Circuito de CA que solo tiene condensador

¿Dónde estoy equivocado?

Siento decirte que te equivocas de principio a fin. Te estás perdiendo el punto central del análisis (la redacción del libro tampoco ayuda).

"PD a través de las placas del capacitor = EMF aplicado" es solo una forma elegante (y confusa para cualquier novato) de decir "Apliquemos un voltaje de CA al capacitor y veamos qué sucede con otras magnitudes como la corriente a través de él". Es decir:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Poniendo las cosas de esta manera hace fácil responder a esta pregunta de usted:

[...], ¿cómo puede ser cierto que el enunciado dado (1) sea cierto en cualquier instante?

Bueno, es cierto porque lo estamos obligando a que sea así para que podamos ver qué sucede entonces con la corriente a través del capacitor.

El siguiente paso es encontrar cómo se relacionan V e I. Uno podría esperar que si forzamos el potencial entre las placas del capacitor para que varíe con el tiempo, entonces la corriente a través del capacitor de alguna manera tendrá un comportamiento similar.

Recordamos, al igual que el libro, que:

y

Entonces, con la ayuda de un poco de matemáticas, finalmente llegamos a:

Lo cual, en un sentido matemático , significa que la corriente también es sinusoidal y que hay un$\dfrac{\pi}2$diferencia de fase entre V e I.

Sin embargo, ¿qué significa en un sentido físico ? Bueno, de alguna manera tu intuición al respecto no fue mala después de todo:

la corriente es 0 en π/2 y en múltiplos impares de π/2 donde la fem aplicada corresponde a su valor máximo. Entonces, el capacitor se carga completamente en estos casos

¡Eso es todo! Cuando el capacitor está completamente cargado, no fluye corriente hacia él. Cuando está completamente descargado, la corriente máxima fluye hacia él para cargarlo. Y el condensador oscila a través de esos estados todo el tiempo mientras seguimos aplicándole un voltaje de CA.

EDITAR:

Después de leer su comentario a mi respuesta, entiendo dónde está su problema: su enfoque matemático es defectuoso.

Miras el valor instantáneo de$V$y piensa que puedes tomar un intervalo de tiempo${\Delta}t$lo suficientemente pequeño como para$V$puede considerarse constante, es decir,${\Delta}V{\approx}0$. Luego asimilas esta situación con DC (lo que también es incorrecto porque en DC cargas el condensador a través de una resistencia, que aquí está ausente) y deduces que si${\Delta}V=0$entonces$I=0$por lo que no fluye corriente. Luego extrapola esa deducción a todos los posibles$t$y concluya que no fluye corriente en absoluto y que el capacitor debe estar completamente cargado en todo momento en el valor pico de la FEM aplicada.

Bueno, esto es matemáticamente incorrecto por varias razones:

1. Si está tratando con intervalos, aplíquelos a TODAS las magnitudes involucradas. Tu defecto reside en considerar$I=0$cuando deberías estar considerando${\Delta}I=0$en cambio (lo cual tampoco es cierto, continúa leyendo para ver por qué).

2. Al mirar lo que sucede en cualquier momento arbitrario$t_1$, su${\Delta}t$es un incremento de eso$t_1$. Lo mismo vale para$V$y$I$: su${\Delta}V$será un incremento de$V_1=V(t_1)$, y${\Delta}I$será un incremento de$I_1=I(t_1)$. Pensar en$V_1$y$I_1$como condiciones iniciales al comienzo del intervalo${\Delta}t$. es un error asumir$V_1$y$I_1$son iguales a cero. Además, está mal pensar en${\Delta}V$como la diferencia entre la FEM aplicada y el voltaje en el capacitor. Como se ha dicho, no hay diferencia entre la EMF aplicada y el voltaje en el capacitor, solo se fuerza a que sea igual.

3. para muy pequeño${\Delta}t$intervalos, tendrás${\Delta}V{\approx}0$y${\Delta}I{\approx}0$. Pero eso no significa en absoluto que la concatenación de intervalos de tiempo donde${\Delta}I{\approx}0$rendirá$I=0$y de allí concluir que "no fluye corriente, por lo que el capacitor debe cargarse y$V$debe ser constante". Está mal pensar así. El Cálculo Diferencial y el Cálculo Infinitesimal nos dicen cómo lidiar con las cosas cuando${\Delta}t{\rightarrow}0$. Y alguien más inteligente que tú y yo ya los usó para desarrollarlo para que podamos construir sobre él:

La corriente en el capacitor es proporcional a la tasa de cambio de voltaje a través de él (proporcional a qué tan rápido cambia el voltaje a través del capacitor). Cuanto más rápido sea el cambio de voltaje (la frecuencia de una señal de CA es alta), mayor será el flujo de corriente a través del capacitor.

Esto significa que para mantener la corriente a través de un capacitor, el voltaje aplicado debe cambiar. Cuanto más rápidamente cambia el voltaje, mayor es la corriente. Por otro lado, si el voltaje se mantiene constante, no fluirá corriente sin importar cuán grande sea el voltaje. Del mismo modo, si se encuentra que la corriente a través de un capacitor es cero, esto significa que el voltaje a través de él debe ser constante, no necesariamente cero.

El caso especial es cuando el voltaje de entrada es una onda sinusoidal. Para la onda sinusoidal, la tasa de cambio de voltaje ($\frac{dV}{dt}$) alcanza el máximo cuando la señal de voltaje cruza cero. Y la tasa de cambio de voltaje alcanza el mínimo cuando el voltaje está en un valor máximo.

Por eso la corriente alcanza$0A$porque en el punto máximo la tasa de cambio es$\frac{dV}{dt} = 0$y cuando una onda sinusoidal de entrada cruza 0, la tasa de cambio es máxima$\frac{dV}{dt} = A_{peak}2\pi f$.

por ejemplo para$A=1V$y$f = 50Hz;C=1\mu F$

La pendiente más alta de la señal es$\frac{dV}{dt} = A_{peak}2\pi f = 1V*6.28*50Hz = 314V/s$por lo tanto, los valores de corriente pico del capacitor son

$I = C*\frac{dV}{dt} = 1\mu F * 314 \frac{V}{s} = 0.314mA$

Y este diagrama intenta mostrar las fases de carga y descarga para un voltaje de entrada de onda sinusoidal.

Todo este análisis asume una situación de estado estable (el circuito está ENCENDIDO durante mucho tiempo).

el PD =$\xi(t)$es una definición por lo que siempre es cierto.

Se supone que el voltaje es una función sinusoidal del tiempo (y de estado estable), por lo que físicamente algo (como la salida de un generador de funciones) está obligando a que el voltaje a través del capacitor sea$\xi(t)$=$\xi_0 \sin(\omega t)$.

Derivan la corriente del capacitor como una función de ese voltaje aplicado.

Aquí es cómo va. su primera declaración "PD a través de las placas del capacitor = EMF aplicado" es correcta y su segunda declaración de que "significa que el capacitor está completamente cargado" también es correcta, pero su suposición de que "no fluirá corriente" no es correcta porque ve en CA, el voltaje aumenta y disminuye. la carga entrará en el condensador y saldrá de él, por lo que la corriente fluirá eventualmente. espero que ayude