¿Cómo cambia la tensión en una cuerda cuando la cortas?

Pero, presumiblemente, el proceso es en realidad continuo y, durante un período de tiempo, la tensión en la cuerda disminuirá desde su valor inicial.$T(y)$(dependiendo de la distancia$y$desde el techo). Cómo$T(y)$evolucionar con el tiempo?

Un solo valor que cambia con el tiempo no será un modelo útil. En una situación estática o de evolución lenta, podemos modelar la cuerda sin masa y perfectamente rígida. En este caso, un solo valor para$T$en todo el artículo es razonable. Si continúa utilizando este modelo ideal cuando se corta la cuerda, entonces consideraríamos que la tensión se reduce a cero inmediatamente.

Pero si este modelo es insuficiente, suponiendo que tiene un solo$T$a lo largo también es insuficiente. En cambio, los cambios en las fuerzas sobre la cuerda se propagan de una parte de la cuerda a otra a una velocidad finita (a menudo muy cercana a la velocidad del sonido en el material). En su ejemplo, si la cuerda es liviana, inmediatamente después del corte, las regiones de la cuerda cerca del corte tendrán una tensión cercana a cero, mientras que las regiones alejadas del corte tendrán una tensión igual a$T$. En lugar de un solo valor en el material que cambia suavemente con el tiempo, las diferentes porciones diferirán dramáticamente.

Un sensor conectado a la cuerda en el otro extremo vería que la fuerza de la cuerda caía rápidamente a cero, justo después de cuando se cortó. Cuanto más ligera sea la cuerda, más rápida será la caída.

Supongamos por simplicidad que el corte ocurre instantáneamente y que la cuerda permanece recta después de cortarla.

La magnitud de la tensión que siente la masa es inicialmente$mg$, ya que tiene que equilibrar la fuerza debida a la gravedad. Si la cuerda se corta en el momento$0$, la información de que se ha producido la ruptura comenzará a viajar hacia la masa a una velocidad$v_s$, dónde$v_s$es la velocidad del sonido (onda longitudinal) en el material del que está hecha la cuerda, y alcanzará la masa en el tiempo$t(y)=y/v_s$, dónde$y$es la distancia desde el corte.

Como referencia, la velocidad de un sonido en nylon es$1070$m/s según esta página . Por lo tanto si$y=1$m la masa "notará" que la ruptura ha ocurrido en el momento

Entonces, desde el punto de vista de un ser humano, la ruptura ocurrirá casi de inmediato.

En este caso ideal, la tensión caerá instantáneamente de$mg$a$0$en el momento$t(y)$. En un caso real, sin embargo, la caída ocurrirá en un tiempo finito.

Echa un vistazo también a este gráfico de tensión vs tiempo durante la ruptura de una cuerda de escalada, tomado de este documento de la UIAA :

(Sobre el$y$eje la unidad es$10 \cdot$N, no sé sobre el eje horizontal, pero supongo$10^{-3}$s... ¡Estas personas realmente deberían aprender a etiquetar sus hachas!)

Considere que una masa está unida a un resorte vertical, que cuelga del techo. Si de repente separa el resorte del techo, el resorte comienza a oscilar cerca de SH

Ahora, en el caso de la cuerda, debido a la presencia de cierta elasticidad de la cuerda, se puede ver un movimiento similar. A diferencia de la primavera, el movimiento cercano a SHM se seca muy rápido y prácticamente no se ve ningún movimiento.

Sería muy, muy difícil calcular esta función.

Suponga que está cortando la cuerda con una tijera y durante ese tiempo, la cuerda se verá así:

Puntos$A$y$B$tendrá diferentes densidades de masa por unidad de longitud como$B$estaría más estirado que$A$. Esto implica que cada sección vertical de la cuerda tendrá una densidad de masa diferente y, obviamente, una tensión diferente, lo que en conjunto haría más difícil calcular esa función.