¿Cuál es la masa planetaria más pequeña que puede evitar que "yo" vuele al espacio?

Question

¿Cuál es la masa planetaria más pequeña que puede evitar que "yo" vuele al espacio?

mikey

Tengo una serie de astronautas aterrizando en un asteroide. Me gustaría saber el umbral de masa para que no vuelen al espacio. Especificaciones:

Se supone que todos los astronautas pesan menos de 180 cm, 80 kg.
Se supone que un astronauta puede saltar ligeramente y no volar al espacio.
Request es un cómodo radio de dicho asteroide , que tiene una densidad promedio de 2 g/cm³ (bastante denso), con una forma mayoritariamente esferoide.
El peso y la altura incluyen equipo (esto es un futuro lejano); los astronautas están en forma.

En mi historia, me gustaría ver a mis astronautas capaces de saltar hacia el 'cielo', pero capaces de volver a bajar sin volar para siempre.

Si hay otros factores que debería incluir, por favor hágamelo saber. Además, aceptaré una magnitud de orden en lugar de una respuesta imposiblemente precisa (por lo tanto, no es ciencia dura).

EDITAR: Y SÉ QUE ESTO AFECTA LA RESPUESTA: 80 kg, no 30 kg. Todavía aceptaré la mejor respuesta si usó 30 kg debido a mi error, pero mostró las matemáticas.

usuario6760

No se preocupe, los astronautas que saltan volverán a bajar... eventualmente, a menos que se apliquen fuerzas externas.

JDługosz

@user6760 el salto puede exceder la velocidad de escape.

usuario6760

@JDlugosz: sí, tienes razón, pero la fuerza gravitacional todavía está allí ... a menos que, por supuesto, se apliquen fuerzas externas.

JDługosz

Un ∆v aplicado en la superficie que sea mayor que la velocidad de escape dará como resultado un curso hiperbólico que se escapa al infinito: no vuelve a bajar, nunca. Pensé que tu primer comentario confundía escapar con formar una órbita (que requiere un empuje que no está contra la superficie).

Matt Bowyer

30 kg? ¿Son humanos?

usuario25972

Puedo actualizar mi respuesta con sus nuevos números si lo desea. Tendrá que especificar cuánto de los 80 kg es la masa del traje. ¿Asumimos 70 kg como un número decente para hombres en forma?

mikey

@ user25972: sí, eso suena adecuado. Ese sería el umbral de una persona de 70 kg con una masa de traje de 10 kg. Pero aún aceptaré una respuesta que usó los 30 kg, ya que ese fue mi error de tipeo, siempre que las matemáticas estén ahí.

NPSF3000

"EDITAR: Y SÉ QUE ESTO AFECTA LA RESPUESTA: 80 kg, no 30 kg". En realidad, la masa de los astronautas es irrelevante.

mikey

@ NPSF3000: ¿cómo no es relevante? No estoy siendo crítico, solo genuinamente curioso, porque supuse que dos masas eran importantes en la ecuación de la gravedad y la cantidad de fuerza necesaria para escapar de un cuerpo planetario.

NPSF3000

@Mikey ¿Cuál cae más rápido? ¿Una canica de 10 gramos o una piedra de 10 toneladas (suponiendo que no haya fricción)? El mismo principio se aplica aquí.

mikey

@NPSF3000 - la fórmula de la gravedad: F = Gm1m2/r2, donde F es la fuerza debida a la gravedad, entre dos masas (m1 y m2). Corrígeme si me equivoco, pero la masa de un objeto y la masa de un cuerpo planetario son variables importantes. (No trato de ser obtuso, solo trato de resolver esto)

NPSF3000

@ Mikey, no soy un experto ... pero esa fórmula parece escalar la fuerza en función de la masa del segundo objeto. Una bola de bolos que tiene una masa de 100x una canica tiene 100x la fuerza. Considere sin embargo que f=ma... o para a=f/m. En otras palabras, un objeto mucho más grande requiere una fuerza mucho mayor para tener la misma aceleración. Una vez más, considere el mármol frente a la piedra.

mikey

@ NPSF3000: sí, también estoy familiarizado con una demostración de una pluma y una bola de boliche en el vacío. Y además, no soy un experto en absoluto. Pero la fórmula sugiere que en cuerpos extremadamente pequeños, hay una mayor magnitud de orden entre la masa de dos objetos que las cosas pequeñas frente a la masa de la Tierra. Una vez más, sin ser discutidor, tal vez alguien con experiencia en física pueda ayudar.

Respuestas (2)

¿Cuál es la masa planetaria más pequeña que puede evitar que "yo" vuele al espacio?

No se preocupe, los astronautas que saltan volverán a bajar... eventualmente, a menos que se apliquen fuerzas externas.
@JDlugosz: sí, tienes razón, pero la fuerza gravitacional todavía está allí ... a menos que, por supuesto, se apliquen fuerzas externas.
Un ∆v aplicado en la superficie que sea mayor que la velocidad de escape dará como resultado un curso hiperbólico que se escapa al infinito: no vuelve a bajar, nunca. Pensé que tu primer comentario confundía escapar con formar una órbita (que requiere un empuje que no está contra la superficie).
Puedo actualizar mi respuesta con sus nuevos números si lo desea. Tendrá que especificar cuánto de los 80 kg es la masa del traje. ¿Asumimos 70 kg como un número decente para hombres en forma?
@ user25972: sí, eso suena adecuado. Ese sería el umbral de una persona de 70 kg con una masa de traje de 10 kg. Pero aún aceptaré una respuesta que usó los 30 kg, ya que ese fue mi error de tipeo, siempre que las matemáticas estén ahí.
"EDITAR: Y SÉ QUE ESTO AFECTA LA RESPUESTA: 80 kg, no 30 kg". En realidad, la masa de los astronautas es irrelevante.
@ NPSF3000: ¿cómo no es relevante? No estoy siendo crítico, solo genuinamente curioso, porque supuse que dos masas eran importantes en la ecuación de la gravedad y la cantidad de fuerza necesaria para escapar de un cuerpo planetario.
@Mikey ¿Cuál cae más rápido? ¿Una canica de 10 gramos o una piedra de 10 toneladas (suponiendo que no haya fricción)? El mismo principio se aplica aquí.
@NPSF3000 - la fórmula de la gravedad: F = Gm1m2/r2, donde F es la fuerza debida a la gravedad, entre dos masas (m1 y m2). Corrígeme si me equivoco, pero la masa de un objeto y la masa de un cuerpo planetario son variables importantes. (No trato de ser obtuso, solo trato de resolver esto)
@ Mikey, no soy un experto ... pero esa fórmula parece escalar la fuerza en función de la masa del segundo objeto. Una bola de bolos que tiene una masa de 100x una canica tiene 100x la fuerza. Considere sin embargo que f=ma... o para a=f/m. En otras palabras, un objeto mucho más grande requiere una fuerza mucho mayor para tener la misma aceleración. Una vez más, considere el mármol frente a la piedra.
@ NPSF3000: sí, también estoy familiarizado con una demostración de una pluma y una bola de boliche en el vacío. Y además, no soy un experto en absoluto. Pero la fórmula sugiere que en cuerpos extremadamente pequeños, hay una mayor magnitud de orden entre la masa de dos objetos que las cosas pequeñas frente a la masa de la Tierra. Una vez más, sin ser discutidor, tal vez alguien con experiencia en física pueda ayudar.

reyledion · Answer 1

reyledion

Cómo calcular la gravedad superficial

Ver aquí.

¿Cuánta gravedad quieres?

Digamos que puedo saltar 1 metro en la Tierra (no puedo). Luego, usando ecuaciones cinemáticas, mi velocidad inicial hacia arriba fue

v_{F}^{2} = v_{i}^{2} + 2 gramo d \to \sqrt{2 gramo d} = 4.4 metro / s .

$v_f^2 = v_i^2 + 2gd \rightarrow\sqrt{2gd}=4.4 \text{ m}/\text{s}.$

Quiero que mi velocidad de escape esté cómodamente por encima de eso, así que digamos que la velocidad de escape es de 10 m/s. No deberías poder saltar de eso.

La velocidad de escape se puede calcular como

Δ v = \sqrt{2 gramo r}

$\Delta v = \sqrt{2gr}$ dónde

r

$r$ es el radio del asteroide y

g

$g$ es la gravedad superficial, que a su vez se puede calcular a partir de

gramo = \frac{4}{3} π GRAMO ρ r

$g = \frac{4}{3}\pi G\rho r$ como se muestra en el enlace anterior. Estableciendo la velocidad de escape igual a 10 y enchufando obtenemos

10 = \sqrt{\frac{8}{3} π (6.67 \times 10^{- 11}) (2000) r^{2}} \to r = 9459.

$10 = \sqrt{\frac{8}{3}\pi \left(6.67\times10^{-11}\right) (2000) r^2} \rightarrow r = 9459.$

No puedes saltar desde un asteroide de 10 km de radio. Probablemente.

**Editar*: Gracias a Mithrandir24601, también debería haber calculado la masa. Como lo hace en los comentarios:

METRO = \frac{4}{3} π ρ r^{3} = \frac{4}{3} (3.14) (2000) (9459)^{3} \approx 7.1 \times 10^{15} kg

$M = \frac{4}{3}\pi\rho r^3 = \frac{4}{3}(3.14)(2000)(9459)^3 \approx 7.1\times10^{15} \text{kg}$

Durandal

Diría que desea elegir la velocidad de escape para que sea un poco más alta que 10 m/s, ya que esta es aproximadamente la velocidad que un humano puede alcanzar con la fuerza muscular (simplemente corriendo horizontalmente, lo que lo pondría en una órbita baja) . Pero excelente respuesta de todos modos.

reyledion

@Durandal Estaba pensando en eso, pero decidí que casi sin gravedad, no puedes correr tan rápido... tu primer paso te llevaría hacia arriba y no puedes dar más pasos durante algún tiempo para acumular más velocidad. En cualquier caso, lo mejor de las matemáticas es que una vez que conoces las ecuaciones puedes introducir tus propias suposiciones :)

mi ech

Tu primera ecuación es incorrecta. Ya que

Δ V = a t

$\Delta V=at$ después

t = \frac{Δ V}{a}

$t=\frac{\Delta V}{a}$ , Siguiente

Δ s = \frac{a t^{2}}{2}

$\Delta s=\frac{at^2}{2}$ de este modo

Δ V^{2} = 2 Δ s a

$\Delta V ^2= 2\Delta sa$ , entonces tu segunda ecuación es correcta, pero

Δ V = V_{f} - V_{i}

$\Delta V = V_f-V_i$ por lo que la configuración

Δ s = d

$\Delta s=d$ y

a = g

$a=g$ la forma correcta de la primera ecuación sería

V_{f}^{2} - 2 V_{f} V_{i} + V_{i}^{2} = 2 g d

$V_f^2-2V_fV_i+V_i^2=2gd$ . Tus primeros pasos funcionan porque uno de los valores es 0, de lo contrario no lo harían.

Δ V^{2} = (V_{f} - V_{i})^{2} \neq V_{f}^{2} - V_{i}^{2}

$\Delta V^2=(V_f-V_i)^2 \neq V_f^2 - V_i^2$

Mithrandir24601

Para ayudar a la comparación, esto da la masa como

M = \frac{4}{3} π r^{3} ρ = \frac{4}{3} π (9459)^{3} (2000) \approx 7.1 \times 10^{15} k g

$M = \frac{4}{3}\pi r^3\rho = \frac{4}{3}\pi (9459)^3 (2000) \approx 7.1 \times 10^{15} kg$

reyledion

@Miech Usando mi ecuación (

v_{f}^{2} - v_{i}^{2} = 2 a d

$v_f^2-v_i^2 = 2ad$ ), con

v_{f} = 1, v_{i} = 0, a = 1

$v_f=1, v_i = 0, a=1$ , d = 1/2. Con

v_{f} = 2, v_{i} = 0, a = 1

$v_f=2, v_i=0, a=1$ , d = 3/2. Eso tiene sentido; si su velocidad inicial es 1, viajará 1 unidad de distancia más mientras aumenta la velocidad 1 unidad de velocidad con aceleración constante. Usando tu ecuación (

(v_{f} - v_{i})^{2} = 2 a d

$(v_f-v_i)^2 = 2ad$ ), para los dos datos anteriores, d = 1/2. Eso no tiene sentido. Aquí hay una derivación correcta de mi ecuación cinemática.

mi ech

@kingledion Sí, está bien, debería dejar de hacer matemáticas después de la medianoche (así que no debería publicar esta repetición, en realidad). debería haber usado

Δ s = V_{i} t + \frac{a t^{2}}{2}

$\Delta s= V_it+ \frac{at^2}{2}$ después de insertar

t = \frac{Δ V}{a}

$t=\frac{\Delta V}{a}$ da

a = V_{i} \frac{Δ V}{a} + \frac{Δ V^{2}}{2 a}

$a=V_i\frac{\Delta V}{a}+\frac{\Delta V^2}{2a}$ y por lo tanto

2 a s = 2 V_{i} V_{f} - 2 V_{i}^{2} + V_{f}^{2} - 2 V_{i} V_{f} + V_{i}^{2} = V_{f}^{2} - V_{i}^{2}

$2as=2V_iV_f-2V_i^2+V_f^2-2V_iV_f+V_i^2=V_f^2-V_i^2$ . Así que reconozco que estaba equivocado, todavía odio el método que vinculaste, los métodos geométricos son horribles.

moborg

puede agregar la gravedad resultante y la altura del posible salto y tal vez el tiempo de ese salto (cuánto durará) - buena respuesta

reyledion

@Miech Desafortunadamente, geométricamente es como lo enseñan en la escuela secundaria, y nunca aprendí mejor en la universidad.

usuario25972 · Answer 2

La altura máxima que un hombre puede saltar es un poco más de 70 cm para los mejores atletas. Esto se debe a que lo único que importa es qué tan alto se eleva tu centro de gravedad. Supongo que 80 cm.

El trabajo es fuerza por distancia. El peso es la fuerza $W = gm_0$ y cuando saltas una altura $h$ bajo la gravedad terrestre de 9,8 m/s con un peso $m_0$ , $E = hgm_0$ es el trabajo que hizo la gravedad para detenerte a tu altura máxima (toda la energía cinética se convierte en energía potencial).

El trabajo que realizaste para iniciar el salto también es fuerza por distancia. Es igual a la energía potencial gravitacional en la parte superior del salto exactamente. Al saltar en un asteroide, asumiremos que la longitud de las piernas y la fuerza no cambian (un traje espacial de tela tiene elasticidad en las piernas, así que esto es una aproximación). Realizas una cantidad de trabajo igual a la que hiciste en la Tierra, a saber $E = 0.8m \times 9.8 m/s^2 \times m_0$ .

La velocidad de escape viene dada por (ver Space Mission Engineering: The New SMAD editado por Wertz, Everett & Puschell, 2011, p. 201) $V_e = \sqrt{2GM/R}$ dónde $G = 6.674 \times 10^{-11}m^3 kg^{-1}s^{-2}$ es la constante gravitacional, M la masa del cuerpo central y R tu distancia desde su centro (supongo que por simplicidad es circular).

Densidad $\rho$ está en la región de $1000kg/m^3$ por cuerpos helados y $3000kg/m^3$ para los rocosos. En el caso de un cuerpo de níquel-hierro, aproximaremos la densidad total como $8000kg/m^3$ .

Queremos calcular el diámetro R de un cuerpo donde su energía cinética a la velocidad de escape es igual $E$ arriba.

0.8 metro \times 9.8 metro / s \times {metro}_{0} = mi = k mi = 0.5 {metro}_{0} \times V_{mi}^{2}

$0.8m \times 9.8m/s \times m_0 = E = KE = 0.5m_0 \times V_e^2$

0.8 metro \times 9.8 metro / s^{2} = 0.5 \times V_{mi}^{2}

$0.8m \times 9.8m/s^2 = 0.5 \times V_e^2$

15.68 {metro}^{2} / s^{2} = V_{mi}^{2} = 2 GRAMO METRO / R

$15.68 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R$ todavía asumiendo una esfera

METRO = ρ \times V = ρ \times 4 / 3 π R^{3}

$M = \rho \times V = \rho \times 4/3 \pi R^3$

15.68 {metro}^{2} / s^{2} = 8 / 3 GRAMO ρ π R^{2}

$15.68 m^2/s^2 = 8/3 G \rho \pi R^2$

\sqrt{(2.8 \times 10^{10} / ρ) {metro}^{- 1} k gramo} = R

$\sqrt{(2.8 \times 10^{10} / \rho) m^{-1} kg } = R$

Sustituyendo las densidades de arriba, obtenemos aproximadamente $R_{icy} \approx 5300m$ , $R_{rocky} \approx 3100m$ , $R_{iron} \approx 1900m$ .

Ahora veamos qué pasa con tus números. El astronauta todavía puede hacer la misma cantidad de trabajo para saltar, pero su masa será $m_1 = m_0 + m_{suit}$ en el asteroide, $\rho = 2000kg/m^3$ . Un estudio de la NASA de 1996 (ver The Origins and Technology of the Advanced Extravehicular Space Suit por GL Harris, American Astronautical Society History Series Volume 24, 2001, p. 455) especificó una masa máxima de conjunto de traje presurizado de 27 kg para misiones a Marte. Esto excluye los sistemas de soporte vital, a modo de comparación, Apolo tenía (ver pág. 440) 63,2 kg de soporte vital en un traje de 100 kg en total. Asumiremos que el futuro traje es un traje elástico ajustado con casi toda la masa en el soporte vital, sin elasticidad en las piernas y con masa solo $m_{suit} = 30kg$ total. Nota: Le diste al astronauta un peso de 30 kg. Este es un niño pequeño, así que supongo que en su lugar se pretenden 70 kg.

0.8 metro \times 9.8 metro / s^{2} \times {metro}_{0} = mi = k mi = 0.5 {metro}_{1} \times V_{mi}^{2}

$0.8m \times 9.8m/s^2 \times m_0 = E = KE = 0.5 m_1 \times V_e^2$

0.8 metro \times 9.8 metro / s^{2} \times 70 k gramo = 0.5 \times 100 k gramo \times V_{mi}^{2}

$0.8m \times 9.8m/s^2 \times 70kg = 0.5 \times 100kg \times V_e^2$

10.976 {metro}^{2} / s^{2} = V_{mi}^{2} = 2 GRAMO METRO / R = 8 / 3 GRAMO ρ π R^{2} = 8 / 3 \times 6.674 \times 10^{- 11} {metro}^{3} k {gramo}^{- 1} s^{- 2} \times 2000 k gramo / {metro}^{3} \times π \times R^{2}

$10.976 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R = 8/3 G \rho \pi R^2 = 8/3 \times 6.674 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2} \times 2000 kg/m^3 \times \pi \times R^2$

R^{2} = 9.815 \times 10^{6} {metro}^{2}

$R^2 = 9.815 \times 10^6 m^2$

R \approx 3100 metro

$R \approx 3100 m$

Solo sucede que está cerca de la aproximación del cuerpo rocoso anterior porque el aumento de masa fue compensado por la disminución de la gravedad.

Editar: Finalmente, ya que quieres masa:

METRO = 4 / 3 π R^{3} \times ρ = 4 / 3 \times 2000 k gramo / {metro}^{3} \times π \times (3100 metro)^{3} = 2.50 \times 10^{14} k gramo

$M = 4/3 \pi R^3 \times \rho = 4/3 \times 2000kg/m^3 \times \pi \times (3100m)^3 = 2.50 \times 10^{14} kg$

Realmente finalmente esta vez: dado que actualizó la masa a 80 kg y podemos asumir una masa de traje de 10 kg incluida en eso, así es como cambiaría la respuesta de mi respuesta de 100 kg con masa de traje de 30 kg:

V_{mi}^{2} = 10.976 {metro}^{s} / s^{2} \times 100 k gramo / 80 k gramo = 13.720 {metro}^{2} / s^{2}

$V_e^2 = 10.976m^s/s^2 \times 100kg/80kg = 13.720m^2/s^2$

R \approx 3100 metro \times \sqrt{100 k gramo / 80 k gramo} \approx 3500 metro

$R \approx 3100m \times \sqrt{100kg/80kg} \approx 3500m$

METRO = 2.50 \times 10^{14} k gramo \times (\sqrt{100 / 80})^{3} = 3.6 \times 10^{14} k gramo

$M = 2.50 \times 10^{14}kg \times (\sqrt{100/80})^3 = 3.6 \times 10^{14}kg$

¿Cuál es la masa planetaria más pequeña que puede evitar que "yo" vuele al espacio?

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