Resolviendo un circuito transitorio con RLC serial usando la Transformada de Laplace

No creo que pueda darle todos los detalles, pero esto puede ayudarlo a comenzar. Afortunadamente, hay mucha información en la Web para esto. Una forma típica de transformar inversamente una expresión como la suya es buscar una tabla de transformadas de Laplace, reescribir la expresión de modo que los componentes coincidan con una o más de las formas de la tabla. Con su expresión, va a encajar en estas dos formas (copiadas de Wikipedia):

Ahora, reescribe tu expresión tal que$I(s) = AP(s) + BQ(s), A,B$son constantes.
El primer paso para reescribir probablemente sería reescribir el denominador "completando el cuadrado". Y estaría factorizando constantes durante la reescritura.
Después de obtener P(s) y Q(s) para que coincidan exactamente con las formas de la tabla, entonces,$i(t) = Ap(t) + Bq(t)$usando las funciones originales dadas por la tabla.

Nueva edición: tenía curiosidad, así que terminé la transformación inversa como se muestra a continuación

$$I=\frac{8 \times 10^{-5}s + 0.4}{4 \times 10^{-3} s^2 + 32s +10^5} =\frac{0.02s + 100}{s^2 + 8000s + 25000000}$$ $$=0.02 (\frac{s + 5000}{s^2 + 8000s + 25000000}) =0.02 (\frac{s + 5000}{(s+4000)^2 + 3000^2})$$ $\alpha=4000$, $\omega=3000$Estos coinciden con las raíces que calculaste para los polos. $$I = 0.02 (\frac{s + 4000 - 4000 + 5000}{(s+4000)^2 + 3000^2}) = 0.02 (\frac{s + 4000}{(s+4000)^2 + 3000^2}+\frac{1000}{(s+4000)^2 + 3000^2}) = 0.02 (\frac{s + 4000}{(s+4000)^2 + 3000^2}+\frac13\frac{3000}{(s+4000)^2 + 3000^2})$$ $$i(t) = 0.02(e^{-4000t}cos(3000t) + \frac13e^{-4000t}sin(3000t))$$

Lo que me despertó la curiosidad fue que también traté de obtener la transformación inversa de WolframAlpha, y obtuve una respuesta realmente complicada en forma real. Mi conjetura es que utiliza un método mecánico que produce una respuesta demasiado complicada para que se reduzca. Entonces, si uno simplemente ingresa números en una computadora para obtener respuestas, a veces las relaciones más simples pueden permanecer ocultas.

He tabulado y trazado mi solución que se proporciona a continuación en Excel (solución completamente general/universal, es decir, los 3 casos, ver a continuación; puedo proporcionársela a una persona interesada por correo electrónico; soy checo, ya que el solicitante MightyPork probablemente sea ) y también simulé el circuito en PSpice (obteniendo resultados idénticos con el gráfico de Excel en la parte inferior). En lugar de ' yo con sombrero ', he usado la notación I ( s ) durante mi derivación.

http://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=7c762190486dfb47dca59a9a1f8cb1a8&title=Inverse%20Laplace%20Transform%20Calculator&theme=orange&i0=(s-z0)/(s(s-p1)(s-p2) )&i1=s&i2=t&podSelect=&includepodid=Entrada&includepodid=Resultado

(parcela agregada 2015-02-13)

Apéndice: (agregado 2015-02-11)

MightyPork escribió:

…Allí me quedé un poco atascado, no sé cómo proceder. Además, es posible que haya cometido algún error. ¿Cómo me actualizo en el dominio del tiempo? Debería ser algún tipo de onda amortiguada, mirando los polos, pero no estoy seguro de cómo hacer la transformada inversa de esto...

1. Sí, ha cometido un pequeño error al faltar un signo menos en el exponente (más bien una especie de error de "mecanografía" :):

2. Para hacer la transformación inversa de eso, entonces, si desea utilizar la "Calculadora WolframAlpha" mencionada anteriormente (o alguna otra herramienta similar, expresiones tabuladas, etc.), debe encontrar las raíces del numerador (ceros) y denominador (polos; ya lo has hecho) y reescribe el lado derecho de la siguiente manera:

Para nuestra expresión, puede encontrar la transformada inversa de Laplace como:

Entonces, si estamos interesados ​​solo en nuestro caso particular (con polos complejos), entonces podemos escribir:

entonces, el resultado final (como ya ha dicho rioraxe ) es:

---

buscando el voltaje$u_C(t)$, tenemos que integrar la corriente calculada de la siguiente manera (sabemos que$u_C(0) = 0$):

(He usado una variable x en lugar de t dentro de la función i ( t ) para no confundir la variable independiente con los límites integrales definidos que finalmente se convertirán en la variable independiente en el resultado (después de integrarlos y sustituirlos)

Si quisiéramos hacerlo manualmente, sería mejor usar la " expresión exponencial " anterior porque

y la integración en sí se vuelve bastante fácil, pero hagámoslo usando la Calculadora WolframAlpha :

Solicitud de integración de una expresión genérica ' e^ax (c sin(bx) + d cos(bx)) '

ingresando el comando " integrate e^ax (c sin(bx) + d cos(bx)) " en

http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/

Nosotros recibimos:

y para los siguientes valores dados$\> a \> = \> –4000; \> b = \> 3000; \> c \> = \> \frac{1}{3}; \> d \> = \> 1, \> C \> = \> 0,4 \cdot 10^{–6} \>$:

… sorprendentemente, el mismo resultado que antes :) (habiendo usado la transformada de Laplace hasta el final del cálculo anteriormente)