Efecto de la transconductancia de señal pequeña y grande en el oscilador Colpitts

Dado que no recibí respuestas a la pregunta (comprensible) y he investigado un poco mientras tanto, creo que es hora de devolver algo y responder la pregunta yo mismo. No puedo garantizar que sea completamente correcto, pero es mi mejor suposición sobre lo que está pasando.

Vamos a sacar los fáciles del camino primero. Pregunté: ¿ dónde se había ido la relación de reducción y por qué Av = gm/Gm?

La ecuación de ganancia inicial es exactamente eso: una ecuación de ganancia. Dice que la ganancia en el amplificador (gm*RL) combinada con la acción reductora de los condensadores (1/32) da una ganancia de bucle total de 3,2. Por otro lado, 156mV * Gm * RL supone que la ganancia del bucle es 1(dado que Gm*RL = 32 y los condensadores lo reducen en 32 para dar una ganancia total de 1), que es una condición de Barkhausen para la oscilación sostenida. Además, la razón por la que Av = gm/Gm es que el oscilador ha pasado de un estado de ganancia de 3,2 a 1. Por lo tanto, la transconductancia o corriente a través del amplificador también ha disminuido en 3,2. El objetivo es encontrar ese nivel de transconductancia que lleva al sistema de una ganancia inicial de 3,2 a 1. Entonces el cálculo es fácil, es simplemente 3,2 veces 1/g = 3,2 * 26 = 83 o algo así. Entonces, el Gm cuando el oscilador ha alcanzado una ganancia de estado estable de 1 es 1/83.

¡Ahora lo difícil! ¿Cómo calculó 156mV? Se dio en la tabla como el voltaje de entrada correspondiente al factor gm/Gm de 3.2, pero ¿cómo se calcula?

Todo lo dicho en relación con los niveles de las señales de entrada (a la frecuencia fundamental) y la transconductancia es relevante: cuanto mayor sea la señal de entrada, mayor será la resistencia (la corriente a través del dispositivo se reduce). Esta resistencia es vital para la amplitud de estado estable del oscilador, proporciona una especie de retroalimentación negativa que restringe la retroalimentación positiva y evita que el oscilador explote o golpee los rieles de suministro y se distorsione. Esta disminución en la transconductancia del transistor es una característica de la física subyacente y se describe mediante la siguiente ecuación y se destaca la contribución de CA, en particular.

Con Vin/Vt = x, la sección resaltada se convierte simplemente en:

El uso de scipy para visualizar esta función a lo largo del tiempo revela el tipo de "pico" del que habla Ron cuando el voltaje de entrada es alto (156 mV en este gráfico).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T = np.linspace(0, 10000, 1000)
C = np.exp(156e-03/26e-03*np.cos(2*np.pi*1e+06*T))
plt.xlabel("Time");
plt.ylabel("exp(Vs/Vt*Cos(wt)");
plt.plot(T, C);
plt.show();

Pero, no hemos terminado aquí. Lo que queremos es extraer la frecuencia fundamental de esta función y expresar esta corriente de frecuencia fundamental en términos del voltaje de entrada. Para hacer esto, expandimos e^(x cos(wt)) por expansión de Fourier y llegamos a la siguiente expresión:

El coeficiente In es una función de Bessel modificada. Lo siguiente es cierto para las funciones de Bessel modificadas: “Las funciones de Bessel también pueden tener un argumento imaginario. En este caso, se convierten en las funciones I y K modificadas. Esta sustitución las cambia de oscilatorias a monótonas, como en el caso análogo de las funciones trigonométricas”. Por lo tanto, las funciones cuando se trazan no aparecen como sinusoides, pero exhiben esa naturaleza de descomposición (que en última instancia describe la disminución de la transconductancia).

Ahora que casi llegamos, la corriente del colector se aproxima por:

Y finalmente reorganizando para Gm, tenemos:

Lo cual, como puede ver, es realmente un I/V y obtenemos:

Aquí está el código scipy para probarlo usted mismo y es útil si necesita calcular otros voltajes de entrada de diferentes Gm.

import numpy as np
from scipy.misc import derivative
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt


def calcBessel(vs,order):
    f = lambda phi,x,n : np.exp(x*np.cos(phi))*np.cos(n*phi)
    b,err = integrate.quad(f, -np.pi, np.pi, args=(vs, order))
    return (1/(2*np.pi))*b;

def calcGm(x, gm):
    b0 = calcBessel(x,0)
    b1 = calcBessel(x,1)
    return gm * ((2*b1)/(x*b0));

def calcGmArray(VS, gm):
    r = np.zeros_like(VS)
    for i,val in enumerate(VS):
        r[i]=calcGm(val/26e-03, gm);
    return r;

VS = np.arange(0, 1, 0.001)
plt.xlabel("Vbe (Steady State Oscillator Input) in Volts");
plt.ylabel("Gm (Large Signal Transconductance) in mhos");
plt.plot(VS, calcGmArray(VS, 1/26));
plt.show();

¡Uf! Creo que es suficiente por ahora.