¿Por qué los electrones aún no tienen energía después de completar un circuito con una batería?

Ahora, siempre pienso en los electrones que se mueven en un campo como una pelota que se deja caer desde una altura, por lo que esta energía potencial se convierte en otro tipo de energía que se suministra a los componentes.

No es una mala manera de pensar en ello. Normalmente no cortocircuitas la batería, le pones carga. Piense en esto como una resistencia a la caída de la pelota. Quizás en lugar de aire, lo dejas caer en aceite y desciende a una velocidad constante (pero lenta).

La pelota pierde energía potencial a medida que cae y el aceite gana energía térmica. La KE de la pelota es constante.

Después de que un electrón suministra energía a un componente, ¿cómo continúa sin energía? ¿El campo eléctrico no aceleraría el electrón para que el electrón ganara más energía incluso después de suministrar energía a un componente?

Aquí es donde viene la gran diferencia entre un circuito y la gravedad. Cerca de la superficie de la tierra, el campo gravitatorio es aproximadamente constante. Pero el campo en el circuito no lo es. Después de que esté presente la última carga, habrá un campo eléctrico muy pequeño, lo suficiente para superar la pequeña resistencia en los cables. No hay aceleración después de la última carga porque el campo es pequeño.

El campo eléctrico en estado estacionario se ha reconfigurado de tal manera que la corriente es constante en todos los puntos. Por lo tanto, las resistencias que, de lo contrario, reducirían la velocidad de la corriente tienen un gran campo que empuja la carga, y los cables de baja resistencia tienen campos muy pequeños.

¿El campo eléctrico no aceleraría el electrón para que el electrón ganara más energía incluso después de suministrar energía a un componente?

En esencia, sí. Lo que estás notando aquí es consecuencia del hecho de que la energía no es transportada por los portadores de carga sino por los propios campos.

La descripción del transporte de energía en el electromagnetismo se denomina teorema de Poynting. Cuando lo aplica a los circuitos ordinarios, encuentra que la mayor parte del transporte de energía en un circuito es en realidad a través de los campos fuera de los cables. El único transporte de energía en los cables reales de un circuito normal son las pérdidas óhmicas en el propio cable, y ese es el transporte de energía radialmente hacia el interior del cable en lugar de a lo largo del cable. Toda la energía útil se transporta fuera del cable.

Si bien es cierto que las cargas en diferentes partes del circuito tienen diferente energía potencial, esa energía no viaja sobre la carga para ser depositada en un componente como un camión de reparto que deja suministros. Nuevamente, esa energía potencial se almacena en la configuración de campo resultante. Por lo tanto, como notó, los campos aún pueden mover los electrones después de que salen de un componente.

La energía en una batería proviene del potencial químico. Es la energía libre de Gibbs la que es la energía eléctrica. Cuando el ánodo y el cátodo se tocan y no hay un circuito externo, la energía se convierte en calor, no en energía eléctrica. La ecuación de Nernst relaciona la energía libre de Gibbs con el voltaje de circuito abierto:

$$\Delta G=-nFE$$ n es el número de moles de electrones, F es la constante de Faraday, E es el potencial de circuito abierto. Esto está además relacionado con las concentraciones y la constante de equilibrio de la reacción. Una manera fácil de estimar el voltaje es a través de una tabla de reducción estándar que asume cosas sobre concentración, temperatura, etc. El potencial estándar y el potencial de celda están relacionados con el HOMO y el LUMO de las especies químicas, pero no son iguales.

básicamente la ecuación de Nernst dice:

$$\Delta G =-nFE= \mu dN = -RTlnK + RTlnQ$$ mu es el potencial químico y está entre HOMO y LUMO de las especies oxidadas y reducidas relevantes. K es la constante de equilibrio y es lógico que cuanto mayor sea la constante de equilibrio, más negativa será la energía libre de Gibbs y mayor será el potencial de la celda (a esta reacción le gusta formar productos). Q es la relación actual de concentraciones en la celda, cuando la celda está en equilibrio, el voltaje es cero como lo es la energía libre de Gibbs

finalmente W=QV implica Q=-nF y mu=FV donde mu es el potencial químico