Renormalización de carga y propagador de fotones

Estoy tratando de entender la renormalización de carga en QED. Sé que uno puede escribir el propagador de fotones completo como

− i η m v q 2 ( 1 − Π ( q 2 ) )

dónde Π es habitual en 0 . Obviamente, esto conduce a un acoplamiento en marcha.

Sin embargo, no veo por qué también tenemos que volver a normalizar

mi ↦ Z mi

dónde Z es el residuo del polo propagador en 0 . Peskin y Schroeder dicen que esta renomalización es válida para q 2 dispersión, ¡pero eso me confunde aún más!

Hasta donde yo lo entiendo Z la renormalización es un resultado directo de la fórmula LSZ, que dice que los procesos de dispersión con norte las patas externas tienen que ser escaladas por ( Z ) norte . Pero la renormalización aquí está en un propagador de fotones interno , por lo que parece no estar relacionado con LSZ.

¿Que me estoy perdiendo aqui?

Respuestas (1)

Hay una identidad de Ward que vincula la renormalización de la carga con la renormalización de la función de onda del fotón. Las identidades de barrio son relaciones entre funciones de correlación que se derivan de la teoría cuántica que tiene una simetría. En este caso, la invariancia de calibre de QED relaciona (entre otras cosas) la función de dos puntos del electrón (propagador) con la mi A mi ¯ vértice de tres puntos.

Si escribimos el lagrangiano incluyendo escalas arbitrarias para A y ψ y también puse en una constante Z mi dejar que la escala de carga

L = − 1 4 Z 1 F m v F m v + i Z 2 ψ ¯ γ m ∂ m ψ + Z 1 Z 2 Z mi mi ψ ¯ γ m A m ψ

Z 1 , Z 2 y Z mi están todas fijadas por renormalización para cancelar las partes divergentes de las integrales de bucle.

La identidad del barrio dice que Z 2 = Z 1 Z 2 Z mi , o en otras palabras

Z mi = 1 Z 1

Desde Z 1 como he definido conduce a un residuo 1 / Z 1 en el propagador de fotones, esto es equivalente a la ecuación que escribiste arriba. (por cierto, este factor de 1 / Z 1 aparecerá en todos los propagadores de fotones, no solo en los de caparazón).

Tenga en cuenta que, como consecuencia de la identidad del barrio, puedo reescribir los dos últimos términos en el lagrangiano como

i Z 2 ψ ¯ γ m ∂ m ψ + Z 1 Z 2 Z mi mi ψ ¯ γ m A m ψ = Z 2 i ψ ¯ γ m ( ∂ m − i mi A m ) ψ

El lado derecho es la derivada covariante de calibre.

Así que cuando te ajustas Z 1 para fijar la norma del propagador del fotón en 1 (para que coincida con la fórmula LSZ, etc.), también debe ajustar la carga eléctrica en una cantidad adecuada. Alternativamente, podrías ir y calcular el mi A mi ¯ función de tres puntos (utilizando un regulador que conserva la invariancia del calibre, como dim reg) y descubrirá que tiene que volver a normalizarla en esta cantidad (que equivale a una de la identidad de la sala en 1 bucle).

Comentario extra: La constante Z 1 que aparece en el lagrangiano es una 'renormalización de la función de onda', es solo una nueva escala del campo A por A → Z 1 A . ¿Cómo sabemos cuál es el valor correcto para Z 1 ¿es? Es una convención, y la convención está fijada por la fórmula LSZ. La fórmula LSZ le dice cómo calcular los observables y se basa en una convención en la que el propagador de fotones tiene el residuo 1. Entonces, si no hubiera correcciones cuánticas, estableceríamos Z 1 = 1 . Los bucles corrigen la acción, por lo que tenemos que elegir un valor de Z 1 para cancelar las contribuciones del bucle. El total Z , Z = Z 1 + Z yo o o pag s , terminará siendo igual a 1, pero elegimos Z 1 para cancelar las contribuciones del bucle. Sin embargo, estamos usando Z 1 en nuestra definición de la teoría del fotón libre alrededor de la cual estamos perturbando, por lo que tenemos que usar Z 1 consistentemente cada vez que usamos un propagador de fotones. (En realidad, hay muchas convenciones sobre exactamente dónde colocas las cosas, esta es solo una forma de pensarlo). Sin embargo, preocuparte por poner factores de Z 1 en los propagadores de fotones (o elegir una convención en la que coloque esos factores en otro lugar) solo comienza a importar si hace bucles más altos, porque Z 1 − 1 ya está O ( ℏ ) . A su nivel, el punto principal a tener en cuenta es lo que está pasando conceptualmente: el Z 1 en la acción establece el tamaño de TODOS los propagadores de fotones (porque es realmente la normalización general del campo de fotones). Usamos la fórmula LSZ para corregir la normalización, pero eso corrige la normalización para todos los propagadores, no solo los externos.

gracias por tu respuesta. Entonces Peskin y Schroeder están equivocados cuando dicen que la renormalización es válida para bajas q 2 ¿solo? Además, ¿por qué te ajustas? Z 1 para fijar la norma del propagador de fotones a 1 ? No veo cómo se relaciona esto con la fórmula LSZ, que se trata de patas externas en el caparazón, no de propagadores internos. ¿Hay algún buen recurso al que pueda señalarme sobre esto?
Me gusta Srednicki como texto. Si no lo tiene, puede ver las notas de su conferencia aquí: chaosbook.org/FieldTheory/extras . Peskin y Schroder no se equivocan. Siempre fijas las constantes de renormalización en una escala, y luego eso es todo lo que puedes arreglar, todo lo demás en cada otra escala está determinado. Fijando la carga del electrón renormalizando en q 2 = 0 es una opción conveniente experimentalmente. Aparte, tenga en cuenta que si hubiera un derivado ∂ A ψ ¯ ψ entonces un diagrama con ese vértice se desvanecería en q 2 = 0 . Así que esa elección no siempre funcionará.
Ah, está bien, así que solo usan un q 2 = 0 prescripción por conveniencia entonces. Leí mal su significado y pensé que querían decir que solo era válido en esa escala.
Ah, y ¿hay una explicación rápida de por qué eliges Z 1 hacer que la norma del propagador de fotones sea igual a 1 ? ¿Es algo motivado matemáticamente (como LSZ) o simplemente una conveniencia física? Muchas gracias por su ayuda. ¡Ciertamente aceptaré su respuesta ahora!
Agregué un comentario sobre Z 1 a la respuesta, a ver si te gusta. En cuanto a q 2 Problema: Usted fija el valor del cargo evaluando el mi A mi ¯ vértice en q 2 = 0 . Ahora todo es finito. Pero ahora si cambias los valores de q 2 , encontrará que la carga depende de q^2 (grupo de renormalización). Pero todos esos son efectos finitos: resta los infinitos en una escala de energía e ingresa su valor observado físicamente para la carga en esa escala. Luego, la teoría predice lo que obtienes en otras escalas de energía.
Ah, está bien, así que hasta la ejecución del grupo de renormalización, puede volver a normalizar a cualquier escala. Eso tiene sentido. ¿Tengo razón al pensar que la elección de Z 1 es solo una consecuencia de la representación de Kallen-Lehmann en este caso?
Diría que, en última instancia, el valor de Z 1 es una convención. podría elegir Z 1 = 2 si quiero, cambiará muchas fórmulas de manera molesta, como la representación de Kallen-Lehman, la fórmula LSZ y otras. Porque Z 1 aparece literalmente en todas las fórmulas, elige cualquiera de ellas, establece una convención para ella y eso fija su valor en todas partes. La fórmula LSZ es el lugar donde puede fijar el valor de Z 1 , y esa es la forma en que normalmente se hace. Esa es una buena elección física ya que está discutiendo el propagador de fotones reales, no virtuales.
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