¿Es imposible la distribución equitativa de carga en la mayoría de los casos?

La respuesta es más simple de lo que piensas. Para demostrar mi punto, imagina que dejas$n=1$, entonces hay una carga elemental en tu cubo. Esta carga se ubicará en un lugar particular del cubo (probablemente en el centro, pero en realidad no importa). Cualquiera que sea el minicubo en el que termine la carga tendrá$1$carga elemental en él, y todos los otros mini-cubos tendrán$0$. Si agrega otra carga elemental, se distribuirán de alguna manera nueva. Pero aún así, la mayoría de los cubos tendrán$0$cargas en ellos, y esos dos cubos afortunados tendrán$1$cobrar cada uno. Si ahora escalamos desde$2$a$n$, debería poder concluir que incluso si los cargos se distribuyen "por igual", no hay problema con tener diferentes cantidades de cargos en cada minicubo. Esta respuesta no depende en absoluto de las características específicas de las cargas, la electrostática, etc. Y, a diferencia de la otra respuesta aquí de @NeuroFuzzy, la mecánica cuántica definitivamente no es necesaria para resolver este problema. Hay una solución clásica perfectamente válida (como di en este párrafo).

Si le preocupa qué cubos en particular obtienen más y cuáles obtienen menos, la respuesta depende principalmente de dónde en particular agregue las cargas al cubo, así como de la estructura atómica o molecular del propio cubo.

Hay algunas suposiciones incorrectas que ha hecho en su problema que no afectan la respuesta. Sigo pensando que sería útil proporcionar información adicional para que tengas una mejor idea de cómo funciona la física en este problema. Todas las suposiciones se derivan de su declaración de que "los cargos se distribuyen por igual".

De hecho, esa declaración simplemente no es cierta en general. Déjame decirte lo que creo que quieres decir con esto, y luego te diré cuál es la realidad. Cuando dices distribuidos por igual, creo que estás diciendo que deben estar igualmente espaciados en todo el volumen del cubo. En realidad, la situación es un poco más compleja por dos razones:

1. Has estipulado que este cubo es un conductor. En un conductor, las cargas siempre se mueven hacia la superficie ya que son repelidas por todas las demás cargas. Por lo tanto, no habrá ninguna de las cargas que agregas al cubo en el interior, todas estarán en la superficie.

2. En su cubo conductor, las cargas en la superficie no se distribuirían de manera uniforme (igualmente espaciadas), incluso si usara la cantidad correcta de cargas elementales para que coincida con la cantidad de regiones de la cuadrícula. La razón es que las cargas sienten fuerzas más grandes de las cargas cercanas que de las cargas distantes, y la superficie de un cubo no es uniforme. (Algunas partes del cubo están cerca de las esquinas y otras están cerca del centro, por ejemplo). Para obtener una verdadera distribución espacialmente uniforme, necesitaría usar una esfera, que tiene una superficie realmente uniforme.

Un cubo conductor tendrá su carga distribuida en la superficie (de$64-8=56$cubos), así que trabajemos en un ejemplo más simple de dos cubos pegados con un cuanto de carga en total.

Puedes imaginarlos físicamente como dos diminutos cubos de hierro o algo así, como las gotas de aceite con cuantos extra de carga en el experimento de la gota de aceite de Millikan. Todos los electrones y protones se equilibran en un sistema completamente neutral desde el punto de vista eléctrico, excepto por un molesto electrón adicional.

Si junta los cubos, los separa y mide la carga en ellos (quizás a través de un experimento similar al de Millikan), tendrá que encontrar que uno tiene carga y el otro no.

En una visión mecánica clásica del sistema, podrías imaginar el electrón como una partícula puntual que rebota a través de los dos cubos de hierro. Solo por el movimiento térmico, una vez que separas los dos cubos, puede estar en uno u otro, sin preferencia. Pero en un momento dado, el electrón está en un cubo o en el otro. Esta es su idea de un electrón que fluye de un lado a otro. Hay una corriente asociada con el electrón en movimiento, y el electrón siempre se mueve de un lado a otro.

¡Así no es como las cosas tienen que comportarse en realidad! En cuanto a la mecánica cuántica, no puedes decir ni siquiera en principio si el electrón está en un cubo o en el otro hasta que realmente haces una medición. Esa es una moraleja del experimento de la doble rendija: los electrones pueden deslocalizarse realmente antes de realizar una medición.

Matemáticamente puedes escribir una función de onda. El sistema está en una superposición de los dos estados asimétricos: (un cuanto en el par de cubos) = (un cuanto en el cubo 1 y cero en el cubo 2) + (un cuanto en el cubo 2 y cero en el cubo 1). Notación de Dirac, que se vería así:$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle+|2\rangle)$. La probabilidad de medir la partícula en el cubo 1 es del 50% ($|\langle 1|\psi\rangle|^2=0.5$), y la probabilidad de medir la partícula en el cubo 2 es del 50% ($|\langle 2|\psi\rangle|^2=0.5$). Sin embargo, antes de realizar estas mediciones, la función de onda es totalmente simétrica.

Esto es similar a cómo cambian los orbitales de electrones alrededor de un átomo de hidrógeno. Cuando un electrón decae de un orbital 2p a un orbital 1s, emite un fotón. Clásicamente, la única explicación es que en algún momento el electrón saltó instantáneamente. Mecánicamente cuántica, el estado puede hacer una transición sin problemas, digamos como$|\psi(t)\rangle=\cos(t)|2p\rangle+\sin(t)|1s\rangle$. En$t=0$, el electrón está en estado$|2p\rangle$con 100% de probabilidad. En$t=\pi/2$el electrón está en estado$|1s\rangle$con 100% de probabilidad. En el medio, el electrón estaba en una superposición de ambos estados. Ni siquiera estaba en principio en ninguno de los dos estados. Hizo el cambio discreto continuamente. Lo mismo con los cargos en este ejemplo. Un cuanto de carga se puede distribuir en dos cubos, sin preferencia por ninguno de los cubos y sin dependencia del tiempo (por lo que el electrón no se mueve de forma clásica y viaja de un cubo a otro todo el tiempo), mientras que cada medición que realiza de los cubos individualmente muestra que el electrón está en un cubo o en el otro (con igual probabilidad).