Función de transferencia para este amplificador operacional de transconductancia

El libro de texto es correcto.

Dejar$R_{1\text{L}}$y$R_{2\text{L}}$refiérase a la más a la izquierda$R_1$y$R_2$, respectivamente, y$R_{1\text{R}}$y$R_{2\text{R}}$refiérase a la más a la derecha$R_1$y$R_2$, respectivamente.

El voltaje en la entrada inversora del amplificador operacional es$V_- = V_{\text{in}}$, por lo que la corriente a través$R_{1\text{L}}$es$V_{\text{in}}/R_{1\text{L}}$. Dado que idealmente no hay corriente en la entrada del amplificador operacional, la corriente a través$R_{2\text{L}}$es también$V_{\text{in}}/R_{1\text{L}}$.

El voltaje a través$R_{2\text{L}}$es

$$\frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}R_{2\text{L}}$$

por la Ley de Ohm.

El voltaje$V_M$en el nodo medio (en la intersección T de las resistencias) es por lo tanto

$$V_M = V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}R_{2\text{L}} \tag1$$

La corriente a través$R_{1\text{R}}$es$V_{M}/R_{1\text{R}}$. La corriente a través$R_{2\text{R}}$es esta corriente más la corriente a través$R_{2\text{L}}$:

$$\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}$$

entonces el voltaje a través de él es

$$\left(\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}\right)R_{2\text{R}}$$

Este voltaje más$V_M$es$V_{\text{out}}$:

$$V_{\text{out}} = V_M + \left(\frac{V_{M}}{R_{1\text{R}}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1\text{L}}}\right)R_{2\text{R}} \tag2$$

Sustituyendo$(1)$en$(2)$y quitando la L y la R de los subíndices:

$$\begin{split}V_{\text{out}} &= V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}R_{2} + \left(\frac{V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}R_{2}}{R_{1}} + \frac{V_{\text{in}}}{R_{1}}\right)R_{2} \\ &= V_{\text{in}}\left(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2} + \frac{R_{2}}{R_{1}}\right) \\ &= V_{\text{in}}\left(1 + 3\frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2}\right)\end{split}$$

$$\boxed{\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = 1 + 3\frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{R_{2}^2}{R_{1}^2}}$$

No se muestran todos los pasos, ¡pero esperamos que sean suficientes para guiarlo a través de este interesante circuito!

Suposiciones:

1. No fluye corriente hacia el terminal de entrada negativo opamp.

2. La diferencia de voltaje entre los terminales de entrada opamp negativo y positivo es cero, por lo tanto, el voltaje en el pin opamp de entrada negativo es$V_{in}$.

El "I" actual se puede calcular como:

$I = \frac{V_{out}}{R_2+R_1||(R_1+R_2)}$

Corriente a través de la resistencia izquierda$R_1$es:

$I_a = I \frac{R_1}{2R_1+R_2}$

Caída de voltaje a través$V_{in}$debido a$I_a$es:

$V_{in} = I_a R_1 = I \frac{R_1^2}{2R_1+R_2}$

Por eso:

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{(2R_1+R_2)(R_2+R_1||(R_1+R_2))}{R_1^2}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{2R_1R_2+R_2^2+R_1^2+R_1R_2}{R_1^2}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = 1+3\frac{R_2}{R_1} + (\frac{R_2}{R_1})^2$