Cómo cerrar correctamente aplicaciones en ejecución mientras avast! ¿Mobile Security está instalado/ejecutándose en segundo plano?

No sé qué está haciendo Avast allí (no uso ninguna aplicación antivirus, ya que no veo ningún beneficio en ella). Pero en cuanto a la segunda parte de su pregunta: en realidad no debería necesitar cerrar explícitamente una aplicación, ya que Android normalmente hace un buen trabajo cuidándose solo. Para obtener más información, consulte la descripción del ciclo de vida del proceso tal como se describe en la página de desarrolladores de Android; para obtener un vistazo breve, consulte esta descripción gráfica:

^{Imagen tomada del blog BottomLessInc}

Puede ver tres flechas que van desde el estado "Pausado": Directamente a "destruido" (explícitamente "cerrado" la aplicación), o a través de "Detenido" y de vuelta a "En ejecución". En palabras simples: cuando "dejas" la aplicación en segundo plano y luego vuelves a ella, vuelve a "Ejecutar". Si no regresa, y el sistema decide que ya no es necesario. "Destruido" puede tomarse como "finalizado y borrado de la memoria", "Pausado" como una especie de "En espera para acceso inmediato" y "Detenido" como "Listo para limpiar".

Una vez más, esta es una explicación muy simplificada. Si necesita más detalles, la "gran palabra clave" para esto es "OOM Killer" (OOM = Sin memoria), que es la parte del sistema que se ocupa de que no se quede sin recursos. Consulte, por ejemplo, este artículo de blog para obtener más detalles.