¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?

Para los casos que ha mencionado (estados propios de onda plana del momento y estados propios de Dirac-delta de la posición), una de las varianzas de posición/momento es cero y la otra es infinita, por lo que la desigualdad de Heisenberg se lee formalmente

$$\Delta p \, \Delta x = 0\times\infty \geq \frac h{4\pi}.$$ (Como nota obvia: ignorar aleatoriamente los infinitos de sus cálculos, solo porque no sabe qué hacer con ellos, es obviamente una receta para los problemas).

Esto debe atenuarse con el hecho de que estos no son estados físicos (es imposible tener una verdadera onda plana, que ocupa todo el espacio, y es imposible localizar una partícula con precisión infinita), y no caen en la clase de funciones de onda (es decir, el espacio de Hilbert) donde la desigualdad de Heisenberg es un teorema. Para estos estados, la desigualdad debe entenderse como un límite:

$$\Delta p \geq \frac1{\Delta x}\frac{h}{4\pi} \to \infty \quad \text{as}\quad \Delta x\to 0.$$

Varianza cero significa que el sistema está en el estado propio de los operadores correspondientes. Por ejemplo, si medimos un estado propio con un impulso particular,

$$\psi_p(x) = e^{i\frac{px}{\hbar}},$$ La densidad de probabilidad es constante en el espacio. $$|\psi_p(x)|^2 = const,$$ lo que significa que la posición de la partícula es completamente indefinida. (La ambigüedad matemática aquí generalmente se resuelve tomando condiciones de contorno periódicas en una región$[-L/2, L/2]$, de modo que$\psi_p(x) = e^{i\frac{px}{\hbar}}/\sqrt{L},$y$|\psi_p(x)|^2 = 1/L$, es decir, uniforme en todas partes de la región.)

Desde el punto de vista de la relación de incertidumbre posición-cantidad de movimiento tenemos

$$\Delta x \geq \frac{\hbar}{2\Delta p}\rightarrow +\infty \text{ as }{\Delta p \rightarrow 0}.$$

La derivación de la desigualdad se cumple bajo dos condiciones: los operadores son autoadjuntos Y los estados sobre los que actúan son normalizables.

Las ondas planas no son normalizables. Para una situación en la que los operadores no son autoadjuntos, consulte esta pregunta .

Por lo demás, la desigualdad es hermética y funciona todo el tiempo, incluso para$0$-diferencia. De hecho, en el ejemplo específico del momento angular se puede usar$\Delta L_x\Delta L_y\ge \frac{1}{2}\vert \langle L_z\rangle\vert$y permutaciones cíclicas para mostrar que los estados propios de$L_x$necesariamente tener$0$valor promedio de$L_y$o$L_z$.