¿Cómo es posible que la misma fuerza realice diferentes cantidades de trabajo en dos marcos de inercia diferentes?

Ha descubierto correctamente que la potencia, el trabajo y la energía cinética son todas variantes de marco. Esto es bien conocido durante siglos, pero siempre sorprende a un estudiante cuando lo descubre por primera vez. Por alguna razón, no es parte de un plan de estudios de física estándar.

Entonces, la razón por la que esto es perturbador para cada estudiante que lo encuentra es que parece irreconciliable con la conservación de la energía. Si el trabajo realizado es diferente en diferentes marcos de referencia, ¿cómo se puede conservar la energía en todos los marcos?

La clave es reconocer que la fuerza que realiza el trabajo actúa sobre dos cuerpos. En este caso el objeto y la superficie horizontal. Debe incluir ambos cuerpos para obtener una imagen completa de la conservación de la energía.

Considere la situación en su ejemplo desde un marco arbitrario donde la superficie horizontal (en adelante, el "suelo") se mueve a una velocidad$u$, siendo entonces el marco de tierra el marco$u=0$. Que el suelo tenga masa$M$. Las energías cinéticas iniciales son:

Ahora, la fuerza de rozamiento$-f$actúa sobre el objeto hasta que$v_{obj}(t_f)=v_{gnd}(t_f)$. Resolviendo para el tiempo da

En$t_f$las energías cinéticas finales son:

Tenga en cuenta que el cambio total en KE es independiente de$u$, lo que significa que es marco invariante. Esta es la cantidad de energía que se convierte en calor en la interfaz. Entonces, aunque el cambio en KE para el objeto en sí es variante de marco, cuando también incluye el suelo, encuentra que el cambio total en la energía cinética es invariante de marco, lo que permite conservar la energía ya que la cantidad de calor generado es invariante de marco.

Las fuerzas no actúan sobre un solo objeto. Es difícil de ver, pero el otro objeto en el par de fuerzas aquí es el suelo/tierra.

En el marco donde el suelo está estacionario, la fricción no realiza trabajo sobre la tierra, por lo que podemos descartar los efectos. Pero en un marco donde el suelo se mueve, la fricción también actúa sobre él.

En cualquier marco, la suma de todo el trabajo realizado es idéntica, pero puede distribuirse entre los dos objetos en cantidades diferentes. Quizás en el marco estacionario terrestre el resultado neto es que el objeto pierde 50J y se producen 50J de calor. En un marco diferente, puede encontrar que el objeto pierde 250 J, la tierra gana 200 J y se producen 50 J de calor.

El coeficiente de fricción es el mismo en ambos casos. Has asumido que la distancia recorrida es la misma en ambos casos, por lo que obtienes valores diferentes para$\alpha$. Sus otras preguntas se han aclarado en muchas respuestas anteriores, por lo que solo quería mencionar este punto.

Cálculo usando la definición de trabajo:

$W = \int_{x1}^{x2}{Fdx}$. Para un marco que se mueve a una velocidad$v_0$, el cambio de variables son:$x' = x - v_0t$y$dx' = dx - v_0dt$.

$W' = \int_{x1'}^{x2'}{F(dx - v_0dt)} = \int_{x1}^{x2}{Fdx - \int_{t1}^{t2}Fv_0dt}$

La primera integral representa el trabajo en el marco estacionario. Como se mencionó en las otras respuestas, la segunda puede interpretarse como el trabajo realizado en el segundo cuerpo (el "suelo"). Teóricamente, debería resultar en una disminución de su velocidad, pero como es mucho más masivo, hay una fuerza variable y una velocidad constante.

La primera parte se puede utilizar para calcular la variación de energía cinética para el marco estacionario:

$\int_{x1}^{x2}{Fdx} = m\int_{x1}^{x2}{(dv/dt)dx} = m\int_{x1}^{x2}{dv(dx/dt)} = m\int_{v}^{0}{vdv} = -(1/2)mv^2$

Pero la segunda integral es:$\int_{t1}^{t2}{Fv_0dt} = mv_0\int_{t1}^{t2}{(dv/dt)dt} = mv_0\int_{v}^{0}{dv} = -mv_0v$

El trabajo realizado, medido por el marco móvil es:$-(1/2)mv^2 + v_0v$, coincidiendo con su cálculo.

En teoría del movimiento: dada la relatividad del movimiento inercial, la forma de buscar la comprensión de la mecánica que tiene lugar es buscar un invariante. Aquí 'invariante' se refiere a una representación que es independiente de la elección del origen del sistema de coordenadas inercial.

Aquí están las cosas que necesito poner en su lugar para eso:

En el caso de dos masas$m_1$y$m_2$podemos establecer la velocidad de cada masa como una velocidad con respecto al Centro Común de Masa (CCM) de las dos masas

$m_1$Masa del objeto 1
$m_2$Masa del objeto 2
$v_1$Velocidad del objeto 1 relativa al CCM
$v_2$Velocidad del objeto 2 relativa al CCM

$V_r$velocidad relativa entre los dos objetos
$V_c$velocidad del CCM en relación con algún origen elegido

Esta notación representa que, con respecto al CCM, el momento total de un sistema de dos partículas es cero:$m_1v_1 + m_2v_2 = 0$

La energía cinética total expresada en términos de$v_1$y$v_2$:

Usar (1) y (2) para convertir (3) en una expresión en$V_r$y$V_c$:

Muchos términos caen uno contra el otro, y la expresión se puede separar en un componente en términos de la velocidad del CCM con respecto a algún origen elegido, y la velocidad relativa entre$m_1$y$m_2$

Por supuesto, podemos hacer el$V_c$término cero eligiendo un sistema de coordenadas que se mueva junto con el CCM. Entonces la expresión de la energía cinética es:

Lo que esto ilustra es que no existe tal cosa como la energía cinética de un solo objeto. La energía cinética es significativa solo en términos de la velocidad relativa entre dos objetos.

Es solo que cuando el otro objeto es mucho, mucho más masivo, hay un error insignificante al simplificar la expresión a: