Haré el caso donde el material es homogéneo e isotrópico,$\rho = \sigma^{-1}$es una constante proporcional a la matriz identidad. Estamos interesados ​​en el estado estacionario, donde ninguna de nuestras variables depende del tiempo.

Tenemos$\nabla \times E = 0$de la ley de Faraday y,$\nabla\cdot J = 0$de la ecuación de continuidad, donde$J$es la densidad de corriente. La ley de Ohm nos dice que$J=\sigma E$. Tomando la divergencia de la Ley de Ohm obtenemos$\nabla \cdot E = 0$. Por lo tanto en estado estacionario$E$debe ser una función libre de divergencias y rotaciones.

Esto significa que el potencial$\phi$($\nabla\phi =E$) obedece a la ecuación de Laplace,

$\nabla^2 \phi = 0$.

Para resolver esto necesitamos las condiciones de contorno apropiadas que son las siguientes. En el límite donde su resistencia se conecta a un cable, el potencial$\phi$debe ser el mismo valor que el potencial en el cable. En el límite de su resistencia no conectada a un cable, no puede fluir corriente, por lo que la condición apropiada es$\nabla\phi\cdot n = 0$, dónde$n$es la superficie normal. Esto es suficiente para determinar una única solución a la ecuación de Laplace.

La ecuación de Laplace es una ecuación muy agradable y amigable y hay mucho material disponible sobre soluciones numéricas y analíticas, aunque las condiciones de contorno mixtas serán molestas.

Una vez que tenga su solución a la ecuación de Laplace, necesita la corriente total. Para obtener eso, elija cualquier superficie de sección transversal$S$de su resistencia, y usando$J = \sigma E = \sigma\nabla\phi$, obtenemos que la corriente total I es igual a

$I = \sigma\int dS\cdot\nabla\phi$.

Entonces puedes usar$R = V/I$conseguir una resistencia eficaz. El caso con un material no homogéneo o no isotrópico es similar, solo terminas con una ecuación diferente de la ecuación de Laplace, que puede ser un poco más molesta de resolver.

Sin embargo, no puedo imaginar que un sistema basado en masa necesite este nivel de precisión :). Para cualquier cosa basada en masa, probablemente solo suponga que es un cilindro y use$R = \rho L /A$te acercará lo suficiente, ¿no? Siempre pensé que la física de la masa era realmente un juego de orden de magnitud, como la astronomía.

Para simplificar, pensemos en un volumen prismático, como si fuera una figura plana (en$xy$plano, area$A$) había sido extruido en$z$dirección. Supongamos que la conductividad ($\sigma$) depende de$x$y$y$, pero no en$z$. Y deja$L$Sea la longitud del prisma en$z$dirección. Queremos calcular la resistencia total entre ambos ($xy$) caras paralelas.

Si tomamos un prisma pequeño con bases en las bases del prisma principal (entonces el prisma pequeño tiene la misma longitud$L$como la principal, pero su base es de un área pequeña${\rm d}A$), su resistencia no puede llamarse${\rm d}R$(no es un infinitesimal), sino que tiende a infinito ($R_{{\rm d} A} = \rho \frac{L}{{\rm d} A} \rightarrow \infty$). Entonces propongo considerar la magnitud inversa, la conductancia,$G$.

Si el cuerpo fuera homogéneo, la resistencia total sería$R = \rho L/A$, por lo que la conductancia total sería$G = \sigma A/L$. Sabes$\rho$y$\sigma$son simplemente cantidades inversas. Entonces, para el prisma pequeño, la conductancia es:

Una vez que tengamos esa integral, podemos simplemente tomar la inversa para calcular la resistencia total:

El procedimiento anterior es, por supuesto, sólo válido suponiendo un campo eléctrico uniforme entre paralelo ($xy$) caras (es decir,$\vec E$tiene el$z$dirección). De lo contrario, el método ortodoxo 'más difícil' (respuesta anterior: computación$\phi$, entonces campo eléctrico ($\vec E = -\nabla \phi$), luego la densidad de corriente (de la ley de Ohm:$\vec J = \sigma \vec E$) y finalmente la intensidad de corriente ($I = \int J_z {\rm d} A$)) sería necesario.

No existe tal integral porque la resistencia es una propiedad de circuitos completos que puede definirse aisladamente solo de manera aproximada. Lo más cerca que he llegado a una expresión integral es la ec. 63 en https://www.academia.edu/1841457/The_Notion_of_Electrical_Resistance