¿Qué multiplicidad es el espacio-tiempo?

Tu intuición de que

las ecuaciones de Einstein son ecuaciones para el tensor métrico, no para la variedad

está mayormente en el camino correcto, pero los detalles están equivocados. Esa parte central de la intuición se expresa mejor, creo, diciendo que las ecuaciones de Einstein son ecuaciones locales para la geometría de la variedad. Es decir, te dicen que, cualquiera que sea la variedad que sea tu espacio-tiempo, su geometría debe obedecer esa restricción específica en cada evento específico en la variedad.

Por supuesto, estas restricciones locales son muy poderosas y restringen severamente lo que la variedad puede hacer; esto es particularmente cierto una vez que especifica cómo se ve un parche de espacio-tiempo y comienza a continuar la geometría desde allí en adelante.

Sin embargo, como restricciones locales no llegan a tener un efecto determinante en la topología; las ecuaciones de campo de Einstein son compatibles tanto con variedades tan blandas como$\mathbb R^4$o más interesantes que pueden estar conectados de forma múltiple y así sucesivamente. El ejemplo más simple es probablemente la tricotomía abierta/plana/cerrada de la topología del espacio-tiempo : si se supone que el universo es homogéneo e isotrópico, se obtiene una dinámica local bastante restringida para la geometría, con tres posibles tipos de curvatura (negativa, cero, o positivo) que tienen efectos directos sobre la topología del espacio-tiempo.

El objetivo de GR, entonces, es encontrar espaciotiempos cuya geometría obedezca localmente las ecuaciones de campo y cuyas otras propiedades, incluida la topología global pero también el tipo y distribución de la materia, etc., sean consistentes con nuestras expectativas para los sistemas físicos. (Ya lo hacemos, por ejemplo, cuando descartamos espaciotiempos con materia exótica ).

En general, sin embargo, las ecuaciones de campo de Einstein son locales y eso hace perfectamente posible hablar de una métrica incluso cuando todavía tenemos que determinar la forma del dominio de la métrica: simplemente miramos la métrica un parche de coordenadas a la vez, y allí el dominio está perfectamente bien definido. Sin embargo, una vez que tengamos los parches, debemos unirlos para formar la variedad completa y verificar que se unan para formar una entidad coherente, y no hay nada en los libros que diga que esto no será tan desafiante como las soluciones locales originales.

la historia general

Aquí hay un intento de formalizar cómo los físicos construyen variedades de espacio-tiempo.

Dejar$N$ser uno de

• $\mathbb R^n$
• alguna dimensión$n$variedad de productos de$S^1$y$\mathbb R$(correspondientes a soluciones periódicas).

elige uno de esos$N$. Ahora

1. Tome el tensor de estrés$T$definido en algún subconjunto abierto$U \subset N$y algunas condiciones de contorno (p. ej. caída en la vecindad del límite de$U$). Considere las ecuaciones de Einstein sobre$U$.

2. Dejar$V$denote el dominio máximo en el que una solución suave$g$existe Llamar$V$la variedad del "espacio-tiempo".

En resumen, debe pensar en las ecuaciones de Einstein como una relación entre campos tensoriales en un subconjunto abierto de una variedad simple (nuestra$U$arriba):

• $U$está bien definida como una variedad suave en la que se pueden considerar campos tensoriales suaves.
• "Tiempo espacial"$V \subset U$es una subvariedad que puede equiparse con una estructura de Riemann dada por las ecuaciones de Einstein.

En particular topología de$V$es irrelevante para definir las ecuaciones de Einstein.

Solo para vencer esto hasta la muerte, aquí hay otra forma de decirlo

• La ecuación de Einstein es una ecuación entre campos tensoriales suaves. No necesita una estructura de Riemann en su variedad para que las ecuaciones de Einstein estén bien definidas. Todo lo que necesitas es una estructura suave.
• Observe que una vez que resuelve las ecuaciones de Einstein, es libre de hacer geometría riemanniana en$V$, en el que tiene una estructura riemanniana bien definida.

Ejemplos

Relatividad especial

Usted mencionó el caso de la relatividad especial. Podría ser instructivo ver cómo funciona esta construcción en eso. Llevar

• $N \equiv \mathbb R^n$
• $U = \mathbb R^n$
• Dejar$T \equiv 0 \in \otimes^2T^*M$Sea el campo tensorial cero.

Las ecuaciones de Einstein producen$\eta$, que está bien definido en todos$\mathbb R$. Entonces en este caso tenemos$V = U =N$. dotamos$V$con una estructura de Riemann, y hacer geometría en$(V, \eta)$.

Schwarzschild

En el caso de Schwarzschild, es bien sabido que la solución diverge en algunos lugares, por lo que la solución de la ecuación de Einstein$g_{Schwarzschild}$solo está bien definido en un subconjunto estricto$V \subset U$.$(V, g_{Schwarzschild})$es una variedad de Riemann bien definida, mientras que$g_{Schwarzschild}$no da una estructura riemanniana bien definida a$U$. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein todavía están bien definidas en$U$, que es lo que le permitió resolverlos en primer lugar.