Ecuaciones de la línea de transmisión cuando las condiciones iniciales no son cero

Una línea de CC de alto voltaje está en estado estable durante un tiempo suficiente después de aplicar 1 MV en los terminales de entrada a través de una fuente de voltaje de CC de 30 ohmios de impedancia con un circuito abierto en el extremo de la carga. La impedancia característica de la línea es de 20 ohmios. La longitud de la línea es de 1000 Km. La capacitancia de la línea es de 0,2 nF/m. La línea puede tratarse como sin pérdidas. A esta línea cargada se le conecta una carga de 30 ohmios en t=0. Encuentre una expresión para el voltaje en la línea después de t = 0 en varios puntos de la línea con el etiquetado habitual: la posición del extremo de envío es -L y la posición del extremo de carga es 0 y cualquier ubicación arbitraria es - Encontré esta pregunta en mi tarea universitaria , no pude resolverlo alguna sugerencia de cómo solucionarlo? ¿Algún material de referencia?

Es una solución de una ecuación telegráfica con condiciones iniciales.
Con la carga, la línea parece una fuente de Thevenin con un voltaje de 1 MV y una impedancia de 20 ohmios. ¿Qué sucede cuando lanzas una carga de 30 ohmios a través de esta fuente? ¿Cómo se propaga esta perturbación a lo largo de la línea? Resolver esto no es diferente de resolver los reflejos múltiples en cualquier otra línea después de la primera.
@Dave Entonces, ¿cómo calculamos el valor inicial? Sé que podemos resolverlo usando el diagrama de rebote.

Respuestas (1)

Las condiciones iniciales son que la línea de 20 Ω se carga a 1 MV, y en t=0 se conecta una carga de 30 Ω.

El efecto inmediato es que la línea y la carga forman un divisor de voltaje, por lo que el voltaje terminal en el extremo de la carga se convierte inmediatamente en 600 kV. Este paso de -400 kV es la perturbación inicial que se propaga de regreso por la línea hacia la fuente.

Tanto la impedancia de la fuente como la impedancia de la carga son de 30 Ω, por lo que el coeficiente de reflexión es el mismo en ambos extremos:

Γ = Z T − Z 0 Z T + Z 0 = 30 Ω − 20 Ω 30 Ω + 20 Ω = 0.2

En la fuente, el paso inicial de -400 kV se refleja como un paso de -400 × 0,2 = -80 kV, lo que eleva la línea a 520 kV.

En la carga, este paso se refleja como un paso adicional de -80 × 0,2 = -16 kV, lo que eleva la línea a 504 kV.

Los siguientes pasos son 500,8 kV, 500,16 kV y 500,032 kV.

Después de una gran cantidad de pasos, el voltaje de la línea converge en 500 kV, como era de esperar. En el estado estable, tiene un divisor de voltaje simple entre la impedancia de la fuente y la impedancia de la carga.

Así que ahora sabemos lo que sucede, pero ¿qué tan rápido sucede?

Conocer la capacitancia nos permite calcular también la inductancia de la línea a partir de su impedancia característica :

Z 0 = L C

entonces,

L = Z 0 2 C = 20 2 0.2 norte F / metro = 80 norte H / metro

Conocer estos dos valores nos permite calcular el factor de velocidad para una línea sin pérdidas:

V F = 1 C L C = 1 3 ⋅ 10 8 0.2 norte F ⋅ 80 norte H = 0.8333

Esas dos fórmulas se pueden combinar en una fórmula más simple que da la misma respuesta:

V F = 1 C Z 0 C

Sabiendo esto, más la longitud de la línea, te permite calcular el tiempo entre los reflejos.

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