Criterio de Barkhausen: ¿cuál es el efecto global si solo se cumple el criterio de magnitud?

Voy a tratar de explicar mejor mi pregunta. Considerando un esquema de control simple compuesto por una amplificación directa A y una atenuación dependiente de la frecuencia del camino de retroalimentación β ( j ω ) , asumiendo una retroalimentación "positiva", tal que la ganancia del lazo es T ( j ω ) = A β ( j ω ) entonces una oscilación puede mantenerse constante en el tiempo si se cumplen ciertas condiciones para un valor de frecuencia preciso ω 0 , a saber, los criterios de Barkhausen: T ( j ω 0 ) = 1 o equivalente | T ( j ω 0 ) | = 1 y ∠ T ( j ω 0 ) = 0 . De esta forma, una señal sinusoidal sigue la ruta completa del bucle y regresa sin cambios, sin modificaciones de amplitud o fase.

Ahora, mi pregunta está relacionada con la condición de fase: he entendido que la condición de magnitud debe cumplirse para no tener oscilaciones divergentes o amortiguadas (sin amplificación o atenuación general por cada revolución del bucle), mientras que ¿por qué la fase debe ser 0 ? Es decir, si es así, la señal no se retrasa después de cada ciclo, pero ¿qué pasa si no es así? ¿Se desplaza la señal en cada ciclo? ¿Cuál es entonces la forma de onda de salida resultante, algo así como una sinusoide deslizante?

Dado que no se suman señales, como sucede en un sistema de retroalimentación clásico con una entrada, no se puede hacer referencia a la interferencia constructiva/destructiva que ocurriría debido al cambio de fase entre las dos señales agregadas; por lo tanto, el cambio de fase de la ganancia del bucle ∠ T ( j ω 0 ) no puede hacer que la oscilación aumente o disminuya si la magnitud sigue siendo 1 . ¿Tengo razón? En otras palabras, si no se cumple la condición de fase, entonces no se puede producir una oscilación en estado estacionario, pero de todos modos no es posible tener oscilaciones que tiendan a aumentar o disminuir.

SECCIÓN EDITADA: Como duda adicional vinculada a la pregunta anterior, si los criterios de Barkhausen se cumplen exactamente para una determinada frecuencia, ¿no debería uno decir algo más también sobre las otras frecuencias, para que todas estén amortiguadas (comportamiento de paso de banda)? ? En otras palabras, ¿cómo se puede estar seguro de que no se amplifican ni amplían otras frecuencias? (aunque, al decir esto, no estoy teniendo en cuenta que a tales frecuencias la fase tampoco sería 0, por lo que no puedo descifrar cuál es el efecto de la ganancia de bucle mayor o igual que 1, pero sea cual sea la fase, el problema está degenerando de nuevo en el criterio de fase).

Mi respuesta a su sección editada es (como ya se mencionó en mi respuesta detallada): la autoexcitación solo es posible para la frecuencia fa donde la fase del bucle es cero (resp. 360 grados). Todas las demás frecuencias no necesitan ser "amortiguadas" porque no se generan desde el principio.
Gracias por su paciencia y perdón por la demora en la respuesta, estas últimas afirmaciones apuntan perfectamente al núcleo de mi perplejidad: el sistema selecciona solo la frecuencia angular en la que la fase de ganancia del bucle es cero. ¡Esto es realmente esclarecedor! Como último paso, si no te importa, ¿puedes ayudarme a entender este pasaje teórico? es decir, la razón por la que la frecuencia adecuada para producir oscilación es sólo la que cumple la condición de fase.
Estoy seguro de que este pasaje es trivial, pero de alguna manera no puedo darle una explicación muy persuasiva, solo sigo pensando en una señal que regresa después de una revolución completa del bucle con un cambio de fase, tal vez de esta manera 'abstracta' de pensar es correcto el paso infundado.
Vexx23 - Creo que sé lo que quieres decir. Por supuesto, es posible una respuesta basada en derivaciones matemáticas (tanto para la frecuencia como para el dominio del tiempo utilizando la transformación de LAPLACE). Sin embargo, tales explicaciones no son posibles en este lugar. Quizás lo siguiente ayude: un oscilador en funcionamiento puede verse como un amplificador que crea su propia señal de entrada. Eso significa (como ejemplo): una amplitud de salida de 3V debe atenuarse y aparecer en la entrada de un amplificador de ganancia de 3 (como es el caso del oscilador WIEN) con una amplitud de 1V. Y esto debe ser válido para una sola frecuencia solamente.
@LvW Eso es justo lo que temía, la explicación de la frecuencia con fase cero es absolutamente clara. Ni siquiera estoy seguro de que alguien alguna vez se haya tomado la molestia o haya considerado el tema de desarrollar tal análisis. De todos modos, me has ayudado mucho, me alegro de que esta pregunta pueda ser útil para otros.

Respuestas (1)

Creo que puedo estar de acuerdo con todo lo que has explicado. Eso significa: Sí, la condición de Barkhausen se puede aplicar solo a oscilaciones en estado estacionario. En otras palabras, si se cumple la condición de amplitud (|T(jωo)|=1 o incluso >1) y NO se cumple la condición de fase, podemos tener oscilaciones decrecientes o incluso crecientes inmediatamente después del encendido. Pero, ¿a qué frecuencia? En realidad tenemos la siguiente situación:

El sistema siempre intentará oscilar a una frecuencia en la que se cumpla la condición de fase. Esta es la única posibilidad de permitir la autoexcitación de un sistema con retroalimentación positiva. Y esta frecuencia muy a menudo NO será exactamente la frecuencia (wo) donde se cumple la condición de amplitud por diseño (o "sobrecumplida"). Por lo tanto, el sistema intentará oscilar a otra frecuencia (digamos w1). Si la condición de amplitud aún se cumple en esta nueva frecuencia w1, tendremos amplitudes de oscilación crecientes (hasta que entre en juego cualquier mecanismo de limitación). Sin embargo, si la magnitud de la ganancia del bucle será <1 a la frecuencia w1, observaremos oscilaciones amortiguadas (o incluso ninguna oscilación).

Responda a su segunda pregunta: si la condición de Barkhausen (amplitud y fase) se cumple para una sola frecuencia, no hay posibilidad de que se acumulen oscilaciones en otras frecuencias.

EDITAR 1 (ejemplo)

Aquí hay un ejemplo muy ilustrativo que cumple exactamente con el tema de su pregunta:

Hay un oscilador armónico que consta de dos integradores opamp activos en un circuito cerrado (uno está invirtiendo y el otro no está invirtiendo). Por lo tanto, en condiciones ideales, tenemos una fase de bucle de 0 grados en un rango de frecuencia bastante amplio. Sin embargo, para los amplificadores operacionales reales, la fase del bucle cruzará la línea de 0 grados en una sola frecuencia para solo. Observaremos que la magnitud de la ganancia del bucle cruzará la línea de 0 dB en otra frecuencia f1 que siempre es mayor que fo (f1>fo). Esto se debe a la ganancia finita de bucle abierto de los amplificadores operacionales y al cambio de fase correspondiente.

Eso significa: La magnitud de la ganancia del bucle en la frecuencia fo será > 0 dB y la condición de Barkhausen se (sobre)cumple. El circuito oscila a una frecuencia fo (donde se cumple la condición de fase). Tenga en cuenta que para todas las frecuencias por debajo de fo, la ganancia del bucle es incluso mayor que en f=fo. No obstante, la frecuencia de las oscilaciones en estado estacionario es f=fo.

Comentario final: en particular, esta topología de oscilador es más adecuada para explicar por qué ya qué frecuencia oscilará un oscilador lineal.

EDITAR 2 (Comentario al circuito de ejemplo):

Quizás las siguientes consideraciones puedan ayudar aún más a responder su (muy inteligente) pregunta. Si intenta utilizar uno de los programas de simulación disponibles, encontrará que el oscilador de dos integradores NO oscilará continuamente en el caso de modelos simplificados de primer orden para los amplificadores operacionales. ¿Por qué no? Porque la fase del bucle se encontrará con la línea de 0 grados solo para frecuencias infinitas. Para todas las frecuencias finitas, la fase del bucle está muy cerca de 0 grados pero no exactamente de cero (solo sistema de segundo orden). Por esta razón, después del encendido tendremos oscilaciones que decaen lentamente.

Para permitir oscilaciones continuas, una simple resistencia en el capacitor de retroalimentación convertirá uno de los integradores en un sistema de dos polos, y la ganancia de bucle ahora es de tercer orden con fase de bucle cero a una frecuencia finita.

En cuanto a la segunda parte de su razonamiento, creo que es bastante claro, si existe una frecuencia tal que el cambio de fase es 0, esa frecuencia aparecerá en la salida, incluso si la ganancia en esa frecuencia no es buena para mantener el oscilación, por lo tanto amortiguada o divergente. Pero, ¿por qué, con magnitud 1 y fase no 0, la oscilación en ω 0 "decadencia"? (¿No debería ser una señal totalmente diferente y cómo puedo averiguar cómo se ve?) Acerca de la última pregunta, ¿no deberíamos garantizar que todas las demás frecuencias no se amplifiquen (por ejemplo, con magnitud > 1)?
¿Quizás mi EDICIÓN responderá a esta pregunta? Si no, coloca otro comentario.
Con respecto a su última oración: no podemos garantizar esto porque (por razones prácticas) debemos diseñar la ganancia de bucle siempre> 1 en la frecuencia deseada (tolerancias y comienzo seguro de oscilaciones)
Lo siento si no puedo aclarar mi duda: su ejemplo es magnífico para explicar cómo se desencadenan las oscilaciones, seleccionando naturalmente una frecuencia tal que la fase sea exactamente 0 mientras que la magnitud está sobredimensionada para que las oscilaciones puedan crecer hasta que se active una limitación. Refiriéndose a su ejemplo, ¿por qué la frecuencia F 1 (en el que la ganancia es 1 pero la fase es ligeramente inferior) genera de todos modos una oscilación que (¿exponencialmente?) Decae en los primeros instantes después del encendido? Quiero decir, ¿por qué una oscilación y no otra cosa? ¿Cómo puedo probarlo/verlo?
En cuanto a la última parte de mi pregunta y de su respuesta, he agregado algunos detalles a la pregunta, con la esperanza de que mi duda pueda resultar bien fundada o totalmente infundada (lo más probable).
No estoy seguro de si esto puede despejar sus dudas: la autoexcitación es posible solo para la fase de bucle cero. Creo que no puede observar si hay oscilaciones decrecientes en una frecuencia donde la fase del bucle no es cero porque el sistema siempre encontrará automáticamente una frecuencia (con una fase de bucle de cero grados) donde las oscilaciones decrecientes o ascendentes son posibles. Y si las oscilaciones son posibles a esta frecuencia única, ¡el circuito oscilará!
Criterio de Barkhausen: ¿cuál es el efecto global si solo se cumple el criterio de magnitud?
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