Proyección de mapas para un mundo pseudoesférico

Una pseudoesfera (o antiesfera o tractricoide) tiene una superficie de curvatura gaussiana negativa constante, en contraste con una esfera, que tiene una curvatura gaussiana positiva constante.

Diagrama de una pseudoesfera, que se asemeja a un trompo de juguete

Fuente: http://xahlee.info/surface/pseudosphere/pseudosphere.html

Agitando a mano el modelo de física y espacio-tiempo que permitiría la formación de cuerpos muy parecidos a esta forma superior (planetas de pseudoesfera, estrellas de pseudoesfera, etc.), ¿cómo mostraría de manera óptima (es decir, con la menor distorsión) la superficie como un mapa 2D?

Mi instinto dice que sería comparable a la proyección Sinusoidal, pero con la máxima distorsión en el ecuador en lugar de los polos. Pero tengo dificultades para resolver el ecuador como la parte más ancha y más grande de la superficie que tiene la mayor distorsión.

Proyección sinusoidal con indicatriz de Tissot visible

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Sinusoidal_projection

La superficie del cuerpo que se muestra en la primera imagen no tiene una curvatura negativa constante. Hay una discontinuidad infinita en lo que llamáis el ecuador. Esta discontinuidad infinita se descarta en el mapa; esa es la distorsión masiva que ignoraste.
Sospecho que la respuesta corta es "usar una proyección con una distorsión mínima". Suena tautológico, pero la forma de lograrlo es cortando el mapa en pedazos, a la Dymaxion o Waterman .
@AlexP 1) Por definición, lo hace; el 'ecuador' es asintótico pero la superficie es finita. 2) Claramente dije que el planeta "se aproxima mucho" a la forma.
@Matthew OK, entonces, ¿cómo se ve eso? Tenga en cuenta que los mapas de Dymaxion se pueden recortar para dividir los accidentes geográficos para mantener las masas de agua continuas, por lo que no importa cuál sea la disposición de los continentes.
No estoy seguro, pero podrías intentar preguntar en un sitio de desarrollo de juegos; si está dispuesto a agregar divisiones, esencialmente está lidiando con un problema de desollamiento de textura.
@Matthew No soy un desarrollador de juegos, pero la última vez que verifiqué una textura es un cuadrado o rectángulo plano que se transforma con matemáticas sofisticadas para cubrir una superficie, a menudo llena de distorsión.
Sí, pero sigue siendo valioso minimizar esa distorsión y por razones similares; para minimizar la diferencia entre el área de la textura y el área de la superficie, de modo que todas las áreas de la superficie tengan un detalle similar. Estás tratando de transformar un "mapa" (también conocido como un cuadrado o rectángulo plano) para cubrir un planeta antiesferoidal (también conocido como una superficie). OIA, exactamente el mismo proceso.
Echa un vistazo al juego Hyperbolica y Hyper Rouge . Creo que un disco de Poincaré es la forma normal en que resulta.
Cabe señalar que la proyección sinusoidal está distorsionada, en la forma en que se utiliza la "distorsión" en cartografía. Las proyecciones transversales de Mercator y Mercator no están distorsionadas, es decir, las indicatrices de Tissot permanecen circulares.

Respuestas (3)

Algo similar a las "proyecciones polares" de los planetas esferoides como la Tierra probablemente funcionaría bien.

Su planeta tiene una barrera natural y bastante extrema en el ecuador, por lo que separar el mapa en 2 mapas "polares", que están separados por esta barrera ecuatorial, tiene sentido práctico.

Incluso podrías mirar la historia del planeta, cómo comenzaron la cartografía mucho antes de que pudieran descubrir la existencia del extremo opuesto del planeta, y esto significa que los primeros mapas serían una sola proyección polar. Llámalo "tradición" y "cultura", y di que es demasiado difícil y poco práctico cambiarlo.

Tal vez estoy malinterpretando, pero ¿no tendría esto una gran distorsión en los polos (la mitad de cada sección del mapa)? La tierra allí se acercaría de lado desde la perspectiva de arriba hacia abajo. Tener la superficie 2D menos distorsionada me permitiría mapear el mundo de manera objetiva antes de superponer las distorsiones culturales, etc.
Podría dividir esto en un anillo y una proyección cilíndrica más tradicional, y podría agregar una costura al anillo y 'desenrollarlo' en un rectángulo (agregando algo de distorsión en el proceso). O podría exagerar y simplemente dividir la cosa en muchos de esos cilindros desenrollados, que luego podría doblar, girar y mutilar en secciones divididas y apiladas o incluso en triángulos.

Después de más investigaciones, creo que la mejor manera de minimizar o regular, pero no eliminar, la distorsión sería inspirarse en cómo se representan las pseudoesferas en el disco de Poincaré :

Un sector de la pseudoesfera, cortado al "Límite infinitamente distante" - Rucker

Fuente: https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/pseudosphere.html

O se muestra otra forma de ilustrar el equivalente de la indicatriz de Tissot :

Círculos rojos concéntricos y círculos blancos a intervalos regulares

Fuente: http://web1.kcn.jp/hp28ah77/us20_pseu.htm

En ambos ejemplos, la circunferencia del círculo exterior está a una distancia infinita del centro. Como el planeta (¿anti-planeta?) pretende ser una aproximación física de estas propiedades, podemos ignorar ese aspecto y centrarnos en la forma de la superficie aplanada en este espacio no euclidiano, puntilizada en la primera figura y violeta claro en el segundo.

Este enfoque también permite una flexibilidad considerable en el ajuste de los accidentes geográficos, ya que la forma 2D no necesita ser simétrica para describir la 3D. Imagina que el rosa y el naranja son una masa de tierra continua:

Un círculo rosa y naranja en una representación plana asimétrica forma una "silla de montar" cuando se enrolla en tres dimensiones

Como resultado, obtenemos lo que yo llamaría una Proyección de hojas de Gingko.

Dejaré la pregunta abierta para alentar otros enfoques.

Normalizar el radio

A mi modo de ver, la mejor forma es declarar un Radio r y estirar cada punto de la Superficie hasta ese Radio. Esto le da la superficie muy difícil de mapear de un cilindro. La verdad es que, en su mayor parte, solo la región del ecuador estará masivamente fuera de proporción, ya que la mayor parte de la planta ya tiene un radio "similar". Y simplemente no hay tanta curvatura de y 100 a y 20000.

También puedes ponerte elegante con esos mapas y tal vez agregar un gráfico o supongo que la sección transversal del planeta en el costado de ese mapa para mostrar cuánto está distorsionado todo.

Pero sí, no lo pienses demasiado. Nadie en tu mundo lo haría. Un radio normalizado es fácil de entender y también es fácil entender por qué las cosas están distorsionadas.

Parece que estás diciendo equirrectangular, pero esa no puede ser la proyección menos distorsionada (como se solicitó) para una antiesfera porque no es para una esfera regular.
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