Si la velocidad de la luz es constante, ¿por qué no puede escapar de un agujero negro?

La velocidad$c$que es constante lo es cuando se mide localmente en relación con un marco de caída libre ( es decir , uno para el cual todos los puntos siguen geodésicas espaciales respecto a la métrica$g$). Local significa que la extensión del marco debe ser lo suficientemente "pequeña" para que pueda considerarse plana : piense en esto como si se acercara a la variedad de espacio-tiempo, que es un objeto uniforme, con suficiente aumento para que no pueda ver ninguna desviación apreciable. del espacio-tiempo de Minkowski (que es el espacio-tiempo análogo al espacio euclidiano plano, que probablemente hayas encontrado). Por el contrario, la velocidad de la luz medida por un observador distante puede variar en un espacio-tiempo generalmente curvo.

La redacción de su pregunta sugiere que se imagina sentado en algún punto dentro del horizonte, y dado que la salida de su puntero láser debe arrojar un chorro en la constante$c$, y el horizonte está solo a una distancia finita por encima de ti, debe alcanzar el horizonte y marcharse.

Pero la geometría no es como esta imagen del pensamiento cotidiano. El punto sobre un horizonte de eventos es que no está en el futuro de ningún evento dentro del horizonte. La distorsión del espacio-tiempo por la planitud es tan severa que ni siquiera la rama futura de las geodésicas similares a la luz la cruzará. Solo puedes alcanzar el horizonte desde un evento dentro de él viajando hacia atrás en el tiempo .

Algunas preguntas y respuestas de los comentarios

El usuario PeterA.Schneider pregunta:

"la velocidad de la luz medida por un observador distante puede variar en un espacio-tiempo generalmente curvo": es la primera vez que escucho eso. ¿Estás seguro? (Teniendo en cuenta que esencialmente todo el espacio-tiempo es curvo).

a cuya pregunta responde con elocuencia el usuario Jan Dvorak:

no te preocupes, recuperará la velocidad de c una vez que se acerque lo suficiente a ti, si es que lo hace. Sin embargo, su longitud de onda cuando se encuentra con usted puede diferir drásticamente de su longitud de onda cuando dejó su fuente.

y me gustaría explicar la respuesta de Jan un poco más detalladamente. Infiere la velocidad de algo comparando los cambios en sus coordenadas espaciales y temporales para ese objeto. Comencemos en la relatividad especial, donde al principio ambos observadores trazan el Universo por coordenadas de Minkowski. El hecho de que su reloj y reglas midan los mismos intervalos de manera diferente a como lo hace el distante no lleva a ninguna sorpresa (al menos para alguien que haya estudiado a fondo SR) porque hay una transformación única y bien definida que mapeará su co -coordenadas de eventos a las coordenadas del observador distante, y viceversa. Esa transformación es la transformación de Lorentz (propia, ortocrónica), que tiene la propiedad de que$c$se mide como el mismo desde el punto de vista de ambos observadores.

En general, el espacio-tiempo curvo es imposible definir una única transformación entre dos marcos locales que nos permita comparar directamente las velocidades medidas de las cosas de esta manera. Veamos por qué esto es así.

Volvamos a imaginar nuestro escenario anterior: todavía estamos en el espacio-tiempo de Minkowski con la misma física y haciendo SR, pero con nuevas coordenadas. En cada punto de ese espacio-tiempo, rotamos y aumentamos un poco los marcos de "referencia" para que los puntos cercanos tengan direcciones de referencia e intervalos de tiempo ligeramente diferentes. Esto es totalmente análogo a trazar el espacio tridimensional euclidiano mediante, por ejemplo, coordenadas esféricas. Localmente, las direcciones de referencia (de creciente$r$,$\theta$y$\phi$) están rotados desde los cartesianos, y esa rotación varía suavemente con la posición. Ahora hay una gran infinidad de formas de hacer una transformación de calibre de este tipo : podemos elegir direcciones e intervalos de tiempo de unidad de la forma que queramos siempre que la variación sea suave y que las transformaciones limitantes a medida que la distancia entre los puntos se reduzca sea una transformación de Lorentz .

Así que ahora, en estas nuevas coordenadas, ¿cómo comparamos las velocidades medidas si solo nos dieran estas coordenadas? Bueno, podríamos simplemente movernos a través del espacio y el tiempo a lo largo de un camino suave elegido, haciendo las pequeñas transformaciones de Lorentz entre los marcos de referencia vecinos y multiplicándolos todos juntos para obtener una transformación general para este camino. Pero podríamos elegir una infinidad de caminos suaves para hacer esto. Entonces, si solo nos dan estas coordenadas, no es inmediatamente obvio que no obtendríamos una respuesta diferente de este procedimiento si tomamos un camino suave diferente entre los dos puntos.

Pero lo hacemos, porque eso es lo que significa plano , por definición .

Siempre podemos hacer una transformación de nuestras extrañas coordenadas de regreso al espacio-tiempo de Minkowski si y solo si el resultado de nuestro cálculo no depende de la ruta. El resultado del llamado transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle es siempre la transformación de identidad. Un corolario de este hecho es que existe una transformación bien definida entre los dos observadores que nos permite comparar las velocidades medidas: no importa si la calculamos a lo largo del camino A o del camino B entre dos puntos: la respuesta debe ser la misma ya que el inverso de una transformación debe invertir la otra para lograr la transformación de identidad alrededor del ciclo. Por lo tanto, en teoría, aún podemos calcular lo que el otro observador observaría localmente desde lejos en nuestras extrañas coordenadas.

Si ha superado esta explicación hasta aquí, entonces la Relatividad General ahora está a solo un pequeño paso conceptual. En el espacio-tiempo curvo , la transformación realizada en los vectores por el transporte paralelo alrededor de un bucle, en general, no es la transformación de identidad. Por lo tanto, no existe una forma bien definida de comparar velocidades desde lejos, al menos desde el propio marco de coordenadas.

Eso es lo que significa "curvo", por definición: "holonomía" no trivial en transporte paralelo alrededor de caminos cerrados

Y esto es lo que la gente quiere decir cuando dice que "la velocidad coordinada de la luz puede ser cualquier cosa en GR". Pero si un observador distante mide la velocidad de la luz continuamente, repetidamente y a intervalos de tiempo regulares, como la mide su reloj en un laboratorio que lleva consigo, y luego le envía el resultado, todos sus informes para usted serán que su medición no ha sido correcta. no ha cambiado, a pesar de que el intervalo entre los informes que se establecen regularmente por su reloj puede llegar a nosotros en intervalos muy variables por nuestro reloj.

Otra analogía que podría ayudarte es la$2$-esfera, lo que llamamos una "pelota" en el lenguaje cotidiano, en comparación con el plano. En el plano, los planos tangentes al plano son en todas partes el mismo espacio vectorial: hay una forma inequívoca de transporte paraleloel plano tangente en cualquier punto al de cualquier otro punto. En la pelota, no es así. Los planos tangentes en diferentes puntos no son el mismo plano. Son isomorfos como espacios vectoriales, pero no son lo mismo. En particular, no existe una forma universal bien definida de compararlos, o de asignar bases de referencia en todos los puntos en cualquier parche de extensión finita, porque, en la esfera, el transporte paralelo de vectores alrededor de bucles siempre conduce a un cambio en el vector. cuando llega de nuevo al punto de partida. De hecho, una esfera tiene una curvatura constante, lo que significa que la rotación del vector provocada por el transporte paralelo del lazo es proporcional al área encerrada por el lazo.

Supón que estás flotando en un río y tienes contigo un modelo de barco, llamado SS Lightray , que puede hacer 3 m/seg a través del agua. Cuando configura el barco que viaja río arriba en lo que a usted respecta, lo hace a 3 m/seg. Pero estoy parado en la orilla mirando el río que fluye a 1 m/s, así que cuando miro tu bote lo veo viajando a una velocidad neta de 2 m/s, no de 3 m/s.

Ahora el río se estrecha y acelera hasta 4 m/seg. En lo que a usted respecta, está sentado inmóvil en el agua y cuando envía el bote río arriba nuevamente, todavía viaja a 3 m/seg. Sin embargo, desde la orilla del río veo que el barco ahora viaja río abajo, es decir, su velocidad río arriba es -1 m/seg. El bote no puede viajar lo suficientemente rápido para avanzar contra la corriente del río.

Sorprendentemente, un argumento muy parecido a este se aplica al movimiento de la luz alejándose de un agujero negro. Se llama River Model, y aquí hay un enlace a un artículo científico que brinda los detalles . Más formalmente, esta técnica es un análisis del movimiento de la luz utilizando las coordenadas Gullstrand-Painlevé . Usé esta técnica para explicar por qué la luz no puede escapar de un agujero negro en mi respuesta a ¿Por qué un agujero negro es negro? .

La velocidad local de la luz es siempre$c$, pero si usa las coordenadas de Gullstrand-Painlevé para analizar lo que sucede en el horizonte de eventos, encontrará que:

1. en el horizonte estás cayendo hacia adentro a la velocidad de la luz

2. En relación con usted, la luz viaja hacia afuera a la velocidad de la luz.

3. entonces la velocidad neta de la luz alejándose del horizonte de eventos es cero

Y es por eso que la luz no puede escapar del agujero negro.

Para explicarlo en términos sencillos, sin usar conceptos avanzados:

El espacio está tan deformado en el "interior" del agujero negro (es decir, bajo el horizonte de sucesos) que se comporta de manera completamente diferente a lo que percibimos escuchar en la Tierra. La "dirección hacia afuera" simplemente no existe.

Por ejemplo, aquí en la Tierra, podemos ir en las tres dimensiones espaciales en ambas direcciones, pero en el tiempo solo podemos avanzar. Imagine que en la "superficie" del agujero negro, también conocido como el horizonte de eventos, las dimensiones espaciales tienen una sola dirección: hacia adentro. Este último párrafo no pretende ser una descripción precisa de cómo funcionan los agujeros negros. Es solo para conceptualizar cómo hay casos en los que solo existe una dirección de una coordenada.

La explicación que me gusta es así:

En GR, todas las cosas, desde los planetas hasta los fotones, viajan en línea recta a través del espacio curvo doblado por la masa. Los agujeros negros doblan y distorsionan el espacio-tiempo tan severamente que la curvatura captura el fotón.

Reduzca las cosas y se comporta de la misma manera que los asteroides que pasan pueden ser capturados por una estrella. Para nosotros, la velocidad del asteroide (fotón) solo es relevante hasta el punto en que cruza el umbral de captura, el punto de no retorno y se inclina hacia el pozo de gravedad de la estrella (agujero negro). El asteroide (fotón) nunca escapará, las "paredes" del pozo son demasiado altas. ¿Importa si soy yo o el mejor saltador de altura del mundo el que está atrapado en el fondo de un pozo, si las paredes tienen 50 pies de altura? Ninguno de los dos tiene ninguna posibilidad de escapar, el hecho de que uno de nosotros pueda saltar lo más alto que una persona pueda saltar es irrelevante.

El hecho de que la luz vaya más rápido que cualquier cosa puede ir es una pista falsa similar. Lo que importa es que se ha metido en una situación de la que no hay escapatoria. La velocidad de la luz no es una tarjeta para salir de la cárcel más que los saltadores de altura.

La imagen que siempre me gustó es la de un observador en caída libre en el agujero negro, cuando están justo fuera del horizonte de eventos, parece que el horizonte de eventos se propaga hacia afuera a casi la velocidad de la luz. Después de que el observador cae justo dentro, el horizonte de eventos ahora parece que se está propagando hacia afuera a una velocidad mayor que la de la luz.

La respuesta es que no tiene nada que ver con la luz, c, agujeros negros, horizontes de eventos o relatividad. Es simplemente velocidad de escape. Sabemos que dos cuerpos se atraen con una fuerza$f = G\frac{M m}{d^2}$y sabemos que algo está en una órbita estable cuando su energía potencial$PE = -GMm/d$coincide con su energía cinética$KE = m{v^2}/2$. Resuelve estos dos para la velocidad y obtendrás que la velocidad necesaria para una órbita es${V_o} = \sqrt{\frac{2GM}{r_o}}$. Entonces cualquier velocidad mayor que$V_o$hará que abandone la órbita y se aleje. La atracción de la gravedad lo ralentizará pero nunca lo detendrá, por lo que, en efecto, se ha 'escapado', razón por la cual a veces se le llama$V_{esc}$. Sin embargo, cualquier velocidad inferior a$V_o$significa que volverá eventualmente.

como la distancia$d$se hace más pequeña o la masa$M$se hace más grande, el valor$V_o$aumenta Para que un cuerpo partiendo de la superficie de la tierra, salga (y permanezca fuera) de la superficie,$V_o$es de unos 11 kilómetros por segundo. En la superficie de nuestro sol es de unos 620 km/s. Si toda la masa de nuestro sol se comprimiera a la mitad de su tamaño actual,$V_o$se duplicaría. Si siguió comprimiendo el sol hasta que su radio fue de unos 3 km, entonces$V_{esc}$alcanzaría y superaría la velocidad de la luz (conocido como el radio de Schwarzschild ). Si estuviera en la superficie de un cuerpo de este tipo y dirigiera una luz a su amigo que estaba fuera de este límite, vería que el rayo se aleja de usted a la velocidad de la luz hacia ellos, pero la luz no viaja lo suficientemente rápido como para escapar de la gravedad. nunca podría llegar a tu amigo. Entonces ¿como puede ser esto? Como usted señaló,$c$es constante para todos los observadores y la velocidad es solo la distancia en el tiempo y no hay nada que puedas hacer para cambiar la distancia. Eso solo deja tiempo. Para poder$c$para permanecer constante en su marco de referencia, su tiempo tendría que ralentizarse hasta el punto en que efectivamente se detenga. Sin tiempo, no puede haber distancia, y sin distancia, no puede haber dimensiones y por eso lo llamamos singularidad.

Esta explicación utiliza la física clásica. La ley para un agujero negro, que no permite que nada escape, ni siquiera la luz, se puede derivar usando solo la mecánica de Newton. La velocidad de escape de cualquier cuerpo masivo viene dada por https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity; ve^2=2GM/R; Es independiente de la masa del proyectil y, por lo tanto, puede aplicarse a cosas sin masa como la radiación. Esto da R=2GM/c^2 para la luz que se mueve en c, que es el radio de Schwarzchild de un agujero negro. Así es como los físicos predijeron la presencia de agujeros negros mucho antes de GR. Se podría decir que la ecuación de Newton es empírica y, por lo tanto, no se puede depender de ella. Esto fue cierto hasta que Bertrand demostró que el cuadrado inverso es, de hecho, una consecuencia de la conservación del momento, que es lo suficientemente precisa y una ley de primer principio, como podría estar de acuerdo.https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem Entonces, la luz se mueve a una velocidad constante en el vacío, pero cerca de cuerpos masivos, el índice de refracción (como se puede derivar del argumento de la velocidad de escape) cambia con la distancia desde el centro de una masa cercana. Si la luz se mueve normal a la dirección radial, cambia de dirección como si se doblara alrededor del sol. Si se mueve a lo largo del radio de una esfera masiva, pierde/gana energía como cualquier objeto y esto se muestra en la reducción de su frecuencia que resulta en el fenómeno de desplazamiento Doppler aplicado a la gravedad; consulte https://en.wikipedia.org /wiki/Variable_velocidad_de_la_luz

La respuesta corta es que la velocidad de la luz es constante hasta que no lo es. Es constante hasta que se topa con una pared y es constante hasta que se ve afectada por la gravedad. La gravedad extrema de un agujero negro desviará la trayectoria de los fotones cada vez más hasta que, finalmente, en el horizonte de sucesos toda la desviación sea hacia el agujero negro.

¿No es el dicho "La velocidad de la luz es constante 'en el vacío' "?

La parte 'en un vacío' comúnmente se pasa por alto (de la misma manera, "' El amor al ' dinero es la raíz de todos los males", a menudo se cita incorrectamente).

Si un agujero negro no es un vacío (porque en algún momento, las partículas están lo suficientemente juntas como para dejar de ser un vacío), entonces la velocidad de la luz se ralentiza. Por ejemplo, la velocidad de la luz a través del aire es unos 90 km/s más lenta que en el vacío (no mucho, pero ahí está).