¿Por qué funcionan los prismas (por qué depende la frecuencia de refracción)?

Lorentz presentó un buen modelo para la interacción de la materia ligera que describe la dispersión con bastante eficacia. Si suponemos que un electrón oscila alrededor de alguna posición de equilibrio y es impulsado por un campo eléctrico externo$\mathbf{E}$(es decir, la luz), su movimiento se puede describir mediante la ecuación

Si asumimos que la luz entrante es monocromática,$\mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{-i\omega t}$y asumimos una respuesta similar$\xi$, obtenemos

Hay otro enfoque posible para esto, utilizando el método de impulso, que asume que la polarización dieléctrica está dada por convolución.

La explicación simple dada en la Física conceptual de Hewitt es que los átomos en la materia condensada tienen una resonancia de alta frecuencia, y el índice de refracción para la mayoría de las sustancias es más fuerte en el extremo azul del espectro porque ese es el extremo de alta frecuencia, que es el más cercano a la resonancia El siguiente es mi intento de desarrollar esto con una física un poco más seria. Parece capturar algo de la verdad, pero en cierto modo es crudo o incorrecto.

Kitamura 2007 ofrece un resumen de los datos experimentales del vidrio de sílice en una amplia gama de longitudes de onda, junto con una interpretación física. El gráfico de arriba está redibujado de Kitamura. Lo que se observa es que el índice de refracción complejo tiene tres resonancias prominentes con una forma que creo que se denomina lorentziana. En cada resonancia, la parte real de$n$oscila hacia abajo y luego hacia arriba, mientras que la parte imaginaria tiene un pico, lo que indica absorción. Atribuyen cada una de estas resonancias a uno o más fenómenos físicos cualitativamente diferentes. El espectro visible se encuentra entre resonancias en alrededor de 0,1$\mu$m y 9$\mu$metro. El primero se atribuye a la "interacción con los electrones, la absorción por las impurezas y la presencia de grupos OH y defectos puntuales", el segundo a la "vibración de estiramiento asimétrica de los puentes Si-O-Si".

Aunque todo esto es bastante complicado, creo que hay algo de física bastante simple que se puede extraer.

En la región visible, parece que la disminución del índice de refracción con la longitud de onda se debe a una combinación de dos efectos. Esta región del gráfico toma una pendiente negativa desde el 0.1$\mu$m resonancia a su izquierda, y también una pendiente negativa desde el 9$\mu$m a la derecha Esta es una característica universal de cualquier función formada por la suma de un conjunto de estrechas resonancias lorentzianas: lejos de resonancias, siempre tiene una pendiente negativa. La mayor contribución a la pendiente parece provenir de la resonancia de la izquierda, lo que es consistente con la explicación de Hewitt.

Kitamura menciona varios modelos que explican las resonancias, de los cuales el único que conozco se llama modelo de Lorentz. En el modelo de Lorentz, tomas un electrón como un oscilador armónico, como una pequeña masa unida por un resorte a un núcleo. El desplazamiento de este oscilador armónico impulsado (representado como un número complejo para incluir su fase) es el Lorentziano$x=Af(\omega)$, dónde$f(\omega)= (\omega^2+i\gamma \omega-\omega_0^2)^{-1}$y$A=(e/m)E$. A medida que los electrones realizan esta oscilación en respuesta a una onda plana, generan su propia onda plana coherente. Lo que en realidad se observa es la superposición de esta onda con la onda incidente. Esta superposición tiene dos partes, una onda reflejada y otra transmitida. En el límite de un medio de baja densidad (como un gas), el índice de refracción viene dado por$n^2=1-\omega_p^2 f(\omega)$, dónde$\omega_p$, llamada frecuencia de plasma, viene dada por$\omega_p^2=Ne^2/m\epsilon_0$, dónde$N$es la densidad numérica de los electrones. La frecuencia del plasma tiene una$e/m$en él de la amplitud del oscilador armónico accionado, y otro factor de$e$porque la amplitud de la onda reemitida es proporcional a la cantidad de carga que oscila. En el caso del vidrio de sílice, creo que el 0,1$\mu$La resonancia m es probablemente lo que describe el mecanismo anterior, mientras que las otras resonancias son similares matemáticamente pero implican otros efectos además de la oscilación de los electrones enlazados. Por ejemplo, los puentes Si-O-Si resonarían a una frecuencia más baja debido a la mayor inercia de los núcleos en comparación con los electrones.

Una característica interesante del gráfico es que hay mesetas amplias y, a medida que subimos en longitud de onda, cada meseta es sucesivamente más alta que la anterior. Esto se explica por la teoría de Lorentz. En el límite, la respuesta de un oscilador armónico accionado tiende a cero en el límite$\omega\gg\omega_0$, pero se aproxima a una constante (con fase invertida) para$\omega\ll\omega_0$. Sumando las contribuciones de las diversas resonancias se produce una escalera ascendente como se observa.

¿Es la dependencia de la frecuencia para la refracción una propiedad fundamental para todas las ondas?

Lo anterior parece sugerir que existe un comportamiento muy universal en la interacción de las ondas EM con la materia.

¿Es el efecto el resultado de algún tipo de no linealidad en la respuesta del material de refracción a los campos electromagnéticos?

No, creo que es básicamente la respuesta lineal de un oscilador armónico impulsado.

¿Hay (teóricamente) algún material que tenga un índice de refracción no unitario esencialmente constante (al menos para el espectro visible)?

Estoy seguro de que esto sería un santo grial para las personas que hacen óptica. AFAIK, la mejor manera de deshacerse de la dispersión en dispositivos reales parece ser combinar dos materiales para que la dispersión se anule. El vidrio de sílice parece tener una relación relativamente constante.$n$, y esto se debe a que el espectro visible está relativamente alejado de las dos resonancias cercanas. Para obtener menos dispersión en el espectro visible, supongo que querría una sustancia en la que la frecuencia de resonancia que tiene el vidrio sea 0.1$\mu$m fue desplazado más alto.

Kitamura, http://www.seas.ucla.edu/~pilon/Publications/AO2007-1.pdf

Voy a agitar la mano aquí, mirando el problema un fotón a la vez.

Sabemos por el experimento de la doble rendija que incluso los fotones individuales que inciden en la geometría de la doble rendija muestran un patrón de interferencia, característico de la frecuencia/energía del fotón y la geometría de las rendijas.

Uno puede pensar en un cristal como una gran cantidad de obstáculos/rendijas tridimensionales (10 ^ 23 moléculas en un mol dan un número enorme incluso para un cristal de un centímetro en el camino de su ilustración).

Un fotón que incide sobre la superficie de la red, encuentra no dos rendijas, sino una profundidad de rendijas en todo el camino. El efecto observado de la diferente distribución angular según la frecuencia de incidencia del fotón debe ser el resultado de la interferencia mecánica cuántica del fotón, que debe ser constructiva en el ángulo de refracción dado por su frecuencia e índice de refracción y destructiva en cualquier otro lugar. , de lo contrario, estaríamos viendo franjas de interferencia (en realidad, obtenemos un segundo arcoíris, pero esa es una historia diferente :), aunque debería ser similar).

Entonces el problema se reduce a explicar la dependencia de la frecuencia. Repetiré la onda manual y diré que cuanto menor sea la frecuencia, mayores serán las distancias en el patrón de interferencia de la onda de probabilidad; el fotón verá los espacios de la red de manera diferente

de acuerdo con su longitud de onda, como ocurre con el experimento de la doble rendija, por lo que es de esperar un abanico.

Siempre que los haces de electrones y atómicos también muestren refracción, parece que esta es una propiedad de una partícula. La velocidad y el ángulo de deflexión dependen de la masa/tamaño de la partícula para un medio específico. El fotón se comporta como una partícula en este efecto. La masa viene dada por la ecuación de De Broglie :m=hv/c^2 , v=frecuencia