Significado del postulado de simetrización en ausencia de un modelo adecuado

Question

Significado del postulado de simetrización en ausencia de un modelo adecuado

gatsu

Mi pregunta es sobre el uso del concepto de partículas indistinguibles (en mecánica cuántica) en un contexto muy general y en particular en mecánica estadística. He dejado en claro algunas de mis opiniones sobre este tema en un artículo reciente , pero cuando pienso aún más en ello, parece que no puedo comprender cómo es que esta característica de indistinguibilidad se usa tan universalmente y cómo se justifica.

Soy consciente de las preguntas formuladas aquí y allá y de las respuestas que contienen, pero creo que no abordan exactamente mi pregunta.

Me sorprende el papel específico e intrínseco que parece desempeñar el operador de permutación (digamos $\hat{\Pi}_{12}$ para intercambiar partículas 1 y 2) en comparación con otros operadores de simetría.

En particular, en la mayoría de los casos que se me ocurren (rotación, traslación, inversión de tiempo, paridad, etc...), las simetrías del sistema están contenidas en el Lagrangiano o Hamiltoniano del sistema. En mecánica cuántica simple, por ejemplo, si un sistema tiene cierta simetría, entonces su hamiltoniano conmuta con la representación correspondiente de este grupo de simetría. Es entonces estándar que, cuando queremos tener una descripción completa del estado, busquemos un Conjunto Completo de Observables Conmutadores que inducirá una estructura particular al estado cuántico.

Para tomar el ejemplo de dos partículas consideradas en muchos casos, si el hamiltoniano conmuta con el operador de permutación, entonces es natural buscar una solución a la ecuación de Schrödinger que es un vector propio de $\hat{\Pi}_{12}$ con valor propio $+1$ o $-1$ .

Ahora, entiendo perfectamente que el razonamiento anterior no es suficiente para llegar al postulado de simetrización (como ha sido bien respondido en las otras preguntas citadas anteriormente), pero mi punto es que, mientras que la tendencia parece ir generalmente desde el hamiltoniano (que Yo equiparo conceptualmente a la modelización del problema) a las simetrías y la estructura del estado cuántico, me sorprende que en el caso de partículas "idénticas", el razonamiento fermión/bosón siempre precede al hamiltoniano (a excepción del Estándar Modelo de Física de Partículas). En otras palabras, se pasa por alto esencialmente (creo) que la aparente indistinguibilidad de un grupo de partículas podría ser inducida por el modelado (quizás simplificado o al menos efectivo) del problema.

Mi preocupación es más sobre partículas generales, como partículas compuestas como átomos, moléculas, etc., donde a veces (si no a menudo) se supone que son indistinguibles en el sentido de la mecánica cuántica, mientras que yo pensaría que casi nunca son realmente indistinguibles.

Si tomo un gas de moléculas por ejemplo, me pregunto seriamente qué significa considerarlas indistinguibles en el sentido cuántico, ya que pueden tener diferentes conformaciones o estados electrónicos a cualquier temperatura finita (los espectroscopistas lo saben muy bien).

Mi pregunta entonces es la siguiente:

Para un conjunto de sistemas compuestos conceptualmente idénticos (es decir, idénticos en su composición), ¿es suficiente proporcionar un hamiltoniano efectivo que conmuta con el operador de permutación para concluir que las partículas así descritas son indistinguibles en el sentido de la mecánica cuántica? Si no, ¿cuál es la razón para justificar el uso de estadísticas fermiónicas y bosónicas para sistemas compuestos?

EDITAR: intentaré ser un poco más específico

Consideremos por ahora un sistema de 2 partículas con el hamiltoniano efectivo

$\hat{H} \equiv \frac{\hat{P}_1^2}{2m} + \frac{\hat{P}_2^2}{2m} + V(\hat{X}_1) + V(\hat{X}_2)$

donde el campo externo $V$ actúa de la misma sobre las dos partículas en un lugar dado.

En lo que a mí respecta, este hamiltoniano conmuta con el operador $\hat{\Pi}_{12}$ que intercambia etiquetas $1 \leftrightarrow 2$ .

Imaginemos ahora que las partículas bajo estudio tienen otra característica observable $\hat{F}$ (color, tamaño, proyección de giro, etc...) para que $[\hat{H}, \hat{F}] = 0$ y que las dos partículas que estamos viendo posiblemente tengan un valor propio diferente para la característica $\hat{F}$ .

Denotemos ahora $\{|\phi_n \rangle \}_{n=1,2..}$ los estados propios del hamiltoniano individual para cada partícula y $\{|f_{\alpha} \rangle \}_{\alpha=1,2..}$ los vectores propios de la característica $\hat{F}$ .

¿Son estos ingredientes suficientes para exigir que el estado completo sea simétrico o antisimétrico? p.ej

$|\Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\phi_{n_1},f_{\alpha_1}; \phi_{n_2},f_{\alpha_2} \rangle \pm |\phi_{n_2},f_{\alpha_2}; \phi_{n_1},f_{\alpha_1} \rangle \right)$

Supongo que sí y la respuesta de Héctor parece indicar que también es el caso de dos partículas y que parece "natural" extender la propiedad simétrica o antisimétrica elegida al caso de N partículas (que eventualmente se probará contra experimentos ).

una mente curiosa

¿Qué significa "indistinguible en el sentido de la mecánica cuántica" sino "hamiltoniano que conmuta con el operador de permutación" ?

gatsu

Para mí significa " tengo que usar el postulado de simetrización/antisimetrización " que, según tengo entendido, no se deriva necesariamente de tener el operador de permutación conmutando con el hamiltoniano. Además, simplemente tener el operador de permutación conmutando con el hamiltoniano no es suficiente para hacer la distinción habitual (¿y controvertida?) entre partículas idénticas distinguibles y partículas idénticas indistinguibles.

una mente curiosa

¿Es consciente de que el "Postulado de (anti-) simetrización" (si se refiere a la suposición de que las partículas de espín entero son siempre bosones, etc.) es solo un postulado para la mecánica cuántica no relativista? El teorema de la estadística de espín de QFT demuestra que la naturaleza del espín y del bosón/fermión está relacionada.

gatsu

Eso no es lo que quiero decir. Existe una clara distinción habitual entre partículas idénticas distinguibles (para las que no necesitamos simetrizar o antisimetrizar los estados cuánticos) y partículas idénticas indistinguibles (para las que debemos simetrizar o antisimetrizar completamente los estados). En la mente de muchas personas, esta distinción aclara muchos misterios que rodean la paradoja de Gibbs en la mecánica estadística. Mi pregunta es cómo justificar (si es justificable) la simetrización total o la antisimetrización de los estados de, digamos, átomos de helio en un gas a cualquier temperatura finita.

Respuestas (1)

Significado del postulado de simetrización en ausencia de un modelo adecuado

¿Qué significa "indistinguible en el sentido de la mecánica cuántica" sino "hamiltoniano que conmuta con el operador de permutación" ?
Para mí significa " tengo que usar el postulado de simetrización/antisimetrización " que, según tengo entendido, no se deriva necesariamente de tener el operador de permutación conmutando con el hamiltoniano. Además, simplemente tener el operador de permutación conmutando con el hamiltoniano no es suficiente para hacer la distinción habitual (¿y controvertida?) entre partículas idénticas distinguibles y partículas idénticas indistinguibles.
¿Es consciente de que el "Postulado de (anti-) simetrización" (si se refiere a la suposición de que las partículas de espín entero son siempre bosones, etc.) es solo un postulado para la mecánica cuántica no relativista? El teorema de la estadística de espín de QFT demuestra que la naturaleza del espín y del bosón/fermión está relacionada.
Eso no es lo que quiero decir. Existe una clara distinción habitual entre partículas idénticas distinguibles (para las que no necesitamos simetrizar o antisimetrizar los estados cuánticos) y partículas idénticas indistinguibles (para las que debemos simetrizar o antisimetrizar completamente los estados). En la mente de muchas personas, esta distinción aclara muchos misterios que rodean la paradoja de Gibbs en la mecánica estadística. Mi pregunta es cómo justificar (si es justificable) la simetrización total o la antisimetrización de los estados de, digamos, átomos de helio en un gas a cualquier temperatura finita.

Héctor · Answer 1

Creo que su preocupación es por qué usar el "postulado de simetrización" fundamental y no solo la simetría hamiltoniana. La cosa es que no importa, supongamos que estoy tratando de describir dos partículas (fermiones por ejemplo) con el espacio de Hilbert $\mathfrak{H}_1$ y $\mathfrak{H}_2$ , el espacio de Hilbert de las dos partículas es

H = H_{1} \otimes H_{2}

$\mathfrak{H} = \mathfrak{H}_1\otimes\mathfrak{H}_2$ Ahora suponga que tiene un hamiltoniano en este espacio

H : H \to H

$H\,:\,\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ Y el operador de permutación

P

$P$ que actúa en

H

$\mathfrak{H}$ por

PAG (tu \otimes v) = v \otimes tu

$P(u\otimes v) = v\otimes u$ y si el operador de identidad

I d : H \to H

$Id\,:\,\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ actuar de

I d (tu \otimes v) = tu \otimes v

$Id(u\otimes v) = u\otimes v$ Puedes tomar un espacio de cociente de hilbert, usando el rango de

P + I d

$P+Id$ . Así que ahora tenemos

H / \sim

$\mathfrak{H}/\sim$ donde hemos identificado

tu \otimes v + v \otimes tu \sim 0 ⟹ tu \otimes v \sim - v \otimes tu

$u\otimes v + v\otimes u \sim 0 \implies u\otimes v \sim - v\otimes u$ Este es el espacio antisimétrico habitual en el que se trabaja con el "postulado de simetrización", la clase de equivalencia de

u \otimes v

$u\otimes v$ generalmente se escribe como

u \land v

$u \wedge v$ , para recordar el postulado de antisimetrización (y en una configuración de matriz establece un representante usando determinantes de pizarra, pero esto realmente es innecesario si uno sabe dónde está trabajando). En esta configuración, ahora está trabajando en otro espacio hilbert para modelar su sistema. Ahora, una pregunta válida es, cuando mi hamiltoniano

H : H \to H

$H\,:\,\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ se puede definir sin ambigüedad en el espacio cociente

H / \sim

$\mathfrak{H}/\sim$ ? es decir, si

π : H \to H / \sim

$\pi\,:\,\mathfrak{H}\to\mathfrak{H}/\sim$ es la proyección natural

π (u \otimes v) = u \land v

$\pi(u\otimes v) = u\wedge v$ , cuando

\tilde{H} = π \circ H

$\tilde{H} = \pi \circ H$ esta bien definido? la respuesta es solo cuando

H

$H$ conmuta con el operador de permutación

P

$P$ , es decir, sólo cuando

P

$P$ es una simetría del hamiltoniano original. Entonces obtienes exactamente los mismos resultados si usas el "postulado de simetrización" (trabajar en un espacio de Hilbert más pequeño) o si usas un hamiltoniano con simetría de permutación. Entonces, ¿por qué nos molestamos en usar este postulado de simetrización? ya que los únicos hamiltonianos "buenos" que se pueden traducir a este escenario son los que conmutan con

P

$P$ , lo que en realidad estoy diciendo en términos físicos es "Cada hamiltoniano físico para un par de electrones se conmuta con el operador de permutación". Entonces, esta simetría es una propiedad fundamental de las partículas, no una consecuencia de la dinámica, así que traduzco esta propiedad al espacio de Hilbert en sí, no al hamiltoniano. Pero formalmente son equivalentes, el postulado de simetrización es una especie de "afirmación sobre la naturaleza fundamental de las cosas", no sobre una dinámica particular.

Gracias por la buena respuesta. Sin embargo, mi pregunta era más que el uso del postulado de simetrización (si está justificado por la simetría del hamiltoniano) está destinado a ser preciso hasta el grado de precisión del modelo en sí. Si considero un gas de átomos, por ejemplo, el concepto de átomo en sí es bastante vago (estado unido de electrones con un núcleo), ¿puedo realmente aplicar el postulado de simetrización de manera absoluta para este sistema? Tenga en cuenta que mi mayor preocupación es sobre el carácter absoluto que parece estar implícito cuando se habla directamente en términos de fermiones/bosones.
@gatsu Tal vez no fue tan claro en mi respuesta. Pero lo que demuestro es que hay una equivalencia de "postulado de simetrización" y "simetría bajo permutaciones del hamiltoniano". En el gas helio, si lo modela con un hamiltoniano cuántico con simetría de permutación (no es la única opción porque, como dice, la permutación no es una simetría fundamental en este caso), entonces puede usar el postulado de simetrización para obtener los mismos resultados. Uno usualmente, de manera fundamental, usa el "postulado de simetrización" $\implies$ "simetría bajo permutaciones del hamiltoniano", aquí usamos el reverso.
Al volver a leer con más atención su mensaje, tengo un problema con la afirmación de que el postulado de simetrización es una especie de "afirmación sobre la naturaleza fundamental de las cosas", no sobre alguna dinámica en particular . Entonces, mi pregunta es, en efecto, ¿cómo decidimos a priori cuál debería ser la naturaleza fundamental de las cosas en ausencia de un modelo adecuado (un, posiblemente efectivo, Lagrangiano o Hamiltoniano)?
nosotros no, la gente asume que algo es "fundamental" cuando cada experimento físico que podemos hacer respeta esta simetría. No sabemos si algún día, alguien vendrá con un experimento que pueda distinguir electrones, pero mientras tanto, asumimos que esta simetría es fundamental. Todo lo que digo con el "postulado de simetrización" es "todos los experimentos físicos que hemos hecho tienen esta simetría, no se molesten en mirar las cosas sin ella".
Ok, entonces pareces decir que siempre que el hamiltoniano tenga simetría de permutación, entonces está bien usar el postulado de simetrización y estoy esencialmente bien con esta explicación. Sin embargo, algunas personas han argumentado aquí que la simetría de permutación no fue suficiente para deducir y usar el postulado de simetrización ya que los estados más generales que satisfacen la simetría de permutación tienen paraestadísticas en lugar de las estadísticas habituales de bose o fermi.
Sé lo que quieres decir, puedes mezclar antisimetría y simetría, y en la naturaleza uno no tiene eso (solo estados completamente simétricos y completamente antisimétricos). Pero esto corresponde a tomar diferentes cocientes, uno con el rango de $Id + P_1$ y otro con $Id - P_2$ y mezclarlos. En este caso tienes las paraestadísticas, pero no las consideramos fundamentales porque hay experimentos que las distinguen. Sin embargo, si su hamiltoniano tiene esta extraña simetría, puede ponerla en su "postulado de simetrización parcial" particular (y hecho a mano) y obtener los mismos resultados (use el cociente).
la única diferencia aquí en paraestadística y simetría completa de cosas antisimétricas, es el experimento. El primero se puede distinguir, el último no. Así que no escuchamos sobre algún extraño "postulado de antisimetrización paraestadística", pero podemos hacer uno si tenemos un hamiltoniano con esa simetría particular.

Significado del postulado de simetrización en ausencia de un modelo adecuado

gatsu

una mente curiosa

gatsu

una mente curiosa

gatsu

Respuestas (1)

Héctor

gatsu

Héctor

gatsu

Héctor

gatsu

Héctor

Héctor

Factor de mejora de Bose

¿Por qué un gas cuántico pierde su "naturaleza cuántica" en el límite (ϵ−μ)/kBT≫1(ϵ−μ)/kBT≫1(\epsilon-\mu)/k_BT\gg1?

¿Hacer distinguibles partículas indistinguibles?

Indistinguibilidad en mecánica estadística

¿Por qué es necesario el principio de exclusión de Pauli?

"distinguibilidad" de partículas idénticas 1D

¿Es (anti)simétrica una superposición de estados (anti)simétricos?

Fermiones y principio de exclusión de Pauli

Diferencia en la función de partición del gas ideal clásico y cuántico

Interpretación probabilística matemática de la amplitud de probabilidad