

\sqrt{\frac{ω_{0}^{2}}{α^{2}} - 1}

$\sqrt{\frac{\omega_0^2}{\alpha^2}-1}$ , que no veo aquí, todavía. Pero no puedo decir si hay más interés.

Andy alias

@jonk Solo estoy mirando el caso subamortiguado, pero debido a que solo necesito las condiciones iniciales, creo que se aplican a la amortiguación excesiva y crítica. Sí, por favor, responda si tiene tiempo, pero tenga en cuenta la agresión que ha ocurrido con la otra respuesta y él me hace perder el tiempo malinterpretando la pregunta. Es comprensible que eso te desanime. También tenga en cuenta que mi propia respuesta a la pregunta resuelve v (t): finalmente entendí las condiciones iniciales que determinan B2, así que solo estoy buscando el

i_{L} (t)

$i_L(t)$ escenario ahora.

Andy alias

@jonk Sin embargo, si puede confirmar eso o agregarlo, sería bueno.

broma

Me voy a dormir (el geólogo viene a ver algunos problemas con la tierra aquí en la mañana... dentro de menos de 8 horas). Veré qué puedo hacer más tarde. Mientras tanto, si ya tiene V(t), entonces también tiene d I(t), ya que eso es solo V(t)/L. También tienes IL(0) como condición inicial para resolver la constante de integración. Todavía no he dado este paso en particular. Pero parece sencillo. Lo miraré después de lo del geólogo por la mañana. Me detuve en V (t), yo mismo.

Andy alias

@jonk, ¿tal vez también pueda confirmar que mi valor para B2 tiene sentido al resolver v (t)?

Respuestas (4)

RLC paralelo sin fuente, subamortiguado, con 2 condiciones iniciales

¿Estás mirando solo el caso subamortiguado? O los tres casos? Seguí fácilmente el caso subamortiguado de su imagen y también obtuve la ecuación v(t) completa usando ambas condiciones iniciales con bastante facilidad. La ecuación v(t) en el caso subamortiguado incluye un factor interesante, $\sqrt{\frac{\omega_0^2}{\alpha^2}-1}$ , que no veo aquí, todavía. Pero no puedo decir si hay más interés.
@jonk Solo estoy mirando el caso subamortiguado, pero debido a que solo necesito las condiciones iniciales, creo que se aplican a la amortiguación excesiva y crítica. Sí, por favor, responda si tiene tiempo, pero tenga en cuenta la agresión que ha ocurrido con la otra respuesta y él me hace perder el tiempo malinterpretando la pregunta. Es comprensible que eso te desanime. También tenga en cuenta que mi propia respuesta a la pregunta resuelve v (t): finalmente entendí las condiciones iniciales que determinan B2, así que solo estoy buscando el $i_L(t)$ escenario ahora.
@jonk Sin embargo, si puede confirmar eso o agregarlo, sería bueno.
Me voy a dormir (el geólogo viene a ver algunos problemas con la tierra aquí en la mañana... dentro de menos de 8 horas). Veré qué puedo hacer más tarde. Mientras tanto, si ya tiene V(t), entonces también tiene d I(t), ya que eso es solo V(t)/L. También tienes IL(0) como condición inicial para resolver la constante de integración. Todavía no he dado este paso en particular. Pero parece sencillo. Lo miraré después de lo del geólogo por la mañana. Me detuve en V (t), yo mismo.
@jonk, ¿tal vez también pueda confirmar que mi valor para B2 tiene sentido al resolver v (t)?

broma · Answer 1

Solo para ser completo:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Supongo que ese es el circuito. Y le gustaría una expresión para $V_{\left(t\right)}$ y $I_{L\left(t\right)}$ que maneja las condiciones iniciales donde $V_{\left(0\right)}$ y $I_{L\left(0\right)}$ pueden ser distintos de cero y se conocen de otro modo en $t=0$ .

También desea centrarse en el caso que está subamortiguado.

Espero que no le importe si empiezo por lo básico y sigo adelante con cuidado. Mucho de esto será solo una repetición de lo obvio. Me disculpo por eso.

La ecuación nodal básica es (tratando todas las corrientes que apuntan hacia abajo como positivas):

\frac{V_{(t)}}{R} + \frac{1}{L} \int V_{(t)} d t + C \frac{d V_{(t)}}{d t} = 0 A

$\frac{V_{\left(t\right)}}{R}+\frac{1}{L}\int V_{\left(t\right)}\:\text{d}t+C\frac{\text{d}V_{\left(t\right)}}{\text{d}t}=0\:\text{A}$

Tomando la derivada y dividiendo por $C$ (si hubiera agregado $I_{L\left(0\right)}$ arriba, desaparecería ahora, de todos modos):

\begin{aligned} \frac{d^{2} V_{(t)}}{d t^{2}} + \frac{1}{R C} \frac{d V_{(t)}}{d t} + \frac{V_{(t)}}{L C} & = 0 A \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{\text{d}^2V_{\left(t\right)}}{\text{d}t^2}+\frac{1}{R\:C}\frac{\text{d} V_{\left(t\right)}}{\text{d}t}+\frac{V_{\left(t\right)}}{L\:C}&=0\:\text{A}\end{align*}$

Una ODE estándar de segundo orden donde la solución propuesta obvia es $V_{\left(t\right)}=A e^{s t}$ . Por sustitución, encontramos que la ecuación característica es:

s^{2} + \frac{s}{R C} + \frac{1}{L C} = 0

$s^2+\frac{s}{R\:C}+\frac{1}{L\:C}=0$

Resolviendo con la ecuación de solución cuadrática estándar, $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\:a\:c}}{2\:a}$ , encontramos que es conveniente (a partir de un examen superficial de los resultados) definir:

\begin{aligned} α & = \frac{1}{2 R C} & ω_{0} & = \frac{1}{\sqrt{L C}} \end{aligned}

$\begin{align*}\alpha&=\frac{1}{2\:R\:C}&\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{L\:C}}\end{align*}$

Las soluciones son entonces:

\begin{aligned} s_{1} & = - α + \sqrt{α^{2} - ω_{0}^{2}} & s_{2} & = - α - \sqrt{α^{2} - ω_{0}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}s_1&=-\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}&s_2&=-\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}\end{align*}$

En este punto, hay tres posibilidades a considerar. Uno es el caso críticamente amortiguado donde $\alpha = \omega_0$ y por lo tanto $s_1=s_2$ y ambos son de valor real. Otro es el caso sobreamortiguado donde $\alpha > \omega_0$ y por lo tanto $s_1\ne s_2$ pero ambos tienen un valor real, de nuevo. El caso final es el caso subamortiguado donde $\alpha < \omega_0$ y $s_1$ y $s_1$ ambos tienen valores complejos y son conjugados entre sí.

Este último caso es el que se quiere abordar.

En el caso subamortiguado, nuevamente es conveniente voltear el signo dentro de la raíz cuadrada y definir otra variable de valor real, la frecuencia amortiguada :

\begin{aligned} ω_{d} & = \sqrt{ω_{0}^{2} - α^{2}} & = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{α^{2} - ω_{0}^{2}} \\ ∴ \\ s_{1} & = - α + j ω_{d} & s_{2} & = - α - j ω_{d} \end{aligned}

$\begin{align*}\omega_d&=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}&&=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}\\\\&\therefore\\\\s_1&=-\alpha+j\:\omega_d&s_2&=-\alpha-j\:\omega_d\end{align*}$

Ahora, la solución general (en el caso subamortiguado hay dos respuestas conjugadas, por lo que ambas son válidas y deben incluirse) es:

\begin{aligned} V_{(t)} & = A_{1} {mi}^{s_{1} t} + A_{2} {mi}^{s_{2} t} \\ = {mi}^{- α t} [(A_{1} + A_{2}) porque (ω_{d} t) + j (A_{1} - A_{2}) pecado (ω_{d} t)] \\ configuración: B_{1} & = A_{1} + A_{2} \\ B_{2} & = j (A_{1} - A_{2}) \\ = {mi}^{- α t} [B_{1} porque (ω_{d} t) + B_{2} pecado (ω_{d} t)] \end{aligned}

$\begin{align*}V_{\left(t\right)}&=A_1\:e^{s_1\:t}+A_2\:e^{s_2\:t}\\\\ &=e^{-\alpha\:t}\left[\:\left(A_1+A_2\right)\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+j\:\left(A_1-A_2\right)\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\:\right]\\\\ \text{setting: } B_1&=A_1+A_2\\B_2&=j\left(A_1-A_2\right)\\\\ &=e^{-\alpha\:t}\left[\:B_1\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+B_2\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\:\right]\end{align*}$

Claramente,

\begin{aligned} V_{(0)} & = B_{1} \end{aligned}

$\begin{align*}V_{\left(0\right)}&=B_1\end{align*}$

la derivada es

\begin{aligned} \frac{d V_{(t)}}{d t} & = {mi}^{- α t} [(ω_{d} B_{2} - α B_{1}) porque (ω_{d} t) - (ω_{d} B_{1} + α B_{2}) pecado (ω_{d} t)] \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\text{d}V_{\left(t\right)}}{\text{d}t}&=e^{-\alpha\:t}\left[\:\left(\omega_d\:B_2-\alpha\:B_1\right)\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)-\left(\omega_d\:B_1+\alpha\:B_2\right)\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\:\right] \end{align*}$

Claramente,

\begin{aligned} \frac{d V_{(0)}}{d t} & = ω_{d} B_{2} - α B_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\text{d}V_{\left(0\right)}}{\text{d}t}&=\omega_d\:B_2-\alpha\:B_1 \end{align*}$

Tú lo sabes:

\begin{aligned} \frac{V_{(0)}}{R} + C \frac{d V_{(0)}}{d t} + I_{L (0)} & = 0 A \\ ∴ \\ \frac{V_{(0)}}{R C} + ω_{d} B_{2} - α B_{1} + \frac{I_{L (0)}}{C} & = 0 A \\ ω_{d} B_{2} - α B_{1} & = - \frac{V_{(0)}}{R C} - \frac{I_{L (0)}}{C} \\ ω_{d} B_{2} - α V_{(0)} & = - \frac{V_{(0)}}{R C} - \frac{I_{L (0)}}{C} \\ ∴ \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{V_{\left(0\right)}}{R}+C\frac{\text{d}V_{\left(0\right)}}{\text{d} t}+I_{L\left(0\right)}&=0\:\text{A}\\\\\therefore\\\\\frac{V_{\left(0\right)}}{R\:C}+\omega_d\:B_2-\alpha\:B_1+\frac{I_{L\left(0\right)}}{C}&=0\:\text{A}\\\\\omega_d\:B_2-\alpha\:B_1&=-\frac{V_{\left(0\right)}}{R\:C}-\frac{I_{L\left(0\right)}}{C}\\\\\omega_d\:B_2-\alpha\:V_{\left(0\right)}&=-\frac{V_{\left(0\right)}}{R\:C}-\frac{I_{L\left(0\right)}}{C}\\\\\therefore\end{align*}$

\begin{aligned} B_{1} & = V_{(0)} & B_{2} & = \frac{V_{(0)} (α - \frac{1}{R C}) - \frac{I_{L (0)}}{C}}{ω_{d}} = - \frac{α V_{(0)} + \frac{I_{L (0)}}{C}}{ω_{d}} \\ nota arriba: \frac{1}{R C} = 2 α \\ Si V_{(0)} \neq 0 entonces \\ η & = - \frac{α + \frac{I_{L (0)}}{V_{(0)} C}}{ω_{d}} \\ B_{2} & = η V_{(0)} \end{aligned}

$\begin{align*}B_1 &=V_{\left(0\right)}&B_2&=\frac{V_{\left(0\right)}\left(\alpha-\frac{1}{R\:C}\right)-\frac{I_{L\left(0\right)}}{C}}{\omega_d}=-\frac{\alpha\:V_{\left(0\right)}+\frac{I_{L\left(0\right)}}{C}}{\omega_d}\\\\&&&\text{note above: }\tfrac{1}{R\:C}=2\alpha\\\\&&\text{If }V_{\left(0\right)}\ne 0\:\text{V then }\\\\&&\eta&=-\frac{\alpha+\frac{I_{L\left(0\right)}}{V_{\left(0\right)}\:C}}{\omega_d}\\\\&&B_2&=\eta\: V_{\left(0\right)}\end{align*}$

Y eso resuelve la ecuación de voltaje dependiente del tiempo con el uso de condiciones iniciales.

\begin{aligned} V_{(t)} = {\begin{cases} V_{(0)} \neq 0 V, & V_{(0)} {mi}^{- α t} [porque (ω_{d} t) + η pecado (ω_{d} t)] \\ V_{(0)} {mi}^{- α t} \sqrt{1 + η^{2}} pecado (ω_{d} t + {broncearse}^{- 1} (\frac{1}{η})) \\ V_{(0)} = 0 V, & - \frac{I_{L (0)}}{ω_{d} C} {mi}^{- α t} pecado (ω_{d} t) \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*}V_{\left(t\right)}=\left\{\begin{array}{l}V_{\left(0\right)}\ne 0\:\text{V},&&V_{\left(0\right)}\:e^{-\alpha\:t}\big[\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+\eta\:\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\big]\\&&V_{\left(0\right)}\:e^{-\alpha\:t}\:\sqrt{1+\eta^2}\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t+\operatorname{tan}^{-1}\left(\frac{1}{\eta}\right)\right)\\\\V_{\left(0\right)}= 0\:\text{V},&&-\frac{I_{L\left(0\right)}}{\omega_d\,C}\:e^{-\alpha\:t}\:\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\end{array}\right.\end{align*}$

En este punto, la pregunta restante es la ecuación de corriente dependiente del tiempo para el inductor.

\begin{aligned} I_{L (t)} & = \frac{1}{L} \int V_{(t)} d t \\ = \frac{V_{(0)}}{L} [\int {mi}^{- α t} porque (ω_{d} t) d t + η \int {mi}^{- α t} pecado (ω_{d} t) d t] \\ = \frac{V_{(0)}}{L} \cdot \frac{- {mi}^{- α t}}{α^{2} + ω_{d}^{2}} [(α porque (ω_{d} t) - ω_{d} pecado (ω_{d} t)) + η \cdot (α pecado (ω_{d} t) + ω_{d} porque (ω_{d} t))] + D_{0} \\ = \frac{V_{(0)}}{L} \cdot \frac{- {mi}^{- α t}}{α^{2} + ω_{d}^{2}} [(α + η ω_{d}) porque (ω_{d} t) + (η α - ω_{d}) pecado (ω_{d} t)] + D_{0} \end{aligned}

$\begin{align*} I_{L\left(t\right)}&=\frac{1}{L}\int V_{\left(t\right)}\:\text{d} t\\\\ &=\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\left[\int e^{-\alpha\:t}\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)\:\text{d} t+\eta \int e^{-\alpha\:t}\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\:\text{d} t\right]\\\\ &=\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\cdot\frac{-e^{-\alpha\:t}}{\alpha^2+\omega_d^2}\bigg[\left(\alpha\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)-\omega_d\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\right)+\eta\cdot\left(\alpha\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)+\omega_d\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)\right) \bigg]+D_0\\\\ &=\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\cdot\frac{-e^{-\alpha\:t}}{\alpha^2+\omega_d^2}\bigg[\left(\alpha+\eta\:\omega_d\right)\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+\left(\eta\:\alpha-\omega_d\right)\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\bigg]+D_0 \end{align*}$

Entonces,

\begin{aligned} I_{L (0)} & = - \frac{V_{(0)}}{L} \frac{α + η ω_{d}}{α^{2} + ω_{d}^{2}} + D_{0} \\ ∴ \\ D_{0} & = I_{L (0)} + \frac{V_{(0)}}{L} \frac{α + η ω_{d}}{α^{2} + ω_{d}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} I_{L\left(0\right)}&=-\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\frac{\alpha+\eta\:\omega_d}{\alpha^2+\omega_d^2}+D_0\\\\\therefore\\\\D_0&=I_{L\left(0\right)}+\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\frac{\alpha+\eta\:\omega_d}{\alpha^2+\omega_d^2}\end{align*}$

Resultando en,

\begin{aligned} I_{L (t)} = {\begin{cases} V_{(0)} \neq 0 V, & I_{L (0)} + \frac{V_{(0)}}{L} [\frac{α + η ω_{d} - {mi}^{- α t} [(α + η ω_{d}) porque (ω_{d} t) + (η α - ω_{d}) pecado (ω_{d} t)]}{α^{2} + ω_{d}^{2}}] \\ I_{L (0)} + \frac{V_{(0)}}{L} [\frac{α + η ω_{d}}{α^{2} + w_{d}^{2}} - {mi}^{- α t} \sqrt{1 + η^{2}} \frac{pecado (ω_{d} t + {broncearse}^{- 1} [\frac{α + η ω_{d}}{η α - ω_{d}}])}{\sqrt{α^{2} + w_{d}^{2}}}] \\ V_{(0)} = 0 V, & I_{L (0)} + \frac{B_{2}}{L} [\frac{ω_{d} - {mi}^{- α t} [ω_{d} porque (ω_{d} t) + α pecado (ω_{d} t)]}{α^{2} + ω_{d}^{2}}] \\ I_{L (0)} + \frac{B_{2}}{L} [\frac{ω_{d}}{α^{2} + w_{d}^{2}} - {mi}^{- α t} \frac{pecado (ω_{d} t + {broncearse}^{- 1} [\frac{ω_{d}}{α}])}{\sqrt{α^{2} + w_{d}^{2}}}] \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*}I_{L\left(t\right)}=\left\{\begin{array}{l}V_{\left(0\right)}\ne 0\:\text{V},&&I_{L\left(0\right)}+\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\left[\frac{\alpha+\eta\:\omega_d-e^{-\alpha\:t}\big[\left(\alpha+\eta\:\omega_d\right)\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+\left(\eta\:\alpha-\omega_d\right)\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\big]}{\alpha^2+\omega_d^2}\right]\\&&I_{L\left(0\right)}+\frac{V_{\left(0\right)}}{L}\left[\frac{\alpha+\eta\:\omega_d}{\alpha^2+w_d^2}-e^{-\alpha\:t}\sqrt{1+\eta^2}\frac{\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t+\operatorname{tan}^{-1}\left[\frac{\alpha+\eta\:\omega_d}{\eta\:\alpha-\omega_d}\right]\right)}{\sqrt{\alpha^2+w_d^2}}\right]\\\\V_{\left(0\right)}= 0\:\text{V},&&I_{L\left(0\right)}+\frac{B_2}{L}\left[\frac{\omega_d-e^{-\alpha\:t}\big[\omega_d\operatorname{cos}\left(\omega_d\:t\right)+\alpha\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t\right)\big]}{\alpha^2+\omega_d^2}\right]\\&&I_{L\left(0\right)}+\frac{B_2}{L}\left[\frac{\omega_d}{\alpha^2+w_d^2}-e^{-\alpha\:t}\frac{\operatorname{sin}\left(\omega_d\:t+\operatorname{tan}^{-1}\left[\frac{\omega_d}{\alpha}\right]\right)}{\sqrt{\alpha^2+w_d^2}}\right]\end{array}\right.\end{align*}$

¿Deberían dividirse las ecuaciones finales que tiene para B2 por Wd como parece haber hecho en la ecuación final para V(t)? Además, ¿de dónde vienen A1 y A2 y qué son? Acabo de hojear porque es mi turno de tener prisa, pero parece que tu respuesta para v(t) coincide con la mía.
@Andyaka $A_1$ y $A_2$ llegar de encontrar todas las soluciones posibles. Esto es matemática estándar. Comience en este segundo video de Khan Academy y siga hasta el tercero. no es largo Ecuaciones lineales de segundo orden
Vaya, esa dependencia oculta para encontrar B2. +1, gran respuesta. Retomando mi respuesta @Andyaka
@MITURAJ Creo que eso es lo más sensato, a diferencia de algunas personas.
@MITURAJ Acabo de volver a la ecuación original nuevamente y arrojé la nueva ecuación derivada cuando $t=0$ . Como un paseo por el parque, por así decirlo.
@Andyaka Sí, creo que me lo perdí. Sin embargo, lo capté en la última ecuación. Solo un error tipográfico. Gracias. Ya está corregido.
@Jonk sí, se ve bien y es una pena que un ciudadano preocupado no fuera tan terco cuando le decía que debía involucrar a I (0). Sí, puedo hacer esa integral. Tengo tablas hechas por... Vaya, las extravié. Descargué la solución a e^{ax}.Cos(bx) ayer, así que puedo hacerlo de nuevo para verificar dos veces, pero estoy seguro de que tienes razón. Obtendrá aceptación en un tiempo porque alguien más NO se lo merece ni un poco e incluso tuvieron el descaro de votar mi respuesta que publiqué para ayudarlo a tomar el camino correcto. tengo un + $\dfrac{I_L(0)}{C}$ en mi solución porque asumí que era una situación de retorno.
@Andyaka Puedes ver la misma expresión en mi solución para $B_2$ . Sin embargo, decidí sacar un $V_{\left(0\right)}$ fuera de él (forzándolo en el divisor) porque eso hizo que el final $V_{\left(0\right)}$ ecuación capaz de sacarlo completamente al frente, donde creo que tiene un poco más de sentido. Pero sé que no estás hablando de eso, justo ahora. Pero es interesante que aparezca ahí también.
@Andyaka encontró otro error tipográfico. Arreglándolo ahora.
Solo quise decir que el signo en mi respuesta era diferente al suyo porque asumí la dirección actual de manera diferente y que después de t de cero, el voltaje aumenta en lugar de caer según su dirección actual. No es un gran trato.
@Andyaka Acabo de hacer algunos ajustes. yo creé $\eta$ para simplificar un poco las cosas y luego lo usé más adelante.
@jonk Muy buena respuesta y derivación, pero debo decir que la solución para la actual parece un poco más complicada en comparación con la de mi respuesta (que también podría haberse alcanzado a través de la diferencia).
@Andyaka En mi prisa por configurar $\eta$ para resaltar la importancia de $V_{\left(0\right)}$ , había olvidado fijarme en el caso en el que $V_{\left(0\right)}=0\:\text{V}$ . Todo se aplica como antes, excepto que agregué las ecuaciones simplificadas para ese caso. También noté un detalle menor, que $\frac{1}{R\:C}=2\:\alpha$ , que simplifica $B_2$ . Así que agregué ese pequeño cambio.

un ciudadano preocupado · Answer 2

Desenterrando viejas notas, encontré estas soluciones para las condiciones iniciales en el caso del RLC paralelo subamortiguado, respuesta natural:

B_{1} = V_{C}^{t = 0}

$B_1=V_C^{t=0}$

ω_{d} B_{2} - α B_{1} = - \frac{I_{L}^{t = 0}}{C} - \frac{V_{C}^{t = 0}}{R C}

$\omega_d B_2-\alpha B_1=-\frac{I_L^{t=0}}{C}-\frac{V_C^{t=0}}{RC}$

=> B_{2} = \frac{(α R C - 1) V_{C}^{t = 0} - R I_{L}^{t = 0}}{ω_{d} R C}

$=> B_2=\frac{(\alpha RC-1)V_C^{t=0}-R I_L^{t=0}}{\omega_d RC}$

dónde $V_C^{t=0}$ es la condición inicial para C, y $I_L^{t=0}$ es la condición inicial para L. Con estos, $y(t)$ es la expresión que diste. Para las corrientes:

I_{R} (t) = \frac{y (t)}{R}

$I_R(t)=\frac{y(t)}{R}$

I_{C} (t) = C \frac{d y (t)}{d t}

$I_C(t)=C\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}$

I_{L} (t) = - I_{R} (t) - I_{C} (t)

$I_L(t)=-I_R(t)-I_C(t)$

Probando esto con algunos valores aleatorios R=12.34, L=0.618, C=2.718, con una condición inicial de 1.618 para L y 3.14 para C, da estos resultados en LTspice:

y en wxMaxima:

Si no desea la derivada en la expresión de la corriente del capacitor, puede usar esto:

I_{C} (t) = - C Exp (- α t) [(B_{1} ω_{d} + B_{2} α) pecado (ω_{d} t) + (B_{1} α - B_{2} ω_{d}) porque (ω_{d} t)]

$I_C(t)=-C\exp(-\alpha t)\left[(B_1\omega_d+B_2\alpha)\sin(\omega_d t)+(B_1\alpha-B_2\omega_d)\cos(\omega_d t)\right]$

luego usa la diferencia.

Estos son los resultados de la simulación y la derivación matemática dada su entrada: R=3k, L=256u, C=1u, IC(L)=2, IC(C)=10:

Si deducir la corriente a través de L es demasiado dada la diferencia anterior, entonces use esto:

I_{L} (t) = \frac{(B_{1} ω_{d} - B_{2} α) pecado (ω_{d} t) - (B_{2} ω_{d} + B_{1} α) porque (ω_{d} t)}{(ω_{d}^{2} + α^{2}) Exp (α t) L}

$I_L(t)=\frac{(B_1\omega_d-B_2\alpha)\sin(\omega_d t)-(B_2\omega_d+B_1\alpha)\cos(\omega_d t)}{(\omega_d^2+\alpha^2)\exp(\alpha t)L}$

que es simplemente la integral de $y(t)$ dividido por L. Complicado.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido al chat .
@DaveTweed Lo siento si esto resultó de esta manera, pero sé por una experiencia anterior reciente (puede proporcionar enlaces) que mover esto al chat no habría tenido ningún efecto.
En su relación de wd, alpha, B2,B1, no es Ic(0)... En realidad es IL(0). También Vc(0) = VL(0) = V(0) simplemente...
@MITURAJ Tienes razón, gracias por detectar el error. Las fórmulas que tengo usan diferentes notaciones: $\omega_n$ , IC(C), IC(L), y traduje en el acto. Corregido. Aún así, la solución es correcta, como se ve en las imágenes (que usaron las mismas fórmulas).

russellh · Answer 3

Ustedes saben la mayor parte de lo que escribiré y a riesgo de ser pedante...:

El objetivo es algún conocimiento sobre " $B_{1}$ y $B_{2}$ " en:

v (t) = {mi}^{- α t} [B_{1} C o s (ω_{d} t) + B_{2} s i norte (ω_{d} t)]

$v(t)=e^{-\alpha t}[B_{1}cos(\omega_{d}t)+B_{2}sin(\omega_{d}t)]$

y sobre " $B_{3}$ y $B_{4}$ " en:

i_{L} (t) = {mi}^{- α t} [B_{3} C o s (ω_{d} t) + B_{4} s i norte (ω_{d} t)]

$i_{L}(t)=e^{-\alpha t}[B_{3}cos(\omega_{d}t)+B_{4}sin(\omega_{d}t)]$

Comenzando con la corriente del inductor, el objetivo del dominio de Laplace es:

\begin{matrix} (1) & I_{L} (s) = \frac{B_{3} (s + α) + B_{4} ω_{d}}{(s + α)^{2} + ω_{d}^{2}} \end{matrix}

$I_{L}(s)=\frac{B_{3}(s+\alpha)+B_{4}\omega_{d}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}\tag{1}$ KCL

\frac{d^{2} i_{L}}{d t^{2}} + \frac{1}{R C} \frac{d i_{L}}{d t} + \frac{1}{L C} i_{L} = 0

$\frac{d^{2}i_{L}}{dt^{2}}+\frac{1}{RC}\frac{di_{L}}{dt}+\frac{1}{LC}i_{L}=0$

Comparar con la forma estándar:

\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} i_{L}}{d t^{2}} + 2 ζ ω_{norte} \frac{d i_{L}}{d t} + ω_{norte}^{2} i_{L} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^{2}i_{L}}{dt^{2}}+2\zeta\omega_{N}\frac{di_{L}}{dt}+\omega_{N}^{2}i_{L}=0 \tag{2}$

El $2^{nd}$ Los parámetros del pedido son:

ζ = \frac{1}{2 R} \sqrt{\frac{L}{C}}, ω_{norte}^{2} = \frac{1}{L C}

$\zeta=\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}},\omega_{N}^{2}=\frac{1}{LC}$

$2^{nd}$ Los polos subamortiguados de pedido son:

{pag}_{1}, {pag}_{1}^{*} = - α \pm j ω_{d}; α = ζ ω_{norte}; ω_{d} = ω_{norte} \sqrt{1 - ζ^{2}}

$p_{1},p_{1}^{*}=-\alpha\pm j\omega_{d}; \alpha = \zeta\omega_{N}; \omega_{d}=\omega_{N}\sqrt{1-\zeta^{2}}$

Usando la propiedad de Laplace para las derivadas, la Ecuación 2 se transforma en el dominio de Laplace. Observe que las condiciones iniciales ahora se revelan de tal manera que $I_{0}$ es la corriente del inductor inicial, $V_{0}$ es el voltaje inicial del capacitor, y $\frac{V_{0}}{L}$ es la tasa inicial de cambio de la corriente del inductor.

s^{2} I_{L} (s) - I_{0} s - \frac{V_{0}}{L} + 2 ζ ω_{norte} (s I_{L} (s) - I_{0}) + ω_{norte}^{2} I_{L} (s) = 0

$s^{2}I_{L}(s)-I_{0}s-\frac{V_{0}}{L}+2\zeta\omega_{N}\left(sI_{L}(s)-I_{0}\right)+\omega_{N}^{2}I_{L}(s)=0$

Resolver la corriente del inductor y completar el cuadrado en el denominador revela dónde $B_{3},B_{4}$ se puede identificar ordenando el numerador.

I_{L} (s) = \frac{I_{0} s + 2 ζ ω_{norte} I_{0} + V_{0} / L}{(s + α)^{2} + ω_{d}^{2}} = \frac{I_{0} (s + α) + \frac{α I_{0} + V_{0} / L}{ω_{d}} ω_{d}}{(s + α)^{2} + ω_{d}^{2}}

$I_{L}(s)=\frac{I_{0}s+2\zeta\omega_{N}I_{0}+V_{0}/L}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}=\frac{I_{0}(s+\alpha)+\frac{\alpha I_{0}+V_{0}/L}{\omega_{d}}\omega_{d}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}$

La comparación con la ecuación 1 revela los valores:

B_{3} = I_{0}; B_{4} = \frac{α I_{0} + V_{0} / L}{ω_{d}}

$B_{3}=I_{0};B_{4}=\frac{\alpha I_{0}+V_{0}/L}{\omega_{d}}$

Los valores:

B_{1} = V_{0}; B_{2} = \frac{α V_{0} + I_{0} / C}{ω_{d}}

$B_{1}=V_{0};B_{2}=\frac{\alpha V_{0}+I_{0}/C}{\omega_{d}}$ se encuentran observando la simetría entre la solución de corriente del inductor y la solución de voltaje del capacitor y luego haciendo las sustituciones sin tener que hacer todos los cálculos nuevamente.

Espero que esto ayude.

Andy alias · Answer 4

Esta es una respuesta parcial a la solución del voltaje terminal a través del circuito RLC.

La fórmula es: -

$v(t) = e^{-\alpha t}\cdot[B1\cdot \cos(\omega_d t) + B2\cdot\sin(\omega_d t)]$

dónde...

$\alpha$ es 1/2CR (ver más abajo)
B1 es el voltaje inicial (en t = 0), es decir $V(0)$

y

B2 es $\dfrac{\dfrac{I_L(0)}{C}-\dfrac{V(0)}{CR}+\alpha\cdot V(0)}{\omega_d}$

$\dfrac{I_L(0)}{C}$ es el controlador dominante de la tasa de cambio de voltaje en t = 0 y esto es modificado por la resistencia de carga que ajusta el dv/dt dominante por $\dfrac{V(0)}{CR}$ .

Esto da un resultado de gráfico de hoja de cálculo que es lo más cercano posible a la simulación. Por ejemplo, con I(0) a 2 amperios, V(0) a 10 voltios, L = 256 uH, C = 1 uF y R = 3000 ohmios, la hoja de cálculo me dice que el siguiente máximo de voltaje es 33,387722 voltios y el micro-cap dice yo es 33.388 voltios: -

50% resuelto, ¿puedo resolver la corriente del inductor o alguien intervendrá?

RLC paralelo sin fuente, subamortiguado, con 2 condiciones iniciales

Andy alias

broma

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