Calcule el retraso de apagado de un LED en paralelo con un condensador

Estoy tratando de crear un retraso de apagado personalizado para un LED. Para esto tomo un Capacitor en paralelo a un LEDingrese la descripción de la imagen aquí

Mi idea hasta ahora era: ingrese la descripción de la imagen aquítengo la ecuación general para un condensador. y la Ecuación General de Descarga. Mi U0=5V. La corriente es "controlada" por el LED. Para el LED asumí la ecuación para una corriente de diodo. Ahora es la parte en la que asumo que hice algo mal. Debido a que la ecuación actual depende del voltaje, inserté la ecuación de descarga. Ahora pongo todo en la Ecuación General de Capacitores. Debido a que incluso WolframAlpha no pudo resolver esta Integral, supongo que lo arruiné antes. ¿Alguien puede ayudarme? Para este ejemplo -> asumo un Vf von 2V

//EDITAR: Ecuación agregada en Latexingrese la descripción de la imagen aquí

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Respuestas (1)

Tienes mal tu ecuación diferencial.

En tu ecuación (1) estableces tu C ( t ) = tu C ( ∞ ) − ( tu C ( ∞ ) − tu C ( 0 ) ) mi − t τ . Esta es la solución a una ecuación diferencial lineal de primer orden. Probablemente sea uno que encontraste para un circuito RC simple. Luego tratas de conectar esa ecuación a otra ecuación diferencial y te das cuenta de que lo estropeaste todo.

La relación correcta es

  • i d = − i C = − C d v C d t ,
  • i d = I s s ( mi v C norte V T − 1 )

Ahora puedes hacer una sustitución algebraica simple y obtener

C d v C d t = − I s s ( mi v C norte V T − 1 )
o
d v C d t = − I s s C ( mi v C norte V T − 1 )

Esto es un 1 s t Ecuación diferencial no lineal de orden. Si ha olvidado sus diff-eqs (o aún no los ha estudiado), no es fácil de resolver (es por eso que tenemos herramientas de simulación, después de todo).

Sin embargo, podemos perseverar. Es separable, haciendo algunas travesuras algebraicas:

− C I s s d v C mi v C norte V T − 1 = d t

Integrar ambos lados:

− C I s s ∫ d v C mi v C norte V T − 1 = ∫ d t

Ahora, veo que − 1 en el denominador, y sé dos cosas: va a haber problemas, y I s s es tan pequeño que mi v C norte V T ≫ 1 . Así que solo voy a aproximarlo:

− C I s s ∫ d v C mi v C norte V T = ∫ d t

Esto es fácil de resolver. integro ambos lados:

− C I s s ( − norte V T mi − v C norte V T ) = t + t C

Haz un poco de álgebra y toma el registro de ambos lados:

− v C norte V T = en ⁡ ( I s s norte V T C ( t + t C ) )

Y, finalmente, después de saltarme suficientes pasos como para no sacar el 100% en mi examen final:

v C = − norte V T en ⁡ ( I s s norte V T C ( t + t C ) )

Esto se mantendrá cierto hasta que v C cae lo suficientemente bajo como para mi v C norte V T ≫ 1 ya no se sostiene, pero eso pasará mucho tiempo después de que el LED ya no emita luz, y la ecuación del diodo no se sostiene de todos modos. Solo tienes que adivinar norte , encontrar I s s de la corriente del LED frente al voltaje, y t C del voltaje inicial. Y luego hazlo todo de nuevo cuando cambie la temperatura o cambies los LED.

Un diodo en paralelo con un capacitor es soluble. La solución es de la forma 1 t mucho más lento que exponencial.
@EdgarBrown si hace algunas aproximaciones obvias, sí. No es solucionable en su forma exacta, que yo sepa.
@EdgarBrown No 1 t , a menos que haya estropeado mis matemáticas. Es d X d t = − X que tiene la forma 1 t - al menos, ahora que me lo han recordado a la fuerza.
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