Física de cohetes de agua

Este problema es una combinación de mecánica de fluidos y la física de la ecuación del cohete de las leyes de Newton. Los dos deben estar juntos correctamente.

Para derivar la ecuación del cohete supongamos que existe una masa$M$que se fragmenta en$M~-~\delta M$y$\delta M$, dónde$\delta M~<<~M$. Además, supongamos que$\delta M$vuela lejos a una velocidad$V$. La gran masa entonces experimentará un cambio en la velocidad.$-\delta v$de modo que

$$0~=~\delta MV~-~(M~-~\delta M)\delta v.$$ Si estos incrementos son pequeños, el término $\delta M\delta v$puede ser ignorado. Esta es la conservación de la cantidad de movimiento para un breve incremento en el vuelo del cohete. A partir de aquí, en el límite de cálculo, estos incrementos se vuelven infinitesimales. $$0~=~VdM~-~Mdv,~\rightarrow~\int_0^v dv^\prime~=~V\int_M^m {{dM^\prime}\over{M^\prime}}.$$ Esto conduce a una velocidad final del cohete con masa $m$después de gastar una masa $M~-~m$de combustible quemado más oxidante $v~=~Vln(M/m)$. Esta ecuación no es adecuada porque se supone que la velocidad de la masa de reacción es constante.

Consideramos la física interna de la botella cohete. La presión del aire empuja el agua hacia afuera, donde esta presión depende del volumen del aire. De hecho, esta es la ley del gas natural.$pV~=~NkT$, y$p~=~NkT/V$. También necesitamos la ecuación de Navier Stokes en una dimensión. entonces tenemos

$$\rho\frac{dv}{dt}~=~\frac{dp}{dx}$$ La presión depende del volumen con $V~=~2\pi R^2 x$y tenemos eso $$\frac{dv}{dt}~=~-\frac{NkT}{2\pi R^2\rho x^2}$$ El volumen de agua disminuye a medida que $x$aumenta a medida que el aire se expande. Este $x~=~ut$estará relacionado con la velocidad del chorro de agua que sale de la boquilla por la relación entre el área de la botella y el área de la boquilla $2\pi r^2$entonces $u~=~v(r/R)^2$. De este modo $$\frac{dv}{dt}~=~-\frac{NkTR^2}{2\pi v^2\rho r^4t^2}$$ y así reorganizando las cosas y resolviendo las integraciones $$\frac{v^3}{3}~=~\frac{NkTR^2}{6\pi r^4\rho t}$$ y entonces la velocidad del agua que sale de la boquilla es $$v~=~t^{-1/3}\Big(\frac{NkTR^2}{2\pi r^4\rho}\Big)^{1/3}$$ He sido un poco arrogante aquí, porque uno necesita cuidar los puntos finales de esta integración para cortar la integral en algún momento t. Claramente, la velocidad del agua no se asintota a cero a medida que el tiempo tiende al infinito. Dejo ese detalle al lector.

Ahora el trabajo es reelaborar la ecuación del cohete con esto como la velocidad de la pluma$V$. Uno también expresa la$dM$, el cambio en la masa, de acuerdo con la tasa de cambio en la columna de agua en la botella. En este punto, esto debería reducirse a otros cálculos de este tipo. Detendré esto en este punto, ya que esto ya es bastante intensivo en TeX y las páginas tienden a ser lentas.