¿Cómo calcular el error de medición en un sensor exponencialmente no lineal? (sensor de presión de fabricación propia)

$$V_2=V_{ref}\dfrac{R_t}{R_1+R_t}=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{R_t}})$$

$$V_2=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{244.5x^{-0.941}}})$$

$$R_t=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$244.5x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$-0.941\cdot lnx=ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$x=e^(\dfrac{ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}}{-0.941})$$

$$x=\left( \dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)} \right) ^\dfrac{1}{-0.941}$$

Ahora puede usar las medidas y escribir la función en series de Taylor parciales.

$${\displaystyle x_{approx} = f(V_a)+{\frac {f'(V_a)}{1!}}(V_2-V_a)+{\frac {f''(V_a)}{2!}}(V_2-V_a)^{2}+{\frac {f'''(V_a)}{3!}}(V_2-V_a)^{3}+\cdots ,}$$

Para cada punto de medición a, calcula el diferencial 1 a n-ésimo (tabla LUT adicional, con números fijos) y luego calcula el valor interpolado. Usar solo la primera derivada podría estar bien, con la segunda derivada el error de medición será mayor que el error de aproximación, la tercera derivada es una exageración.

Si tienes algo de MATLAB, Octave,... podrías resolver las derivaciones y calcular números. Luego usa esos valores precalculados con respecto a sus puntos de calibración. La única sobrecarga para la CPU es entonces cuadrar el (V2-Va).

Podría expandir/modificar la serie de Taylor para dos puntos vecinos. enlace

EDITAR:

He buscado en la red alguna diferenciación simbólica. En primer lugar, en los libros escolares normalmente encontrarás una función definida como y=f(x), así que reorganicemos

y=(R_1/(244.45*(V_R/x-1)))^(1/-0.941)

donde y es la Fuerza, y x es el voltaje medido

He insertado la ecuación (R_1/(244.45*(V_R/x-1)))^(1/-0.941) en un solucionador en línea: www.derivative-calculator.net . He elegido los valores Vref=3.3V, R1=220 ohm.

Calculé el voltaje V2 de acuerdo con la ecuación (1) cuando Rt = 130, de acuerdo con su gráfico (función equivalente) debería estar en fuerza = 2.

V2=3,3* 130/(220+130) = 1225V

Tengo esto:

La fuerza debe ser de aprox. 2, no sé por qué es esta desviación. El solucionador también hizo una simplificación de la función:

$$\dfrac{4889^\frac{1000}{941}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{1000}{941}}{20^\frac{1000}{941}R_1^\frac{1000}{941}}$$

Finalmente, la primera derivada es:

$$-\dfrac{50{\cdot}4889^\frac{1000}{941}V_{ref}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{59}{941}}{941{\cdot}20^\frac{59}{941}R_1^\frac{1000}{941}x^2}$$

Ahora todo lo que tienes que hacer es insertar valores.

Por ejemplo 1er punto (F=1; Rt=230), V2=3.3*230/(220+230)= 1.686V. Inserto este valor como x, y el valor de la primera derivada es f'(1.686)= -1.37612. La segunda derivada es 1.737047.

Para la pequeña desviación alrededor del primer punto, la fuerza podría calcularse como una serie de Taylor de segundo orden:

$$F_{approx} = 1 - 1.37612\cdot (V_2-1.686V)+0.68806\cdot (V_2-1.686V)^2$$

Calculando el V2 para el segundo punto (F=2; Rt=135) como ya antes V2=1.225 e insertando en la ecuación anterior da F=1.78