¿Qué es una onda estacionaria?

Una animación vale más que un millón de palabras:

Este será un tratamiento puramente matemático. Debe combinarse con algunos juegos prácticos para "captarlo" de verdad.

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Onda viajera

Comencemos con la descripción de una onda viajera armónica en una dimensión. Aquí "armónico" solo significa que la forma matemática de la onda es sinusoidal tanto en el tiempo como en el espacio.

Para ser concretos, hablaremos de algún tipo de onda de desplazamiento de materia transversal. Una ola en una cuerda, tal vez.

La expresión matemática para el desplazamiento de un trozo de cuerda lejos de su posición de reposo es

$$y(x,t) = A \cos(k x - \omega t) \,.$$ Aquí $k = 2 \pi/ \lambda$es el número de onda, $\lambda$es la longitud de onda, $\omega = 2\pi/T$es la frecuencia angular y $T$es el período. A la mayoría de las personas les resulta más fácil pensar en la longitud de onda y el período, por lo que es posible que se sienta más cómodo pensando en eso como $$y(x,t) = A \cos\left(\frac{2 \pi}{\lambda}x - \frac{2 \pi}{T} t\right) \,.$$ En cualquier caso, esto representa un tren de ondas sinusoidal continuo de amplitud $A$moviéndose hacia la derecha a medida que pasa el tiempo. Reemplace la $-$con un $+$en el argumento al coseno y la onda se mueve hacia la izquierda.

La longitud de onda puede tener cualquier valor que desee.

Onda estacionaria

Ahora consideramos la situación con dos de estos trenes de ondas, uno moviéndose en cada dirección. Obtenemos

$$\begin{align*} y(x,t) &= A \cos(k x - \omega t) + A \cos(k x + \omega t) \\ &= A\left[ \cos(kx)\cos(\omega t) + \sin(kx)\sin(\omega t) \right] + A\left[ \cos(kx)\cos(\omega t) - \sin(kx)\sin(\omega t) \right] \\ &= 2A \cos(kx)\cos(\omega t) \end{align*}$$ La longitud de onda es la misma y el período es el mismo, pero el comportamiento es marcadamente diferente. La dependencia espacial y temporal combinada que vimos antes se ha dividido en dos dependencias separadas. Los bultos en las curvas del coseno ya no se mueven con el paso del tiempo, sino que permanecen donde están y su amplitud sube y baja.

Esa es una onda estacionaria.

La longitud de onda sigue siendo arbitraria.

Para ser completamente generales, tenemos que trabajar las matemáticas con un cambio de fase arbitrario o permitir también algunos términos sinusoidales, pero esa complejidad no nos enseña nada nuevo.

Onda estacionaria en un espacio confinado

ESTÁ BIEN. Pensemos en una guitarra u otro instrumento musical de cuerda. El tono está relacionado con la frecuencia.$f = 1/T$, y cuando golpeo una cuerda en particular obtengo una nota particular en lugar de una frecuencia arbitraria. Más aún, cuando me inquieto y golpeo la cuerda, obtengo una nota diferente (más alta).

Tiene que haber algo en mantener los extremos de la cuerda en reposo que obligue a la cuerda a elegir alguna frecuencia (o más bien un conjunto de frecuencias).

Y eso está relacionado con la onda que reflejan las ondas. Cuando envía un solo pulso por una cuerda de burla en un punto donde está rígidamente unido, el pulso de onda se le envía de vuelta al revés . Es reflejada e invertida. Cuando tocas una cuerda que envía pulsos en ambas direcciones y se reflejan, cruza la cuerda para que se refleje nuevamente y así sucesivamente. El sistema no es sin pérdidas, por lo que la energía se disipa con el tiempo, pero durante un tiempo hay una serie de vibraciones caóticas en la cuerda. Los que duran son aquellos en los que la onda espacial encaja entre los extremos con un nodo (cero) en ambos extremos.

La imagen muestra los tres modos de frecuencia más bajos. Las líneas rojas representan el estado del sistema en el tiempo cero y la línea azul el estado después de la mitad de un período. Las líneas grises representan otros tiempos. (Imagen original del autor.)

Después de un corto tiempo, la cuerda se mueve en un patrón que se compone de ondas estacionarias (esas reflexiones invertidas, a la derecha) cuya longitud de onda encaja perfectamente. la ecuacion es$L = \frac{2n-1}{2}\lambda$dónde$L$es la longitud entre los extremos fijos y$n$un número de conteo (1, 2, 3...).

Cuando te preocupas por la guitarra,$L$se vuelve más pequeño, por lo que la longitud de onda asociada también debe hacerlo, pero la longitud de onda está relacionada con la frecuencia por la velocidad$c$de propagación de ondas en la cuerda$\lambda f = c$, así que cuando la longitud de onda baja, la frecuencia sube y escuchas un tono más alto.

Electrón en un átomo como onda estacionaria

En el (muy erróneo) modelo de Bohr, se imagina que el electrón sigue una órbita circular. En ese caso, un número entero de longitudes de onda tendría que caber alrededor del círculo para que el electrón no interfiera consigo mismo.

Ese no es un gran modelo, pero es más o menos lo mejor que puede hacer hasta que esté listo para enfrentar las ondas estacionarias tridimensionales en coordenadas esféricas, así que es donde lo dejaré.

En realidad, los electrones no son pequeñas bolas y no siguen un camino (circular o de otro tipo), y llamamos a los estados que ocupan "orbitales" en lugar de "órbitas" en parte para recordarnos esas diferencias.

¿Cómo se relaciona una onda estacionaria con la órbita atómica? (Tengo entendido que la órbita atómica es una función matemática que describe la probabilidad de que un electrón esté en un lugar determinado, pero también es la imagen de esta función en términos de real espacio, es decir, el volumen tridimensional real alrededor del núcleo que un electrón en particular llama "hogar").

Si eres nuevo en la mecánica cuántica, las densidades de probabilidad de un electrón en un átomo (por ejemplo, un átomo de hidrógeno) no son el mejor lugar para comenzar tu consulta.

Un sistema mucho más simple pero bastante análogo y perspicaz es la partícula (por ejemplo, un electrón) en una caja de tamaño atómico 1D . Toda la información que podemos tener sobre esta partícula está contenida en su función de onda $\Psi$, que se obtiene resolviendo la correspondiente ecuación de Schrödinger.

Visite el enlace para ver la similitud entre las funciones de onda ($n=1,2,3,...$) y las ondas estacionarias representadas en la respuesta por 'brezo'.

Siempre que la función de onda sea Real,$\Psi^2(x)$representa la distribución de densidad de probabilidad de la partícula sobre el dominio de la caja.

Por ahora, es mejor ver la similitud descrita anteriormente como una analogía , en lugar de una identidad : las funciones de onda de las partículas unidas no son exactamente ondas de materia estacionaria.

Una onda estacionaria es básicamente dos ondas opuestas de igual amplitud, como se muestra en el siguiente diagrama (donde n es un número entero positivo):

Puedes ver esto más claramente si miras la línea superior donde n=3, y la sigues a medida que baja, sube, baja. Esa es la ola uno. Entonces, si miras la línea de fondo en el mismo caso que sube, baja, sube, esa es la ola opuesta.

Las ondas estacionarias pueden ocurrir con luz, rayos X, ondas de agua, ondas de sonido y ondas sísmicas.

Puede obtener más información sobre las ondas estacionarias aquí .

Para la parte adicional de su pregunta, consulte las respuestas a esta pregunta en el sitio physics.SE.

¡Espero que esto ayude!