¿Qué objetos se pueden usar como sustitutos de la varita?

Una varita es simplemente una forma de enfocar/concentrar mejor tu magia. Un mago puede hacer magia sin una varita (ve a Harry Potter cuando era niño haciendo todo tipo de magia, desde liberar a Python de una jaula de vidrio hasta volar por los aires a la tía Marge).

Ergo, CUALQUIER objeto puede usarse para concentrar magia al menos tan bien como tus propios dedos/mente; es solo que ciertos objetos (madera con núcleos de animales mágicos) son mejores para este enfoque; y la madera especial con núcleos especiales son mucho mejores en este enfoque (consulte el último párrafo de esta respuesta). Esto es análogo al hecho de que puedes cortar a alguien con un cuchillo desafilado: es mucho MÁS FÁCIL y requiere menos fuerza para hacerlo con uno afilado.

En cuanto al uso de la espada: es posible (nuevamente, no será peor que tus propios dedos, pero posiblemente sea mejor, aunque no hay soporte de canon para eso).

Pero al ser de metal, es probable que sea mucho peor para enfocar que la madera (no hay soporte de canon directo; pero nadie hizo varitas de metal, y si fuera factible, estoy seguro de que al menos algún "encantador de metal" lo habría intentado; obtener una varita irrompible única. Recuerda que la varita principal de Harry no se rompió por alguna magia extraña, sino simplemente por el impacto físico en Godric's Hollow, lo mismo para la varita de Ron semidestruida por Womping Willow. Así que una varita de metal irrompible habría valido la pena el esfuerzo por mundo mágico).

En realidad, las varitas anteriores a Ollivander usaban núcleos y maderas extraños que no enfocaban bien (fuente: Pottermore). Ollivander comenzó a usar estos núcleos y maderas especiales exclusivamente sobre cualquier material aleatorio de "reliquia familiar" que fuera popular antes; es por eso que sus varitas son tan apreciadas.

No estoy de acuerdo con la respuesta de DVK. Si bien es cierto que no es necesaria una varita para lanzar hechizos, no se puede usar ningún objeto para canalizar la magia. El objeto que se utiliza debe tener propiedades mágicas propias.

Primero, las varitas de confirmación no son necesarias para lanzar hechizos (del escrito Uagadou de JK Rowling en Pottermore):

La varita es un invento europeo, y aunque las brujas y los magos africanos la adoptaron como una herramienta útil en el siglo pasado, muchos hechizos se lanzan simplemente señalando con el dedo o mediante gestos con las manos.

En segundo lugar, una descripción general de cómo se seleccionaron los materiales de la varita y que debían ser una sustancia mágica (del escrito del Sr. Ollivander de JK Rowling en Pottermore):

Antes de que el Sr. Ollivander fuera propietario del negocio familiar, los magos usaban una amplia variedad de núcleos de varitas. Un cliente a menudo le presentaba al fabricante de varitas una sustancia mágica a la que estaba apegado, o había heredado, o por la que juraba su familia (insinuado por el núcleo de la varita de Fleur Delacour). El Sr. Ollivander, sin embargo, era un purista que insistía en que las mejores varitas nunca se producirían simplemente envolviendo los bigotes de un Kneazle favorito (o el tallo de una planta Díctamo que una vez salvó al padre de un mago del envenenamiento, o la melena de un kelpie una bruja había conocido una vez durante unas vacaciones en Escocia) en el bosque favorito del cliente. Él creía que las mejores varitas tenían núcleos de sustancias mágicas inmensamente poderosas, que estaban expertamente encerrados en maderas de varitas especialmente seleccionadas y complementarias., el resultado de ser emparejado con un propietario con quien la varita misma sintiera la mayor afinidad.

También vemos que la madera en sí tampoco podría ser de ningún árbol ordinario (del escrito Wand Wood de JK Rowling en Pottermore):

Solo una minoría de árboles puede producir madera de calidad para varitas (al igual que una minoría de humanos puede producir magia). Se necesitan años de experiencia para saber cuáles tienen el don, aunque el trabajo se hace más fácil si se encuentran Bowtruckles anidando en las hojas, ya que nunca habitan árboles mundanos.

IIRC, el único objeto que no es una varita que vemos en los libros es el paraguas de Hagrid, como mencionaste. Sin embargo, solo usa el paraguas para ocultar la varita rota. El paraguas en sí no se usa para enfocar la magia.

También preguntaste sobre la Espada de Gryffindor. Si bien la espada estaba hecha de Goblin Silver, que tiene propiedades mágicas, no habría forma de que un núcleo se encerrara en su interior. Por lo tanto, no sería capaz de enfocar la energía mágica.

Muchos magos usan bastones en lugar de varitas. Todos los magos de Durmstrang tienen bastones y varitas que puedes ver en el cáliz de fuego cuando ingresan por primera vez a Hogwarts.

Honestamente, lo que se usa, en el contexto de la magia, no es importante en cuanto a lo que se usa para las varitas. Obviamente, el uso de madera es común, para varitas. Evidentemente, el núcleo es importante, porque sin él, la varita es solo un palo. En cuanto al metal, para las varitas evidentemente hay un caso para ello. A pesar de mi falta de evidencia histórica en su forma imperial, las varitas en realidad estaban hechas de huesos no humanos. Un ejemplo es una varita de hueso, que se encuentra en África. Mi razón para hacer este punto es que las varitas no tienen que ser de madera.