¿Interpretación física del gráfico de la transformada de Legendre?

Question

¿Interpretación física del gráfico de la transformada de Legendre?

Chill2Macht

Consulte Dar sentido a la transformación de Legendre y Transformaciones de Legendre para Dummies .

Mira el siguiente diagrama del primer enlace:

Estaba tratando de pensar en el ejemplo más simple para interpretar esto físicamente: considere el gráfico de energía cinética versus magnitud de velocidad: $T(v) = \frac{1}{2}mv^2$ . (es decir $x:=v$ )

Después $s= \frac{d}{dv} T(v) = mv = p$ la magnitud del impulso obviamente.

Es más, $sv= pv = mv^2$ . $F=T(v)=\frac{1}{2}mv^2$ , y desde $sv = F+G$ , resulta que $G(s)=mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{s^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}$ .

Sin embargo, para una transformación general de Legendre , $G$ es solo el negativo de la intersección de la línea tangente, entonces, ¿cuál es la interpretación física del hecho de que el negativo de la intersección de la línea tangente a la gráfica de $T(v)=\frac{1}{2}mv^2$ siempre es igual a $T(v)$ ¿sí mismo? ¿Es este hecho matemático un resultado de la isotropía del espacio o de alguna otra simetría que asumimos (presumiblemente, un hecho similar pero no idéntico sería válido para la mecánica relativista, por ejemplo)?

¿Cuál es el significado físico del hecho de que $T(v)=F(x)=G(s)=T(p)$ ?

También en el segundo enlace, describe la transformación de Legendre como una transformación entre "variables conjugadas". ¿Qué significa físicamente que dos cantidades sean variables conjugadas? ¿Cuál es el significado físico del hecho de que la velocidad y el momento son variables conjugadas? ¿Por qué son variables conjugadas? ¿Se relaciona de alguna manera con $F(v)=G(p)$ ?

Es casi seguro que estas preguntas son muy tontas, por lo que agradezco mucho su paciencia conmigo y cualquier ayuda que pueda brindarme.

Nota: Esta pregunta NO es un duplicado de esta pregunta ; Estoy preguntando sobre un aspecto específico de la transformación de Legendre.

EDITAR: aparentemente, se supone que esto significa algo acerca de que la velocidad y el impulso son "conjugados convexos", pero todavía no veo cuál es la interpretación física de "conjugado convexo" ni la relación gráfica que se supone que implica.

daniel kerr

Creo que la respuesta probablemente tenga que ver con la isotropía del espacio ya que la partícula libre Lagrangiana debe ser una función de la velocidad al cuadrado. Dado que mv ^ 2 describe una parábola, eso significa que la pendiente del carril tangente traza de forma única una parábola. Las pendientes de G están fijadas por las pendientes de la función original. Entonces se puede parametrizar la función transformada G en términos de las pendientes y G también será una parábola por integración de estas mismas pendientes. La conjugación convexa es la generalización de la transformada de Legendre a funciones con valores vectoriales, que es el caso de la velocidad/momento.

Respuestas (1)

¿Interpretación física del gráfico de la transformada de Legendre?

Creo que la respuesta probablemente tenga que ver con la isotropía del espacio ya que la partícula libre Lagrangiana debe ser una función de la velocidad al cuadrado. Dado que mv ^ 2 describe una parábola, eso significa que la pendiente del carril tangente traza de forma única una parábola. Las pendientes de G están fijadas por las pendientes de la función original. Entonces se puede parametrizar la función transformada G en términos de las pendientes y G también será una parábola por integración de estas mismas pendientes. La conjugación convexa es la generalización de la transformada de Legendre a funciones con valores vectoriales, que es el caso de la velocidad/momento.

Emilio Pisanty · Answer 1

Esta es una respuesta parcial a la que espero volver y ampliar.

La propiedad de ser su propia transformada de Legendre es exclusiva de la energía cinética cuadrática pura. $T(v)=\frac12 mv^2$ .

Como un ejemplo simple, considere $T(v)=\frac14Av^4$ . Aquí está el impulso de Legendre
$pags = \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial T}{\partial v} = A v^{3},$ $p=\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{\partial T}{\partial v}=Av^3,$ entonces la velocidad es $v=v(p)=\sqrt[3]{p/A}$ , y la energía cinética transformada de Legendre es $\tilde{T} (pags) = \frac{1}{4} A v (pags)^{4} = \frac{1}{4} \frac{{pags}^{4 / 3}}{A^{1 / 3}} .$ $\tilde T(p)=\frac14Av(p)^4 =\frac14\frac{p^{4/3}}{A^{1/3}}.$ Esta es una energía cinética válida, pero no coincide con nuestra cuartica original.
Como un ejemplo más físico, considere la energía cinética relativista,
$T (v) = - \frac{metro C^{2}}{γ} = - metro C^{2} \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}},$ $T(v)=-\frac{m c^2}{\gamma}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2},$ para el cual la variable conjugada de Legendre es $pags = \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial T}{\partial v} = \frac{metro v}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} = γ metro v,$ $p=\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{\partial T}{\partial v}=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma mv,$ entonces la velocidad es $v = v (pags) = \frac{C pags}{\sqrt{{pags}^{2} + {metro}^{2} C^{2}}}$ $v=v(p)=\frac{cp}{\sqrt{p^2+m^2c^2}}$ y la energía cinética transformada de Legendre es $\tilde{T} (pags) = - \frac{{metro}^{2} C^{3}}{\sqrt{{pags}^{2} + {metro}^{2} C^{2}}}$ $\tilde T(p)=-\frac{m^2c^3}{\sqrt{p^2+m^2c^2}}$ que, de nuevo, no coincide con nuestra función original. En particular, sus esperanzas de un resultado similar en la cinemática relativista no se han realizado del todo.

Ninguno de estos resultados dice mucho sobre lo que significa la transformación de Legendre, pero sí dicen bastante sobre lo que se necesita para que la energía cinética transformada de Legendre coincida con la forma original; en particular, esto no puede tener nada que ver con la isotropía o un argumento ingenuo de simetría.

Dicho esto, el lagrangiano cuadrático puede de hecho derivarse de argumentos muy básicos, lo que, según recuerdo, se hizo de manera concisa pero clara al comienzo del libro de mecánica de Landau.

Entonces, nuevamente, una respuesta parcial, pero con suerte lo suficiente como para ayudar a orientar esto en la dirección correcta.

Sí, en el libro de Landau se da una derivación del Lagrangiano para una partícula libre basada en simetrías.
Me encantaría ver si tiene algo más que agregar este fin de semana: el período de gracia finaliza este domingo.
@William Veré si tengo suficiente tiempo. Busqué en Landau, y de hecho hay una derivación del Lagrangiano cuadrático, pero no creo que sea particularmente profundo. Se basa (además de la isotropía y la homogeneidad del espacio, que te reducen a funciones de $v^2$ ) al imponer el requisito de que todos los impulsos galileanos se reduzcan a transformaciones de calibre, y eso le da $L\propto v^2$ . Honestamente, para mí eso parece conceptualmente ortogonal a la cosa de la auto-transformación de Legendre.

¿Interpretación física del gráfico de la transformada de Legendre?

Chill2Macht

daniel kerr

Respuestas (1)

Emilio Pisanty

Chill2Macht

Chill2Macht

Emilio Pisanty

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