¿Cómo derivar la primera ley de Kepler?

Debo decir que estoy de acuerdo contigo, esta forma de derivar la ley de Kepler no es la más intuitiva, quizás por eso especifican: "revisada".

R1: La razón se establece al principio del capítulo, donde se deriva la relación entre$r$y el ángulo con el perihelio$\theta$para el caso general de una elipse (Eq 3 en su libro en Cap 2.1 Elliptical orbit, pero puedo ver que tengo una versión anterior a la suya), donde:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\,cos(\theta)}$$

aquí, la excentricidad de una elipse se define como:

$$e = \sqrt{1- \frac{b^2}{a^2}}$$

en el caso de la ley de Kepler se puede definir la excentricidad como$e = D/\mu G M$y$a$como:

$$a = \frac{L^2 G\, M}{\mu^2\,G^2\,M^2 - D^2}$$

y se puede calcular en la ecuación (29), obteniendo la ecuación de la misma forma que para una órbita elíptica.

La razón para derivar$r$es porque indica la distancia del objeto al punto focal (centro de masa del sistema), que en el caso del sistema solar, es la distancia del planeta al Sol (en realidad el punto focal del sistema solar, o mejor dicho del sistema Sol-Júpiter, se encuentra a unos pocos kilómetros sobre la superficie solar).

R2: la excentricidad$e$cuantificar la forma de la sección transversal de un cono Excentricidad (matemáticas) Wikipedia .

Por ejemplo, en el caso de una elipse tienes$0 < e < 1$, e indica cuánto se "aplasta" la elipse. Otro ejemplo, si tienes$e=0$de lo que tienes un círculo.

En el caso de$e=1$tienes una parábola, de la ecuación de$e$arriba significa que$a\gg b$. En un sentido más físico, significa que el sistema no está en un estado limitado gravitacionalmente , y el objeto menos masivo$m_1 \ll m_2$sigue una trayectoria parabólica, desviada por la atracción gravitatoria de$m_2$, y no permanecerá en órbita.

Con mucha investigación y pensamiento, logré responder mi propia pregunta, pero voy a compartir la respuesta ya que nadie la ha respondido satisfactoriamente.

Q1: el vector de posición$\vec{r}$de la masa reducida es también la distancia relativa entre las 2 masas, por lo tanto, si la masa reducida está experimentando un movimiento elíptico alrededor de su centro de masa, es equivalente a tomar el marco de referencia de uno de los objetos en el sistema binario y medir el vector de posición del otro objeto ya que$\vec{r}$es la distancia relativa. Por lo tanto, lo que realmente dice la primera ley de Kepler es que en un sistema binario, los objetos sufrirán un movimiento elíptico con respecto al otro objeto.

P2: Como la excentricidad tiende hacia 1, observe que de la fórmula$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$que si e tendiera a 1,$\frac{b^2}{a^2}$debe tender hacia 0, y esto haría que la elipse se aproximara a la forma de una línea (pero es importante notar que$e=1$daría como resultado una parábola, no una línea recta). En una línea, dado que los vectores de velocidad y posición son paralelos, L sería 0 (ya que$L=m\vec{r}\times \vec{v}$y si son paralelas el producto cruz seria 0)