Hulse Taylor Binary Pulsar - ¿Cómo se calcula el "Cambio de tiempo acumulativo del periastro"?

Escriba la anomalía media como una serie de Taylor ($n\equiv 2\pi/P$):

$$\begin{eqnarray*} M(t) \equiv \int_0^tn\,\mathrm{d}t &=& M_0 + \dot{M}_0t + \frac{1}{2}\ddot{M}_0t^2 + \mathcal{O}(t^3)\\ &=&n_0t + \frac{1}{2}\dot{n}_0t^2 + \mathcal{O}(t^3)\\ &=&\frac{2\pi}{P_0}t - \pi\frac{\dot{P}_0}{P_0^2}t^2+\mathcal{O}(t^3)\text{.} \end{eqnarray*}$$

El tiempo periastron (época) ocurre cuando$M(t) = 2\pi N$, donde$N$cuenta el número de órbitas, mientras que$NP_0$ sería el tiempo de periastro si el período orbital se mantuviera constante. Por lo tanto, tratar$N$como continua, la diferencia acumulada es solo

$$t - \frac{M(t)}{2\pi}P_0 \approx \frac{1}{2}\frac{\dot{P}_0}{P_0}t^2\text{.}$$ Si queremos más precisión, podemos calcular el siguiente término en la serie de Taylor, $$\frac{1}{6}\ddot{n}_0t^3 = \frac{\pi}{3P_0^2}\left[\frac{2\dot{P}_0^2}{P_0}-\ddot{P}_0\right]t^3\text{,}$$ y si $\dot{P} = KP^{-5/3}$por $\dot{K}\approx 0$, podemos eliminar la $\ddot{P}_0$término para dar un cambio acumulativo de $$t - \frac{M(t)}{2\pi}P_0 \approx \frac{1}{2}\frac{\dot{P}_0}{P_0}t^2 - \frac{11}{18}\left(\frac{\dot{P}_0}{P_0}\right)^2t^3\text{.}$$ Según el artículo de Weisberg & Taylor, $|\dot{P}_0/P_0| \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}^{-1}$, por lo que el término cúbico es insignificante en la escala de tiempo de treinta años, y podemos ignorar con seguridad cualquier cosa más allá del término cuadrático.

Solo por diversión, podemos resolver$\dot{P} = KP^{-5/3}$por constante$K$, lo que produce un cambio de tiempo periastron acumulativo de

$$\frac{3}{5x}\left[1+\frac{5}{3}xt-\left(1-\frac{8}{3}xt\right)^{5/8}\right]\text{.}$$ $K$en realidad no es constante, siendo una función de la excentricidad $e$, aunque la tasa de cambio de $e$es diminuto, del orden de $10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y podemos ignorarlo en las escalas de las que estamos hablando. Además, la fórmula de proporcionalidad se basa en un promedio orbital de la reacción de radiación en el orden post-newtoniano 2,5-th.

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Los valores presentados en el documento son para la época.$T_0 = 52144.90097844$(MJD):

$$\small{\begin{eqnarray*} P_0 &=& 0.322997448930\,(4)\,\mathrm{d}\\ %\dot{P}_0 &=& −(2.4184\pm0.0009)\times 10^{-12}\\ %\dot{P}_0^{\scriptsize\text{corr}} &=& -(2.4056\pm 0.0051)\times 10^{-12}\\ \dot{P}_0^{\scriptsize\text{GTR}} &=& −2.40242\,(2)\times 10^{-12}\\ \end{eqnarray*}}$$ Por lo tanto, podemos calcular la relación $x_0 = \dot{P}_0/P_0 = -8.60867\,(7)\times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$. La diferencia entre $T_0$y el comienzo de 1975 es $\delta t = 9731\,\mathrm{d}$, que no es lo suficientemente largo para que esta relación cambie apreciablemente, ya que la corrección relativa de primer orden estaría alrededor $|\dot{x}_0(\delta t)/x_0| \sim |x_0(\delta t)| \sim 10^{-7}$.

Alternativamente, siguiendo a zibadawa timmy , también podemos resolver$K = \dot{P}P^{5/3}$explícitamente para constante$K$, que no es exactamente cierto pero se aproxima bien:

$$\newcommand{\constKeq}{\overset{\scriptsize\dot{K}\approx 0}{=}}\begin{eqnarray*} P &\constKeq& \left[P_0^{8/3}+\frac{8}{3}\dot{P}_0P_0^{5/3}t\right]^{3/8}\!\!\!\!\!\text{,}\\ x &\constKeq& \frac{\dot{P}}{P} = \frac{x_0}{1+\frac{8}{3}x_0t}\text{,} \end{eqnarray*}$$ y por lo tanto $\left.x\right|_{1975}$es de hecho indistinguible de $x_0$en este nivel de precisión.

He graficado (en azul claro) el resultado de la fórmula de desplazamiento cuadrático con este$x$y superpuso el gráfico del artículo de Weisberg & Taylor (recortado en los bordes exteriores y luego reescalado para ser$500\times 500\,\mathrm{px}$):

Es una coincidencia exacta excepto por un cambio de tiempo constante, que es solo una cuestión de cuándo configuramos el$t = 0$hora. PSR B1913+16 se descubrió en realidad en 1974, y el primer punto de datos es a fines de 1974. Es por eso que mi gráfico se desplaza ligeramente por una fracción de año.

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No tengo claro si su fórmula excluye el efecto del avance del periastro (4.226595 grados por año): - (A) Si no, entonces el efecto del avance del periastro es tan grande que el cambio en el período debido a la emisión de ondas gravitacionales no es visible en el gráfico y el acuerdo con la teoría no puede ser evaluado...

La predicción GTR del cambio de tiempo acumulativo del periastro se realiza a través de la ecuación (1) en el documento, que prescribe$\dot{P}_0 = \left.\dot{P}_b\right|_{t=0}$. El tiempo del periastro está bien definido porque depende del acercamiento más cercano, por lo que la magnitud del avance posicional del periastro$\langle\dot{\omega}\rangle = 4.226595^\circ/\mathrm{yr}$no es directamente relevante. GTR también predice$\langle\dot{\omega}\rangle$, pero eso no es lo que estamos considerando aquí.

La anomalía media no es en realidad un ángulo, a pesar de contar cada periastro como$2\pi$. No es un ángulo ni siquiera en órbitas elípticas keplerianas exactas, a pesar de que tienen exactamente el mismo periastro en cada período. Por lo tanto,$\langle\dot{\omega}\rangle$es un tema diferente.

(B) Si es así, ¿debemos concluir que la emisión de ondas gravitacionales causa un cambio en el período de aproximadamente 4 s en 10 años?

El período cambia un poco menos de$1\,\mathrm{ms}$más de una década, como ya ha calculado anteriormente.

En cuanto a la resolución de la ecuación,$dP/dt=K/P^{5/3}$es una ecuación diferencial separable. Vea la primera sección aquí . Google también muestra varias páginas que describen cómo resolver tales ecuaciones.

En particular, reescribimos la ecuación en forma diferencial como:

$$P^{5/3}\, dP = K\, dt.$$

En términos generales, he limpiado los denominadores, con el objetivo de obtener el$P$cosas todas juntas por un lado, y el$t$cosas en el otro. Técnicamente no es eso en absoluto, pero fingir que lo es funciona. implícitamente asumo que$K$no depende de$P$, que su publicación admite.

Ahora integramos ambos lados:

$${3\over8}P^{8/3}=\int P^{5/3}\, dP = \int K\, dt,$$ donde dejamos que la integral derecha cubra la constante de integración.

Entonces nuestra solución es

$$P=\left({8\over3}\int K\, dt \right)^{3/8},$$ con la condición inicial fijando la constante de integración.

Tenga en cuenta que tomé una octava raíz para encontrar$P$, por lo que necesitamos que la función interna sea no negativa.

Su publicación sugiere$K$es independiente del tiempo, en cuyo caso$\int K\, dt= K t+C$por alguna constante$C$que está determinada por las condiciones iniciales. Si depende del tiempo, debe hacer la integración en consecuencia o usar datos para estimarlo.

MÉTODO 4: Predicción de CPTS usando una aproximación de Serie Binomial Gruesa.

Este método no hace ninguna suposición sobre la anomalía media. La órbita se define como el ciclo de un periápside al siguiente periápside.

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RESUMEN

El tiempo desde el$0$a la$N$El periastro se puede obtener de la siguiente suma, de la cual se puede derivar una expresión binomial

$$\frac{T_N}{P_0} \qquad = \sum_{i=1}^{i=N} (1+\dot P)^i \qquad = N + \sum_{j=2}^{N+1}\binom{N+1}{j}\dot P^{j-1}.$$

Para nuestros propósitos, los términos en$\dot P$mayores que el primer orden se pueden eliminar, lo que lleva a

$$T_{N} = N{P_0} + P_0 \frac{N^2+N}{2} {\dot P} .$$

La diferencia horaria entre el$N$Los periapsis de un sistema de período constante y un sistema de período decreciente es entonces

$$\Delta t_{N} = 0.5 P_0 {\dot P} (N^2+N)$$

Esto da resultados que concuerdan estrechamente con el gráfico de Wesiberg & Taylor y la fórmula en la respuesta de Stan Liou.

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Definiciones y suposiciones

Consideremos la variación en el tiempo del período de la órbita. Weisberg y Taylor proporcionan una fórmula para la variación del "período" con el tiempo. Sin embargo, el significado de "período en un punto en el tiempo" es ambiguo cuando el período cambia con el tiempo. Por lo tanto, tenemos que definir cómo "período en un punto en el tiempo" se traduce en un intervalo de tiempo entre el inicio y el final de un ciclo orbital particular (por ejemplo, de periápside a periápside). En este método, "falsearemos" la traducción asumiendo (A1) que el intervalo de tiempo entre periapsis sucesivos es igual al "período hipotético en el momento del final del ciclo". También para "arrancar" el modelo supondremos (A2) que en el tiempo cero ($t=0$) el período hipotético es$H_o$y así el período hipotético al final del primer ciclo está dado por$H_1 = H_o + H_o \dot H$. Por tanto, por (A1) tenemos la siguiente definición de la duración del primer ciclo$D_1 = H_1 = H_o + H_o \dot H$.

Suponemos además (A3) que, durante el período de consideración (~ 40 años), la tasa de cambio del período con el tiempo es efectivamente constante ($\ddot H = 0$y$\dot H(t) = constant = \dot H$). (Ver la respuesta de Stan Liou para la justificación). Así tenemos

$$H(t) = H(0) + t \dot H .$$ Se enfatiza que estas suposiciones no son estrictamente mapeables a un modelo físico consistente. Sin embargo, dado que estamos tratando con cambios muy pequeños en el período durante un gran número de órbitas, el conjunto de reglas puede ser útil. Continuaremos y veremos qué sale. De ahora en adelante no distinguiré entre períodos hipotéticos $H$y duración del ciclo $D$. Asumiré que ambos están representados por el mismo período de tiempo $P$y que la duración $P$de un ciclo particular de periapsis a periapsis es igual al período hipotético $P(t)$donde $t$es la época del final del ciclo. también $\dot P$representará tanto la tasa de cambio del período hipotético como la tasa de cambio de la duración del ciclo entre ciclos.

$P_N$es el periodo de la$N$la órbita (órbita$O_N$). Número de órbita$0$termina en$t=T_0=0$en número de perihelio$0$y tiene periodo$Po = P(0)$. La primera órbita considerada ($O_1$) empieza a la hora$t=0$en número de perihelio$0$y termina en el número de perihelio$1$en el momento$t=T_1$y tiene una duración de período$P_1 = P_0+ P_0\dot P =P(T_1)$. Por lo tanto podemos escribir

$$P_1 = P_0(1+\dot P)^1$$ $$P_2 = P_1(1+\dot P) = P_0(1+\dot P)(1+\dot P)= P_0(1+\dot P)^2$$ $$P_3 = P_2(1+\dot P) = P_0(1+\dot P)(1+\dot P)(1+\dot P)= P_0(1+\dot P)^3$$ Entonces, en general, el período de cualquier órbita viene dado por la fórmula: $$P_N = P_0(1+\dot P)^N.$$

Ahora consideremos el tiempo $T$en que termina cada órbita. Tenemos

$$T_1 = T_0+P_1 = P_1 = P_0(1+\dot P)$$ $$T_2=T_1+P_2 = P_1+P_2 = P_0(1+\dot P)+P_0(1+\dot P)^2$$ $$T_3=T_2+P_3 = P1+P2+P3 = P_0(1+\dot P)+P_0(1+\dot P)^2+P_0(1+\dot P)^3$$ $$T_N=P_1+P_2+...+P_N = P_0(1+\dot P)+P_0(1+\dot P)^2+...+P_0(1+\dot P)^N.$$

Por lo tanto

$$T_N = {P_0}\sum_{i=1}^{i=N} (1+\dot P)^i\, .$$

(La Nota al final de esta respuesta explora una forma de proceder que usa un equivalente exacto de esta expresión en una forma no serial. Sin embargo, esa ruta no es productiva debido a las dificultades con exponenciales).

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Procederemos de la siguiente manera (usando$k$en lugar de$\dot P$)

$$\frac{T_N}{P_0}= S_N = \sum_1^N (1+k)^i$$

Podemos multiplicar los primeros términos y examinar los patrones en la siguiente pirámide ...

$$(1+k)^1 = k +1$$ $$(1+k)^2 = k^2 +2k +1$$ $$(1+k)^3 = k^3 +3k^2 +3k +1$$ $$(1+k)^4 =k^4+4 k^3+6 k^2+4 k+1$$ $$(1+k)^5 =k^5+5 k^4+10 k^3+10 k^2+5 k+1$$ $$(1+k)^6 =k^6+6 k^5+15 k^4+20 k^3+15 k^2+6 k+1$$

Así por ejemplo, para$N=3$obtendríamos la suma

$$S_3= k^3 +4k^2 +6k +1$$

Los resultados sugieren una solución con un patrón de la forma

$$S_N = a + bk^1 +ck^2+dk^3...$$

Podemos ver de inmediato que$a=N$. Los otros coeficientes aumentan con$N$. Podría ser posible determinar una fórmula para los coeficientes del patrón. Aunque el patrón general no es convergente, es posible que para ciertos rangos restringidos de$N$y$k$se podría obtener una fórmula convergente. Si es así, entonces podría ser posible obtener una aproximación útil de$S_N$evaluando los primeros términos de la serie.

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La siguiente ecuación binomial se derivó en una respuesta a esta pregunta en Maths Stack Exchange por User73985

$$\sum_1^N (1+k)^i \qquad = \qquad N + \sum_{j=2}^{N+1}\binom{N+1}{j}k^{j-1}$$ Asi que $$S_N = N + \sum_{j=2}^{N+1}\frac{(N+1)!}{(N+1-j)!j!}k^{j-1}$$

después

$$S_N = N + \frac{(N+1)!}{(N-1)!2!} k^{1} + \frac{(N+1)!}{(N-2)!3!} k^{2} + \frac{(N+1)!}{(N-3)!4!} k^{3} +...$$

donación

$$S_N = N + \frac{(N+1)(N)}{2!} k^{1} + \frac{(N+1)(N)(N-1)}{3!} k^{2} + \frac{(N+1)(N)(N-1)(N-2)}{4!} k^{3} +...$$

por lo tanto

$$S_N= N + \frac{N^2+N}{2} k^{1} + \frac{N^3-N}{6} k^{2} + \frac{N^4-2 N^3-N^2+2 N}{24} k^{3} +...$$ (Pasando de usar $k$usar $\dot P$...) Para $N= 10,000$y ${k=\dot P}= 2.40242 * 10^{-12}$la razón de cada término al siguiente término es mayor que $1 : N{\dot P} \approx 1:2.4 * 10^{-8}$entonces, para nuestros propósitos, esta fórmula se puede aproximar truncando a la potencia de primer orden de ${\dot P}$dar $$S_{N} = \frac{T_{N}}{P_0} = N + \frac{N^2+N}{2} {\dot P}^{1}$$ Asi que $$T_{N} = N{P_0} + P_0 \frac{N^2+N}{2} {\dot P}$$ y así la diferencia de tiempo entre los periapses Nth (fijo $P$- en descomposición $P$) es

$$\Delta t_{N} = P_0{\dot P} \frac{N^2+N}{2}$$ y para $N=10,000$obtenemos (de Excel) $\Delta t = 3.35255 s$que está muy cerca del valor $(3.35221 s)$obtenido de la fórmula de Stan Liou ( $\Delta t= 0.5 {\dot P}/P_0 t^2$).

Más de 30 años (33.924,42 ciclos)$\Delta t$= 38.5806$s$que está muy cerca de la cantidad indicada por el gráfico y por la fórmula de Stan Liou$(38.5794 s)$.

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Nota

WolframAlpha indica la igualdad

$$T_N = {P_0}\sum_{i=1}^{i=N} (1+\dot P)^i \qquad = \frac{P_0}{\dot P} \, (1+\dot P)[(1+\dot P)^N -1]$$

Para pequeños$\dot P$esto se puede aproximar por: -

$$T_N =\frac{P_0}{\dot P}\,(1+\dot P)[(1+N\dot P) -1] =\frac{P_0}{\dot P}\,(1+\dot P)(N\dot P) =N{P_0}\,(1+\dot P).$$ El tiempo final de $N$ciclos de periodo $P_{constant}=P_0$estarán $T_{NC}=N P_0$. Y así, la diferencia de tiempo entre los tiempos finales de (i) N ciclos de constante $P$y (ii) $N$ciclos de descomposición $P$se aproxima por $$\Delta t = NP_0 - NP_0(1-\dot P) = NP_0 \dot P.$$ Para $P_0$= 0.322997448930 d = 27906.979587552 s y $\dot P$= -2.40242x10 $^{-12}$obtenemos $(P_0\,dot P) =$-6.70442859007267 $^{-08}$. Para $N=10,000$ciclos (aproximadamente 10 años) esto indica una diferencia de tiempo de 6.70442859007267 $^{-03}$s, sobre $7 ms$. Esta diferencia de tiempo es muy pequeña en comparación con el valor indicado aproximadamente por el gráfico original y el valor calculado por la fórmula de Stan Liou, a partir del cual esperaríamos una diferencia de tiempo de alrededor de 3 $s$. La explicación es que la aproximación de primer orden no es adecuada en este caso porque el verdadero valor de $\Delta t$es tan pequeño en comparación con $t$.

MÉTODO 3 Predicción de tiempos de periastro y duraciones de ciclo a partir de la fase orbital ($\Phi$)

En la respuesta de Stan Liou , utiliza una aproximación de la serie de Taylor de la anomalía media para derivar una fórmula agradable que determina el valor de CPTS (desplazamiento de tiempo de perihelio acumulativo) en función de$t^2$. Esta fórmula produce resultados muy cercanos a los graficados por Weisberg & Taylor. Como me tomó un tiempo comprender cómo se puede aplicar la anomalía media para una órbita de período decreciente, pensé que sería útil anotar aquí lo que aprendí y presentar una forma ligeramente diferente de obtener una fórmula para predecir los tiempos del periastro.

La anomalía media básicamente indica la fase de la órbita en una época particular, por ejemplo, qué fracción de tiempo del período de la órbita se ha completado. Para la anomalía media, la fracción se escala por$2\pi$. Dejar$\Phi(t)$sea ​​la fase de la órbita en el tiempo$t$tal que al comienzo de la órbita$t=0$y$\Phi(0)$= 0 y al final de la órbita cuando$t=P$(el período de la órbita)$\Phi(P)$= 1. Asumiré que una órbita comienza en un periápside y termina en el próximo periápside.

En un sistema orbital de período decreciente, el valor de$P(t)$cambia con$t$. Aquí$P$es el período de la órbita. En una órbita de período decreciente asumiré que la fase orbital$\Phi(t)$está completamente especificado por el tiempo$t$y también$P(t)$o$F(t)$, es decir, la precesión aspidial, los cambios progresivos en la longitud del semieje mayor o la excentricidad no conducen a cambios de fase adicionales significativos.

En un sistema de períodos decrecientes, el concepto de período en una época dada es algo abstracto, podría interpretarse como un período hipotético que ocurriría después si la fuerza que causa el cambio de período cesara en ese momento en particular. En lugar de punto, podemos pensar en términos de$F(t)=1/P(t)$donde$F$es la frecuencia orbital.

me gusta pensar en$F(t)$como "la tasa de cambio de fase con el tiempo", es decir$F(t) = \dot{\Phi}(t)$. Imagine un reloj de fase imaginario que comprende un dial circular cuya circunferencia tiene marcas que van desde$\Phi=0$alrededor en un círculo completo para$\Phi=1$. La fase$\Phi(t)$de nuestro sistema de materias en cualquier época dada$t$se indicará mediante un marcador en un punto particular de la circunferencia de la esfera. Después$F(t)$se puede considerar como la velocidad a la que el marcador se mueve alrededor de la circunferencia del dial en una época dada$t$. En un corto intervalo de tiempo particular$\delta t$el marcador (estado del sistema) se moverá una cierta distancia alrededor del dial y esta distancia recorrida indicará el cambio de fase. El "recorrido" (cambio de fase) dependerá del valor de$F$durante ese tiempo según$\delta \Phi \approx \delta t * F(t)$. Esto es solo aproximado porque F(t) cambia durante el intervalo$\delta t$.

Ahora supongamos que el intervalo de tiempo$T$entre periapsis sucesivos es conocido y que el tiempo del primer periapsis es en$t=0$. Si$P(t)$(y por lo tanto$F(t)$también) cambió de manera escalonada entre intervalos de tiempo, entonces podríamos escribir

$$\sum_{i=1}^{i=N=T/\delta t} \frac{\delta t}{P(t)} = \sum_{i=1}^{i=N=T/\delta t} \delta t F(t) = \sum_{i=1}^{i=N=T/\delta t} \delta \Phi(t) = 1.$$

Para representar cambios continuos$P$y$F$reducimos$\Delta t$hacia cero y obtener estas funciones integrales

$$\int_{t=0}^{t=T} \frac{1}{P(t)}\, \mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=T} F(t)\, \mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=T} \dot{\Phi}(t)\, \mathrm{d}t = 1.$$

En cualquier momento$\tau$durante la órbita ($0\leq \tau \leq 1$) la fase instantánea actual viene dada por

$$\Phi(\tau) = \int_{t=0}^{t=\tau} \dot{\Phi}(t)\, \mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=\tau} F(t)\, \mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=\tau} \frac{1}{P(t)}\, \mathrm{d}t.$$

y dado un valor constante de$\dot P$(la tasa de cambio del período), y$P_o=P(0)$obtenemos

$$\Phi(\tau) = \int_{t=0}^{t=\tau} \frac{1}{P_o + \dot P t}\, \mathrm{d}t \qquad \mathrm{and} \qquad \dot{\Phi}(\tau) = F(\tau) = \frac{1}{P(\tau)} = \frac{1}{P_o + \dot P \tau}.$$

Usando

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{f(x)} \right) = \frac{-\dot f(x)}{f(x)^2} \qquad \mathrm{and} \qquad f(x) = P_o + \tau \dot P \qquad \mathrm{and} \qquad \dot f(x) = \dot P$$

obtenemos

$$\ddot \Phi(\tau) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{P_o + \tau \dot P} \right) = \frac{-\dot P}{P_o^2 + (\tau \dot P)^2 + 2 P_o \tau \dot P}$$

y para$\tau = 0$obtenemos

$$\Phi(0) = 0 \qquad \mathrm{and} \qquad \dot{\Phi}(0) = \frac{1}{P_o } \qquad \mathrm{and} \qquad \ddot \Phi(0) = \frac{-\dot P}{P_o^2}.$$

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PREDICCIÓN DE TIEMPOS DE PERIASTRÓN

Podemos obtener una expresión para CPTS copiando el enfoque de Stan Liou, pero usando fase ($\Phi$) en lugar de anomalía media ($M$).

Escribe la fase en el tiempo$\tau$como una serie de Maclaurin (una serie de Taylor con$a=0$):

$$\begin{eqnarray*} \Phi(\tau) \equiv \int_{t=0}^{t=\tau} \dot{\Phi}(t)\,\mathrm{d}t &=& \Phi(0) + \dot{\Phi}(0) \tau + \frac{1}{2}\ddot{\Phi}(0) \tau^2 + \mathcal{O}(\tau^3)\\ &=& 0 +\frac{1}{P_0}\tau - \frac{\dot{P}}{2P_o^2}\tau^2+\mathcal{O}(\tau^3)\text{.} \end{eqnarray*}$$

Eliminando el tercer orden y los términos de error residual (la respuesta de Stan Liou explica la justificación de esto) obtenemos

$$\Phi(\tau) \approx \frac{1}{P_0}\tau- \frac{\dot{P}}{2P_o^2}\tau^2.$$

Dejar$N$contar el número de órbitas completadas en algún momento$\tau_N$. Entonces la fase al final del número de órbita$N$es dado por$\Phi(\tau_N) = N$. En un sistema estable (A) el período orbital$P_o$permanece constante$\dot P=0$y asi el tiempo$\tau_{NA}$en el que el$N$La órbita completada está dada exactamente por$\tau_{NA} = NP_o$y por lo tanto$N=\tau_{NA}/P_o$. En un sistema de período decreciente (B), la N-ésima órbita se completa en el tiempo$\tau_{NB}$cuándo$\Phi(\tau_{NB}) = N$pero con$\Phi(\tau_{NB})$dependiendo de un valor distinto de cero de$\dot P$.

$$\begin{align} &\Phi(\tau_{NA}) = N = \frac{1}{P_0}\tau_{NA}\\ &\Phi(\tau_{NB}) = N \approx \frac{1}{P_0}\tau_{NB}- \frac{\dot{P}}{2P_o^2}\tau_{NB}^2. \end{align}$$

Podemos obtener una fórmula para$\Delta t_{N}$cual es la diferencia de tiempo entre$\tau_{NB}$(la época del sistema en descomposición$N$periastro) y$\tau_{NA}$(la época del sistema estacionario$N$th periastron) de la siguiente manera. Nótese que siguiendo a Weisberg & Taylor definimos$\Delta t_{N}\,(=$CPTS$)=\tau_{NB} - \tau_{NA}$. Él$N$El periastro en el sistema del período de decaimiento ocurre antes que el$N$th periastron en el sistema estacionario. Por lo tanto$\Delta t_{N}$(=$CPTS$) se volverá cada vez más negativo a medida que pase el tiempo (a medida que$t$aumenta).

$$\frac{\tau_{NA}}{P_o} = N \approx \frac{\tau_{NB}}{P_0}- \frac{\dot P}{2P_o^2} \,{\tau_{NB}}^2$$

$${\tau_{NA}} \approx {\tau_{NB}} - \frac{\dot P}{2P_o} \,{\tau_{NB}}^2$$

$$\Delta t_N = \tau_{NB} - \tau_{NA} \approx + \frac{\dot P}{2P_o} \,{\tau_{NB}}^2$$

que es la aproximación de Stan Liou para$\Delta t_N$.

Entonces, ¿cuál es el valor de esta ecuación? En general supongamos que hemos determinado el tiempo$t_0$de El$0$periastro y midió con precisión un período orbital inicial$P_o$y hacemos un seguimiento de la periastra observada.

Caso 1 - observamos que el$N$El periastro se produce en un momento determinado ($\tau_{NB}$). Usando$\tau_{NA}=N P_o$, podemos calcular fácilmente$\Delta t_N = \tau_{NB} - \tau_{NA}$. Entonces, usando la aproximación de Stan Liou de$\Delta t_N$podemos obtener una estimación empírica de$\dot P$de

$${\dot P} = \frac{2 P_o \,\Delta t_N} {\tau_{NB}}^2.$$

Caso 2: tenemos una fórmula teórica que, dada nuestra medida de$P_o$predice el valor de$\dot P$. Dados varios valores de$N$y usando$\tau_{NA}=N P_o$podemos calcular fácilmente las épocas hipotéticas ($\tau_{NA}$para varios$N$) del hipotético sistema estacionario periastra. Ahora deseamos trazar una curva que muestre los valores teóricos de$\Delta t_N$en varias épocas hipotéticas del periastro ($\tau_{NA}$). Pero la ecuación de Stan Liou para$\Delta t_N$usos$\tau_{NB}$no$\tau_{NA}$. Necesitamos encontrar$\Delta t_N$como una función de$\tau_{NA}$. Por lo tanto, tendríamos que resolver la siguiente ecuación cuadrática para$\Delta t_N$en términos de$\tau_{NA}$y$K$, donde$K=\frac{\dot P}{2 P_o}$:

$$\Delta t_{N} = K {\tau_{NB}}^2 = K ({\tau_{NA}}^2 + 2 \tau_{NA}\Delta t_{N} +{\Delta t_{N}}^2)$$

$$0 = (K{\tau_{NA}}^2 + 2K \tau_{NA}\Delta t_{N} +K{\Delta t_{N}}^2) -\Delta t_{N}$$

$$0 = (K){\Delta t_{N}}^2 +(2K \tau_{NA} -1)\Delta t_{N} +(K{\tau_{NA}}^2) .$$

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La siguiente manera de obtener una ecuación para$\Delta t$es más extenso pero proporcionará una fórmula para$\Delta t$como una función de$N$(que se puede convertir fácilmente en una función de$\tau_{NA}$).

Empezando con

$$\frac{\tau_{NA}}{P_o} =\frac{1}{P_0}\tau_{NB}- \frac{\dot P}{2P_o^2} \,{\tau_{NB}}^2$$

$$\tau_{NA} =\tau_{NB}- \frac{\dot P}{2P_o}{\tau_{NB}}^2 \qquad\rightarrow \qquad 0 = -\tau_{NA} + \tau_{NB} - \frac{\dot P}{2P_o} \,{\tau_{NB}}^2$$

Usando$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$con$a=- \frac{\dot P}{2P_o} , b=1, c=-\tau_{NA}$obtenemos

$$\tau_{NB} = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-4(- \frac{\dot P}{2P_o}).(-\tau_{NA})}}{2(- \frac{\dot P}{2P_o})}$$

$$\tau_{NB} = \frac {1 \pm \sqrt {1 - 2 \frac{ \dot P }{P_o}.\tau_{NA} }} {\dot P /{P_o}} \qquad \longrightarrow \qquad \tau_{NB} = \frac{P_o}{ \dot P } \left( 1 \pm \sqrt {1 - 2 \frac{\dot P }{P_o}.\tau_{NA} }\,\, \right)$$

Ahora$\tau_{NA} = P_o \,N$para que podamos escribir

$$\tau_{NB} = \frac{P_o}{ \dot P } \left(1 \pm \sqrt {1 - 2 \dot P N } \right) \qquad \longrightarrow \qquad -\Delta t = \tau_{NA}-\tau_{NB} = P_o \left( N -\frac{1}{ \dot P} \left(1 \pm \sqrt {1 - 2 \dot P N } \right) \right)$$

= = = = = = =

Podemos probar una aproximación simple de esto usando$(1+\alpha)^{0.5} = (1+ 0.5\alpha)$así que eso$\sqrt {1 - 2 \dot P N } \approx 1- \dot P N$y por inspección el "$\pm$"se convierte en un"$+$"

$$-\Delta t = P_o \left( N -\frac{1}{ \dot P } \left(1 \pm 1 - \dot P N \right) \right) = P_o ( N - N ) = 0$$

¡Esta es una aproximación válida pero va demasiado lejos para nuestros propósitos! Lo sabemos$\tau_{NA}-\tau_{NB} \neq 0$. Así que intentemos expandir el término$[1 -2 \dot P N]^{0.5}$en una expansión en serie,

$$[1 + (-2 \dot P N)]^{0.5} = 1 +\frac{1}{2}(-2\dot P N)^{1} -\frac{1}{8}(-2 \dot P N)^{2} +\frac{1}{16}(-2\dot P N)^{3}+...$$

$$[1+ (-2\dot P N)]^{0.5} = 1 - \dot P N -\frac{1}{2}(\dot P N)^{2} -\frac{1}{2}( \dot P N)^{3}+...$$

Limitémonos a términos con$\dot P$al poder de$2$o menos así

$$[1-2 \dot P N]^{0.5} \approx 1 - \dot P N -\frac{1}{2}\dot P ^2 N^2 .$$

We can insert this into the time difference equation

$$-\Delta t \approx P_o \left( N -\frac{1}{ \dot P } \left(1 \pm (1 - \dot P N -\frac{1}{2} \dot P ^2N^2 \right) \right)$$

by inspection the "$\pm$" becomes a "$-$"

$$-\Delta t\approx P_o \left( N -\frac{1}{ \dot P } \left( + \dot P N +\frac{1}{2}\dot P ^2 N^2 \right) \right) \qquad \longrightarrow \qquad -\Delta t\approx P_o \left( N - \left( N +\frac{1}{2} \dot P N^2) \right) \right)$$

$$-\Delta t \approx -\frac{1}{2}P_o \dot P \, N^2 \qquad \longrightarrow \qquad \Delta t \approx \frac{1}{2}P_o \dot P \, N^2$$

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From the Weisberg & Taylor paper we are given $P_o=27906.979587552 s$ and $\dot P = -2.40242 *10^{-12} s/s$ so $\frac{1}{2}P_o \dot P = -0.5 * 27906.979587552 * 2.40242 *10^{-12} = -3.352216747 * 10^{-08} s$.

Con$N= 10,000$ciclos que obtenemos$\Delta t = -3.352217 s$.

Tenga en cuenta que podemos hacer la sustitución${\tau_{NA}}^2 = N^2 Po^2$en la ecuación para$\Delta t$dar

$$\Delta t \approx \frac{1}{2}P_o \dot P \, N^2 = \frac{1}{2} \frac {\dot P}{P_o} \,{\tau_{NA}}^2 .$$ La diferencia entre este $\Delta t$y el valor de $\Delta t$de la ecuación de Stan Liou es $$\frac{1}{2} \frac {\dot P}{P_o} \left( {\tau_{NA}}^2 -{\tau_{NB}}^2 \right)$$ $$= \frac{1}{2} \frac {\dot P}{P_o} \left( {{\tau_{NA}}^2 -\tau_{NA}^2 +2 \tau_{NA} \Delta t + \Delta t^2} \right)$$ $$= \frac{1}{2} \frac {\dot P}{P_o} \left( {2 \tau_{NA} \Delta t + \Delta t^2} \right)$$ y la diferencia como fracción de $\Delta t$ $$= \frac{1}{2} \frac {\dot P}{P_o} \left( {2 \tau_{NA} + \Delta t} \right) .$$

Para el presente caso$(\dot P/P_o \approx 8.6 * 10^{-17})$y así, después de 34.000 ciclos de periastro (948.838.000 s, unos 30 años) la diferencia entre las dos aproximaciones de$\Delta t$seria solo$0.8 * 10^{-8} s$que es mucho menor que la resolución temporal de las observaciones.

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PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL CICLO

También podemos derivar una expresión para la duración del ciclo.$D$, como sigue.

El periastón de inicio está en$t=0=T0$y el primer periastón siguiente está en$t=T1$después

$$\Phi(T1)=\int_{t=0}^{t=T1}\frac{1}{P(t)}\,\mathrm{d}t = 1$$ esto se puede expresar como $$1 =\int_{t=0}^{t=T1}\frac{1}{ \dot{P} t + P_0 }\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{\dot{P}} ln ( C\dot{P}t + CP_0 )\right]_0^{T1}$$ por lo tanto $$\dot{P} = ln ( C\dot{P}T1 + CP_0 ) - ln ( CP_0 ) = ln \left( \frac{ C ( \dot{P}T1 + P_0 )} { C ( P_0 )} \right) = ln \left( \frac{ \dot{P}T1 + P_0 } {P_0 } \right)$$

$$\rightarrow exp(\dot{P}) = \frac{ \dot{P}T1 + P_0 } {P_0 } \rightarrow P_0 exp(\dot{P}) -P_0 = \dot{P}T1$$ dándonos $$\rightarrow T1 = P_0 \frac{exp(\dot{P}) -1} {\dot{P}}$$

so the duration of the first orbit (from start periastron to first following periastron) is $D_1 = T1-T0 = T1$ thus

$$D_1 = D_0 \frac{exp(\dot{P}) -1} {\dot{P}}$$

and we can generalize this to

$$D_{N} = D_{N-1} \left( \frac{exp(\dot{P}) -1} {\dot{P}} \right) .$$

For example using the made-up value $\dot P = -2.34\,10^{-8}$ we obtain

$$D_{N+1} = D_{N} \frac{exp(-2.34*10^{-5}) -1} {-2.34*10^{-8}} = 0.999 999 988 D_{N}$$

However, using standard arithmetical software (such as Excel) when we try to calculate using $\dot P = -2.34\,10^{-10}$ we get nonsense results because of truncation errors. The approximate value of $\dot P$ reported for the Hulse-Taylor system is about $-2.34\,10^{-12}$.

We can analyze the formula for $D_{N+1}$ using series expansions. A Taylor Series expansion of $exp(x)/x -1/x$ is given by WolframAlpha as

$$exp(x)/x -1/x= 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \frac{x^4}{120} + \frac{x^5}{720} + \frac{x^6}{5040} + \frac{x^7}{40320} + \frac{x^8}{362880} + \frac{x^9}{3628800} + \frac{x^{10}}{39916800} +O(x^{11})$$ or $$1 + \frac{x^{2-1}}{2} + \frac{x^{3-1}}{3*2} + ... \frac{x^{i-1}}{i!} + ...$$ No easilly computable expression or approximation is obvious at present. Proceeding anyway, it is clear that the duration of any subsequent orbit $N$ can be computed from

$$D_N = D_0 \left(\frac{exp^{\dot P} -1} {\dot P} \right) ^N = D_0 \left(\frac{1}{\dot P} \right)^N \left(exp^{\dot P} -1 \right) ^N$$

It is interesting to compare this expression for cycle duration with that which was used as the basis of the coarse binomial solution (see other answer: Method 4)

$$D_1=D_0(1+\dot P)^1$$

The ratio of durations Phase-based to Coarse binomial based is

$$D_0 \left( \frac{exp(\dot P)-1}{\dot P} \right)^{1} :D_0(1+\dot P)^1$$

becoming

$$\frac{exp(\dot P)-1}{\dot P} :1+\dot P \qquad \rightarrow exp(\dot P)-1 :\dot P +\dot P^2 \qquad \rightarrow exp(\dot P) : 1+\dot P +\dot P^2$$

applying the series expansion of $exp(\dot P)$ we obtain

$$\qquad \rightarrow 1+\dot P + \frac{\dot P^2}{2} + \frac{\dot P^3}{6} + \frac{\dot P^4}{24} +\,...\, : 1+\dot P +\dot P^2$$

Clearly the two expressions give different values for cycle duration $D$y la diferencia aparece en el término en$\dot P^2$y parece no ser más grande que$\frac{\dot P^2}{2}$.