Forma cerrada de la sucesión de Fibonacci: resolución mediante el método de la raíz característica

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Forma cerrada de la sucesión de Fibonacci: resolución mediante el método de la raíz característica

recursión
Matemáticas
números de fibonacci
relaciones de recurrencia

james ronald

Aquí está el teorema oficial que usaré:

Dado que la sucesión de Fibonacci se define como $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ , resolvemos la ecuación $x^2-x-1=0$ para encontrar eso $r_1 = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ y $r_2 = \frac{1-\sqrt 5}{2}$

Entonces tenemos $F_n = c_1\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n + c_2\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$

Lo sabemos $F_0 = F_1 = 1$ . Entonces podemos resolver el siguiente sistema para encontrar los valores de $c_1$ y $c_2$ :

$1 = c_1 + c_2$

$1 = c_1\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) + c_2\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)$

Resolver este sistema no da $c_1 = 1/\sqrt5, c_2 = -1/\sqrt 5$ , aunque aparentemente esa es la respuesta correcta, es decir, la forma cerrada de la sucesión de Fibonacci aparentemente es

\frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})

$\frac1{\sqrt 5}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) -\frac1{\sqrt 5}\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)$

¿Qué hice mal? ¿Por qué no me da la solución del sistema de ecuaciones? $c_1 = 1/\sqrt5, c_2 = -1/\sqrt 5$ ?

lulú

Bueno, con estos últimos valores tenemos

c_{1} + c_{2} = 0

$c_1+c_2=0$ . Así que tal vez estaban usando

F_{0} = 0, F_{1} = 1

$F_0=0,F_1=1$ como condiciones iniciales. Eso es estándar de todos modos.

Arnaud D.

Consulte math.stackexchange.com/questions/65011/…

bjorn93

Los valores iniciales para la sucesión de Fibonacci se definen como

F_{0} = 0, F_{1} = 1

$F_0=0,F_1=1$ o

F_{1} = F_{2} = 1

$F_1=F_2=1$ (por supuesto, ambos producen la misma secuencia). ¿Quizás confundiste las dos formas? Sería más fácil sustituir

n = 0

$n=0$ y

n = 1

$n=1$ .

james ronald

@lulu ¡Gracias por la ayuda!, entonces la forma cerrada de la secuencia de Fibonacci depende de lo que elijas.

F_{0}

$F_0$ y

F_{1}

$F_1$ ¿ser? Eso sería extraño, ya que no importa tu elección de

F_{0}

$F_0$ y

F_{1}

$F_1$ todavía terminas con la misma secuencia...

james ronald

@bjorn93 ¡Gracias por la respuesta! Entonces, ¿por qué la elección de los valores iniciales cambia la forma cerrada de la secuencia? Como dijiste, la elección de los valores iniciales no cambia la secuencia en sí, entonces, ¿cómo puede cambiar la forma cerrada?

james ronald

@ bjorn93 Oh, pero luego vuelvo a mi pregunta original: si mi elección de valores iniciales es irrelevante, ¿por qué llegué a la forma cerrada incorrecta?

bjorn93

@JamesRonald porque tiene un error en sus cálculos :) vea el primer comentario: es

c_{1} + c_{2} = 0

$c_1+c_2=0$ , no

1

$1$ , como lo tiene en su solución.

james ronald

@bjorn93

c_{1} + c_{2} = F_{0}

$c_1 + c_2 = F_0$ , ¿bien? Y

F_{0} = 1

$F_0=1$ ? Entonces, ¿por qué es incorrecto decir

c_{1} + c_{2} = 1

$c_1+c_2 = 1$ ? Lo siento por confundirme, realmente agradezco la ayuda.

lulú

¡Por supuesto que las condiciones iniciales afectan la forma cerrada! Intentaste resolver para

F_{0} = 1

$F_0=1$ donde alguien más usó

F_{0} = 0

$F_0=0$ . Cualquier fórmula dada puede, en el mejor de los casos, producir uno u otro, pero no ambos. Por supuesto, es una trivialidad cambiar de una de esas opciones a la otra, pero la forma exacta depende de la elección.

lulú

Solo para enfatizar, si dejamos

F_{n}

$F_n$ indique su elección (con

F_{0} = 1

$F_0=1$ ) y dejamos

F_{n}

$\mathscr F_n$ denota la opción alternativa (con

F_{0} = 0

$\mathscr F_0=0$ ) entonces obtenemos

F_{n} = F_{n + 1}

$F_n=\mathscr F_{n+1}$ , por lo que es muy sencillo traducir entre los dos.

bjorn93

@JamesRonald Sí, la elección de los valores iniciales es importante para la solución de forma cerrada. No me aclaré. Si cambia la indexación (como lo ha hecho), las constantes

c_{1}

$c_1$ y

c_{2}

$c_2$ cambiar. Sin embargo, entre las dos formas estándar de definir los valores iniciales de la secuencia de Fibonacci (ver mi primer comentario), ambas formas producirán la misma forma cerrada. (A eso me refería). Sin embargo, su definición no es estándar.

Respuestas (1)

Forma cerrada de la sucesión de Fibonacci: resolución mediante el método de la raíz característica

Bueno, con estos últimos valores tenemos $c_1+c_2=0$ . Así que tal vez estaban usando $F_0=0,F_1=1$ como condiciones iniciales. Eso es estándar de todos modos.
Los valores iniciales para la sucesión de Fibonacci se definen como $F_0=0,F_1=1$ o $F_1=F_2=1$ (por supuesto, ambos producen la misma secuencia). ¿Quizás confundiste las dos formas? Sería más fácil sustituir $n=0$ y $n=1$ .
@lulu ¡Gracias por la ayuda!, entonces la forma cerrada de la secuencia de Fibonacci depende de lo que elijas. $F_0$ y $F_1$ ¿ser? Eso sería extraño, ya que no importa tu elección de $F_0$ y $F_1$ todavía terminas con la misma secuencia...
@bjorn93 ¡Gracias por la respuesta! Entonces, ¿por qué la elección de los valores iniciales cambia la forma cerrada de la secuencia? Como dijiste, la elección de los valores iniciales no cambia la secuencia en sí, entonces, ¿cómo puede cambiar la forma cerrada?
@ bjorn93 Oh, pero luego vuelvo a mi pregunta original: si mi elección de valores iniciales es irrelevante, ¿por qué llegué a la forma cerrada incorrecta?
@JamesRonald porque tiene un error en sus cálculos :) vea el primer comentario: es $c_1+c_2=0$ , no $1$ , como lo tiene en su solución.
@bjorn93 $c_1 + c_2 = F_0$ , ¿bien? Y $F_0=1$ ? Entonces, ¿por qué es incorrecto decir $c_1+c_2 = 1$ ? Lo siento por confundirme, realmente agradezco la ayuda.
¡Por supuesto que las condiciones iniciales afectan la forma cerrada! Intentaste resolver para $F_0=1$ donde alguien más usó $F_0=0$ . Cualquier fórmula dada puede, en el mejor de los casos, producir uno u otro, pero no ambos. Por supuesto, es una trivialidad cambiar de una de esas opciones a la otra, pero la forma exacta depende de la elección.
Solo para enfatizar, si dejamos $F_n$ indique su elección (con $F_0=1$ ) y dejamos $\mathscr F_n$ denota la opción alternativa (con $\mathscr F_0=0$ ) entonces obtenemos $F_n=\mathscr F_{n+1}$ , por lo que es muy sencillo traducir entre los dos.
@JamesRonald Sí, la elección de los valores iniciales es importante para la solución de forma cerrada. No me aclaré. Si cambia la indexación (como lo ha hecho), las constantes $c_1$ y $c_2$ cambiar. Sin embargo, entre las dos formas estándar de definir los valores iniciales de la secuencia de Fibonacci (ver mi primer comentario), ambas formas producirán la misma forma cerrada. (A eso me refería). Sin embargo, su definición no es estándar.

sin nombre · Answer 1

Vamos a ver...

F_{norte} = {\begin{cases} 0 & para norte = 0 \\ 1 & para norte = 1 \\ F_{norte - 1} + F_{norte - 2} & para norte > 1 \end{cases}

$f_n = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ for } n = 0 \\ 1 & \text{ for } n = 1 \\ f_{n-1} + f_{n-2} & \text{ for } n>1 \end{array} \right.$

Ahora, la recursividad se puede escribir como

F_{norte} - F_{norte - 1} - F_{norte - 2} = 0,

$f_n - f_{n-1} - f_{n-2} = 0,$ entonces la ecuación característica es

X^{2} - X - 1 = 0.

$x^2-x-1=0.$ Ahora, las raíces de la ecuación son

X_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2},

$X_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}2,$ entonces la solución general es

F_{norte} = C_{1} \cdot {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{norte} + C_{2} {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{norte}

$f_n = C_1\cdot\left(\frac{1 + \sqrt{5}}2\right)^n + C_2\left(\frac{1 - \sqrt{5}}2\right)^n$ Desde el

f_{1}

$f_1$ y

f_{2}

$f_2$ obtenemos

\begin{array}{rcl} 0 & = & C_{1} + C_{2} \\ 1 & = & C_{1} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) + C_{2} (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \end{array}

$\begin{eqnarray} 0 &=& C_1 + C_2 \\ 1 &=& C_1\left(\frac{1 + \sqrt{5}}2\right) + C_2\left(\frac{1 - \sqrt{5}}2\right) \end{eqnarray}$ De la primera ecuación obtenemos

C_{2} = - C_{1},

$C_2 = -C_1,$ entonces

1 = C_{1} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) - C_{1} (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})

$\begin{equation} 1 = C_1\left(\frac{1 + \sqrt{5}}2\right) -C_1\left(\frac{1 - \sqrt{5}}2\right) \end{equation}$ Ahora tenemos

C_{1} [\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}] = 1

$C_1\left[\frac{1 + \sqrt{5}}2 - \frac{1 - \sqrt{5}}2\right] = 1$ o

C_{1} \cdot \sqrt{5} = 1

$C_1\cdot\sqrt{5} =1$ Entonces,

C_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}} .

$C_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}.$ Ahora,

C_{2} = - \frac{1}{\sqrt{5}} .

$C_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}}.$ Por tanto, la solución particular de la ecuación es

F_{norte} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{norte} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{norte}]

$f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}2\right)^n\right]$

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sin nombre

Use la recursividad para demostrar los límites de los números de Fibonacci cuando n≥2n≥2n\geq 2

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