¿Puedo viajar solo con mi documento de identidad de la República Checa de Serbia a Budapest?

Sí, puede viajar solo con una tarjeta de identificación checa ya que Hungría está en la Unión Europea y la República Checa tiene un acuerdo con Serbia. Fuente: http://www.mzv.cz/jnp/cz/cestujeme/aktualni_doporuceni_a_varovani/srbsko_cestovani_na_obcansky_prukaz.mobi

Los ciudadanos de la UE pueden entrar y salir de Serbia con una tarjeta de identificación nacional, según lo declarado por el Ministerio de Relaciones Exteriores de Serbia

Entonces, si su registro de extranjero está en orden, estará bien.

Hungría está en la UE, por lo que tiene libertad de movimiento allí y puede ingresar con una tarjeta de identificación

Tenemos dos respuestas afirmativas, ambas con un razonamiento incorrecto, proporcionando los enlaces incorrectos: el OP ya está en Serbia, el tipo de documentación necesaria para ingresar a Serbia es irrelevante. El comentario de ytg es el ganador: como Hungría y Chequia son parte del Tratado de Schengen y la Unión Europea, puede usar su tarjeta de identificación nacional para ingresar y viajar dentro del área de Schengen. Documentos de viaje para ciudadanos de la UE :

Necesita este párrafo para ingresar a la zona Schengen en la frontera entre Serbia y Hungría:

Cuando viaje hacia o desde un país no Schengen, debe mostrar una identificación o pasaporte válido.

Y este para ir de Hungría a Chequia (posiblemente cruzando Eslovaquia, otro miembro del tratado Schengen):

Si es ciudadano de la UE, no es necesario que muestre su documento nacional de identidad o pasaporte cuando viaje de un país de la UE sin fronteras Schengen a otro.