Modelo para comprender la tensión que varía en una cuerda colgante con masa

Reemplazas tu cuerda por una cadena de$N$segmentos de cuerda (lo que su fuente llama las moléculas, sin embargo, eso podría ser engañoso, así que quédese con los segmentos de cuerda) con masa$m$. Cada uno de ellos tiene el peso$F = mg$. Etiquetémoslos de manera que el más bajo (en un sistema de coordenadas donde el vector$\textbf{g}$apunta hacia abajo) tiene índice$1$, el segundo índice más bajo$2$etc. En el ejemplo de la cuerda que se fija en la rama de un árbol, no hay movimiento en la cuerda, por lo que las fuerzas en todos los segmentos de la cuerda deben equilibrarse entre sí.

Por lo tanto, el fragmento de cuerda más bajo experimenta la fuerza hacia abajo.$F_1 = mg$y la fuerza hacia arriba$F_{21} = -F_1 = - mg$(la fuerza sobre el segmento uno debido al segmento dos). Deben ser iguales, de lo contrario, el segmento uno experimentaría un movimiento acelerado, que no forma parte de este modelo. Ahora, el segundo segmento de cuerda experimenta$F_2 = mg + F_{12} = mg - F_{21} = 2mg$. Esto nuevamente debe equilibrarse en$F_{32} = - 2mg$. Continuando con este proceso, encontramos que el$k$el segmento experimenta una fuerza hacia abajo$F_{k} = kmg$, que se equilibra con la fuerza hacia arriba.

Esta fuerza es la tensión, así que tenemos el primer resultado$T_k = kmg$. Ahora, necesitamos usar algunos argumentos limitantes para llegar a una descripción continua de la cuerda. Para eso, queremos enviar el número total$N$de segmentos hasta el infinito manteniendo la masa total$M = Nm$constante. Eso significa que tenemos que ver$m$como una forma de densidad$m = M/N$. Todos los segmentos deben estar igualmente espaciados, para que podamos expresar$N$por la longitud$L$y el espaciamiento$\Delta x$a través de$N = L/\Delta x$. Entonces el caso$N \to \infty$es equivalente a$\Delta x \to 0$.

Introducimos una nueva variable$x = k \Delta x$que describe a qué longitud el índice$k$aterriza en la cuerda. Vamos a juntar todo esto,

Apéndice

Este modelo no tiene en cuenta la dinámica de su sistema. El modelo es puramente una descripción de cómo una fuerza ejercida sobre una cuerda se distribuye sobre la cuerda en forma de tensión local (un poco más precisos, en realidad estamos tratando con una densidad de fuerza uniforme aquí). Creo que la principal confusión se debe al tipo de imagen defectuosa que identifica los segmentos de resorte con las moléculas. Esta es una buena descripción si uno quisiera describir proteínas, que básicamente pueden ser modeladas por largas cadenas unidimensionales de moléculas. Una cuerda suele ser una cadena tridimensional de moléculas y se vuelve un poco complicado reducir realmente esta descripción a una estructura molecular. Por supuesto, no está mal pensarlo de esta manera, pero luego empiezas a preguntarte sobre el movimiento de estas moléculas y todo eso, que no se tiene en cuenta en este modelo.

La declaración aquí es simple: divide una cuerda en múltiples segmentos idénticos, cada uno de los cuales debe ejercer una fuerza sobre su vecino y estar sujeto a una fuerza externa y a las fuerzas de sus dos vecinos. No sabes cómo se relacionan estas fuerzas con el estiramiento de la cuerda. Todo lo que sabes es el peso. $F$en cada segmento, y que la cuerda está unida a algún objeto (rama de árbol) que equilibra las fuerzas y le da a la cuerda una longitud resultante $L$. Eso (y nada más que eso) se da en su problema modelo. Luego continúas, según el modelo, para calcular cómo se distribuye la fuerza a lo largo de la cuerda, dándote$T(x)$.

Y eso es eso. La cuerda podría estar hecha de caucho, acero o cabello. Eso no importa en tu modelo, siempre que su longitud final sea$L$y su masa total es$M$, cualquier material da el mismo resultado. La discusión de la elasticidad requiere un modelo más sofisticado, por ejemplo, una cadena de osciladores armónicos. Dichos sistemas pueden considerarse cuando se habla de elasticidad lineal.

Comience desde el punto en la parte inferior. Que sea de$dx$longitud entonces experimenta fuerza gravitacional debido a su masa$Mdx/l$.

Tensión$T$sobre este elemento equilibra esta fuerza, aplique la tercera ley para encontrar que el elemento de arriba experimenta una fuerza extra$Mg dx/l$En dirección hacia abajo, por lo tanto, tensión en el segundo elemento.$T'$=$T+Mgdx/l$.

Puedes tratarlo como una progresión aritmética y encontrar el$nth$término.

en cada punto$x$en la cuerda hay un$F_g = \frac{M}{L}gx$ya que la masa total de todas las 'moléculas' tirando hacia abajo en$x$es$\frac{M}{L}x$. Entonces, en cada punto a lo largo de la cuerda, la fuerza 'intermolecular' ejercida hacia arriba en cada punto de la cuerda para mantenerse estacionaria es$\frac{M}{L}gx := T(x)$.

En cada punto a lo largo de la cuerda$T(x)$es la fuerza 'intermolecular' colectiva que se requiere para mantener el objeto unido básicamente. y encontramos que$T(x) = Mg\frac{x}{L}$.

Modele la cuerda como una matriz lineal de átomos similares, cada átomo está separado a una distancia constante$d$y tenía una masa finita$m$.

Comienza desde el átomo en el punto más bajo, experimenta fuerza gravitacional.$mg$pero está en equilibrio, por lo tanto, la molécula superior aplica fuerza$mg$debido a las fuerzas de Vanderwaal.

Ahora este átomo superior (segundo átomo desde abajo) experimenta fuerza$2mg$hacia abajo, por lo tanto, la fuerza aplicada por el tercer átomo es$2mg$.

Continuando esto hacia arriba el$nth$el atomo aplica una fuerza$(n-1)mg$y experiencias$nmg$fuerza.

un punto en$x$distancia desde el fondo corresponde a$n=x/d$por lo tanto T=$xmg/d$.

Como masa de cuerda$M=mN$donde$N$es el número de átomos que es$L/d$.

$M=mL/d$, sustituye por T y obtendrás la variación deseada.