La órbita NO tan sincronizada con el sol de MOM sobre Marte: ¿qué tan grande es J2?

La calculadora de planetas enumera un J2 de$0.001960454$para Marte, más alto que el de la Tierra$0.001082627$. Eso tiene sentido, ya que Marte tiene una masa más pequeña, pero aún tiene aproximadamente la misma velocidad de rotación. Eso significa que lograr una sincronía solar alrededor de Marte es un poco más fácil que alrededor de la Tierra. Sin embargo, MOM no está en esa órbita.

@SE: deja de disparar, la respuesta de los buenos dice que MOM no está en una órbita sincronizada con el sol. Solo pensé que agregaría algo de matemáticas a eso. Usando la ecuación para la rotación del nodo ascendente publicada por @MarkAdler, calculé delta_OMEGAcuánto gira el nodo ascendente en un año, para dos casos: tierra LEO y marte MOM.

Para la tierra LEO (400 km) obtengo un poco más de 97 grados, que es lo que esperamos, lo que sugiere que este cálculo podría estar en el camino correcto. Introduciendo los números para MOM (a partir de la información de la pregunta y la respuesta anteriores), resulta que para la órbita de MOM con una inclinación de 150 grados, la tasa es solo 0,45 de lo que se necesita para la sincronía solar.

La línea azul que tiene una gran amplitud es el LEO de la tierra, la línea roja que nunca excede +/- 3,3 radianes/año es el MOM de Marte.

Aquí hay algo de python que usé: (traté de agregar resaltado sensible al idioma pero no parece funcionar. ¿Sugerencias?)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

pi, twopi = np.pi, 2*np.pi

# all distances in km (they cancel, it's OK!)

r_earth = 6371.
r_mars  = 3393.

# from: https://planetary.s3.amazonaws.com/assets/resources/ISRO/Mars-atlas-MOM.pdf
alt_peri = 350.
alt_apo  = 71000.
r_peri = alt_peri + r_mars
r_apo  = alt_apo  + r_mars

a_LEO   = r_earth + 400.
a_MOM   = 0.5*(r_peri + r_apo)

e_LEO = 0.
e_MOM = (r_apo - r_peri) / (r_apo + r_peri)

# from: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_gravitational_parameter
GM_earth  = 3.98600442E+14  # m^3/s^2
GM_earth *= 1E-09           # km^3/s^2

GM_mars   = 4.2828E+13      # m^3/s^2
GM_mars  *= 1E-09           # km^3/s^2

print "GM_earth, GM_mars: ", GM_earth, GM_mars, "km^3/s^2"

# from: https://space.stackexchange.com/a/14469/12102
# and: https://janus.astro.umd.edu/astro/calculators/pcalcframe.html
J2_earth = 0.001082627
J2_mars  = 0.001960454

inc_deg = np.linspace(0, 180, 181)
inc     = (pi/180.) * inc_deg

# earth LEO
term_1 = -1.5 * J2_earth
term_2 = (r_earth/(a_LEO*(1-e_LEO**2)))**2
term_3 = np.sqrt(GM_earth/a_LEO**3)

OMEGA_dot_LEO = term_1*term_2*term_3*np.cos(inc)

# mars MOM
term_1 = -1.5 * J2_mars
term_2 = (r_mars/(a_MOM*(1-e_MOM**2)))**2
term_3 = np.sqrt(GM_earth/a_MOM**3)

OMEGA_dot_MOM = term_1*term_2*term_3*np.cos(inc)

year_earth = 365.25 * 24. * 3600.  # sec
year_mars  = 686.97 * 24. * 3600. 

delta_OMEGA_LEO = OMEGA_dot_LEO * year_earth
delta_OMEGA_MOM = OMEGA_dot_MOM * year_mars

print inc_deg[150], delta_OMEGA_MOM[150], delta_OMEGA_MOM[150]/twopi

thing = {'ha': 'left',  'va': 'bottom', 'bbox': None,
         'fontsize':16}
plt.figure(figsize=[8,10])
ax1 = plt.subplot(2, 1, 1)
for item in (ax1.get_xticklabels() + ax1.get_yticklabels()):
    item.set_fontsize(15)
plt.plot(inc_deg, delta_OMEGA_LEO, '-b', lw=2)
plt.plot(inc_deg, delta_OMEGA_MOM, '-r', lw=2)
plt.plot(97, twopi, 'ok')
plt.plot(inc_deg, np.zeros_like(inc_deg), '-k')
plt.plot(inc_deg, twopi*np.ones_like(inc_deg), '--k')
plt.plot([90, 90], [-100, 100], '-k')
plt.xlim(80, 100)
plt.ylim(-10, 10)
plt.text(91, twopi+0.5, "2 pi", thing)
ax2 = plt.subplot(2, 1, 2)
for item in (ax2.get_xticklabels() + ax2.get_yticklabels()):
    item.set_fontsize(15)
plt.plot(inc_deg, delta_OMEGA_LEO, '-b', lw=2)
plt.plot(inc_deg, delta_OMEGA_MOM, '-r', lw=2)
plt.plot(97, twopi, 'ok')
plt.plot(inc_deg, np.zeros_like(inc_deg), '-k')
plt.plot(inc_deg, twopi*np.ones_like(inc_deg), '--k')
plt.plot([90, 90], [-100, 100], '-k')
plt.xlim(80, 180)
plt.ylim(-20, 60)
plt.text(120, twopi+2.0, "2 pi", thing)
plt.show()