En la ecuación del espejo
P1: Son y las distancias del objeto a la superficie del espejo o la distancia del objeto a lo largo del eje principal al polo?
Estas distancias difieren en una cantidad muy pequeña pero existen de todos modos. Estoy familiarizado con la derivación habitual de la fórmula usando un diagrama, ángulos alternos, un triángulo isósceles y luego una aproximación de ángulo pequeño.
P2: ¿Hay alguna fórmula que no haga aproximaciones?
Aquí hay más de una aproximación. Algunos se aplican a espejos y lentes. Algunos se aplican a la propagación de la luz en general. Las lentes son más comunes que los espejos curvos. Se ha prestado mucha más atención al diseño de lentes que al diseño de espejos. Pero las técnicas son similares.
Primero, la aproximación de ángulo pequeño asume que los ángulos son tan pequeños que no importa cuál de esas distancias uses. Funciona para rayos paraxiales, que están muy cerca del eje principal. Estos son los rayos que definen la distancia focal. Entonces es correcto como es.
Para rayos no paraxiales, debe rastrear la trayectoria del rayo a través del sistema. Cada vez que el rayo golpea la superficie de una lente o espejo, calcula la ubicación donde golpea y la nueva dirección del rayo.
Las lentes complejas se han diseñado durante más tiempo que las computadoras disponibles. Si está rastreando rayos a través de un sistema manualmente, rastrea la menor cantidad de rayos posible y usa la aproximación más simple que sea lo suficientemente precisa.
Los cálculos se pueden simplificar con la aproximación de lente delgada. La distancia focal de una lente se puede calcular a partir de los radios de las superficies, el índice de refracción y el grosor en el centro. Para muchas lentes, el grosor tiene un efecto pequeño y puede ignorarse. La lente se trata como un plano. u y v se miden paralelas al eje principal del plano.
Para mayor precisión, el grosor sí importa. u y v se miden paralelos al eje en puntos específicos dentro de la lente. Los puntos están en los planos principales de la lente.
Para el trazado de rayos, la aproximación de ángulo pequeño no es lo suficientemente buena. Antes de las computadoras, la gente a menudo usaba una serie de potencias.
la aproximación
era lo suficientemente preciso para muchos propósitos. Usando esto, encuentra que los rayos paraxiales se comportan como predice la aproximación más simple, pero muchos otros rayos no están enfocados en ese punto. Estas fallas para enfocar en un punto se llaman aberraciones de la lente.
Usando esta aproximación, las personas identificaron lo que se llama aberraciones de tercer orden. Por ejemplo, la aberración esférica es la falla de los rayos paralelos al eje para ser enfocados en un punto por una lente o espejo con superficies esféricas. Una parábola no tendría aberración esférica. Coma es la falla de los rayos en un ángulo para encontrarse en un punto.
La luz tiene una mezcla de longitudes de onda. El índice de refracción del vidrio y otros materiales varía con la longitud de onda. Esto significa que , pero se debe usar una f diferente para cada longitud de onda. O, dada una u fija, v es diferente para cada longitud de onda. Esto se llama aberración cromática. Los espejos no tienen esta aberración.
Los programas modernos de diseño de lentes no necesitan usar una aproximación de tercer orden para . Sin embargo, deben reportar las aberraciones en sus formas tradicionales.
El tema de la predicción de la propagación de la luz con rayos se llama óptica geométrica. Para lentes complejos con múltiples elementos, se pueden elegir materiales para minimizar la aberración cromática y se pueden elegir curvas para minimizar otras aberraciones.
Pero la luz es una onda. Las ondas se difractan. Si la luz pasa a través de un agujero de alfiler, obtienes un punto brillante central rodeado por una serie de anillos brillantes y oscuros. Se puede pensar en una lente o un espejo como un gran agujero de alfiler. Incluso cuando la óptica geométrica predice que todos los rayos están enfocados en un punto perfecto, la difracción significa que realmente será un punto. El tamaño de la mancha está determinado por el diámetro de la lente o el espejo. Para una lente circular en el aire, el diámetro del punto está dado por
Para una cámara, esto limita la nitidez de la imagen. Para un telescopio o microscopio, limita la separación a la que se pueden resolver dos objetos. Para un láser, limita la intensidad del punto focal.
Se dice que los sistemas ópticos en los que las aberraciones de los rayos no son mayores que la difracción están limitados por la difracción.
Esto es suficiente para la mayoría de los propósitos. Pero si no quiere aproximaciones, hay más cosas a considerar. Todo depende de lo que le interese y de lo preciso que quiera ser.
Por ejemplo, la polarización a veces importa. Un divisor de haz es un espejo parcialmente reflectante. Por lo general, se monta en un ángulo de 45 grados, de modo que la mitad de un rayo láser se refleja lateralmente y la otra mitad se transmite. Los dos haces están polarizados.
La absorción a veces importa. Un láser industrial de CO2 de alta potencia típico tiene 100 vatios de potencia en el haz. Si el 0,1 % es absorbido por una lente o la superficie de un espejo, la lente o el espejo se calentarán. Esto puede cambiar la forma y desenfocar el haz. O puede romper una lente. A veces se usan espejos de cobre en lugar de lentes porque son más fáciles de enfriar.
Asimismo, se necesitan buenos recubrimientos antirreflectantes. Los reflejos inesperados pueden enfocarse y provocar un incendio.
El aire dispersa la luz de forma dependiente de la longitud de onda. Este es un efecto pequeño, pero a largas distancias hace que el cielo sea azul. LIGO es un interferómetro óptico grande y extremadamente preciso que recientemente detectó ondas gravitacionales. Tiene trayectorias de rayos láser de 4 km de largo. La dispersión es una de las razones por las que los haces están en alto vacío.
Cuando la luz golpea un objeto en movimiento, el objeto ve una longitud de onda diferente. Esto se llama desplazamiento Doppler. La luz reflejada por un espejo en movimiento tiene una longitud de onda diferente a la de un espejo estacionario. Las moléculas de aire que rebotan en los espejos de LIGO moverían demasiado los espejos. Esta es otra razón por la que los rayos están en el vacío.
El punto es que "sin aproximaciones" significa más de lo que piensas.
Hay una fórmula más general (exacta) para un espejo esférico. Esta fórmula fue descubierta por HA Elagha y se publicó en la revista de la sociedad óptica de América en 2012. El artículo tiene el título: "Fórmulas de trazado de rayos exactas basadas en una alternativa no trigonométrica a la ley de Snell". Esta fórmula tiene la forma:
dónde y son las distancias del objeto y la imagen desde el vértice del espejo respectivamente. h es la altura del punto de incidencia en el espejo y es el radio de curvatura.
Narasimham