Reflejo de la luz en un espejo en movimiento - Transformaciones de Lorentz

Configuración: Consideremos un espejo en movimiento a velocidad constante en la dirección z. Un rayo de luz de frecuencia ω cae sobre el espejo. Su vector de onda k forma un ángulo θ con el vector normal al espejo.

Ahora me gustaría encontrar el ángulo de reflexión con respecto al vector mi → z normal al espejo usando la onda de cuatro vectores k m = ( ω / C , k → ) . Primero quería transformar los cuatro vectores en un sistema k ′ donde el espejo está en reposo. Sé que el vector de posición transformado se puede escribir como

{ X 0 ′ = γ ( X 0 − β X ∥ ) X ∥ ′ = γ ( X ∥ − β X 0 ) X ⊥ ′ = X ⊥ }
El vector k en el sistema K se ve así
{ k 0 = ω / C = k k ∥ = k z = k ∗ C o s ( θ ) k ⊥ = k y = k ∗ s i norte ( θ ) }
Mi problema ahora es cómo transformar el vector k en el sistema primado K'. Debe tener un aspecto como este:
{ k ′ 0 = k γ ( 1 − β ∗ C o s ( θ ) ) k ∥ ′ = k γ ( C o s θ − β ) k ⊥ ′ = k ⊥ = k ∗ s i norte ( θ ) }
La pregunta principal es: ¿Cómo llegan a ser los diferentes cosenos?
Nota: Sé que ya se ha hecho una pregunta similar, pero más amplia, aquí con el título "ley de reflexión para un espejo en movimiento". Pero las referencias dadas no proporcionan ninguna idea de este problema específico.

Pista: ¿cómo transformas cuatro vectores de un marco a otro?
Tengo que aplicar una transformación de Lorentz multiplicando el 4 Vector con una matriz de transformación Λ .
Y si tienes la transformación de ( X 0 , X | | ) a ( X 0 ′ , X | | ′ ) , ¿cuál es la matriz de transformación?
Creo que debería ser algo como
Λ = { γ γ v → T / C γ v → / C 1 + γ 2 v → v → T / C 2 ( 1 + γ ) }
Te estás complicando demasiado. Solo mire el primer conjunto de ecuaciones en su pregunta: toma la posición de cuatro vectores X en la posición cuatro vector X ′ . ¿Qué es esta transformación en forma matricial?
Tal vez es más fácil escribir
Λ = { γ − γ β 0 0 − γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 }
Ups, eso es bastante simple: solo tengo que aplicar las mismas transformaciones que en la primera parte. No sé por qué no lo he visto antes... ¡Gracias por tu ayuda!
Sucede. Bienvenido.

Respuestas (1)

Tome las mismas transformaciones dadas para el vector de posición x. Muestran la transformación de Lorentz "estándar".
Luego aplícalos a:

{ k 0 = ω / C = k k ∥ = k z = k ∗ C o s ( θ ) k ⊥ = k y = k ∗ s i norte ( θ ) }
Esto da
{ k 0 ′ = γ ( k 0 − β k ∥ ) k ∥ ′ = γ ( k ∥ − β k 0 ) k ⊥ ′ = k ⊥ }
Usando las relaciones dadas para k en el sistema K obtenemos el resultado deseado.

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