¿Puedo calcular la masa de una moneda basándome en el sonido de su caída?

Entonces, decidí probarlo. Usé Audacity para grabar ~5 segundos de sonido que resultó cuando dejé caer un centavo, cinco, diez y veinticinco centavos sobre mi mesa, cada 10 veces. Luego calculé la densidad espectral de potencia del sonido y obtuve los siguientes resultados:

También registré 5 segundos en los que no dejé caer una moneda 10 veces para obtener una medición de fondo. En la trama, tracé las 50 trazas una encima de la otra con cada línea semitransparente.

Hay varias características que vale la pena notar. En primer lugar, hay algunos picos muy distintos, a saber, los cuartos de pico de 16 kHz y 9 kHz, así como el pico de níquel de 14 kHz. Pero, no parece que las frecuencias sigan una relación simple como la$\propto m^{-1/3}$escalando el resultado del orden de magnitud sugiere Floris.

Pero, yo tenía otra idea. En su mayor parte, podríamos hacer la suposición general de que la energía total radiada como sonido sería una fracción fija de la energía total de la colisión. Los detalles precisos de la fracción radiada como sonido seguramente dependerían de muchas variables fuera de nuestro control en detalle, pero en su mayor parte, para un conjunto de monedas estándar (que son todos varios metales similares) y una tabla dada , esperaría que esta fracción fuera bastante constante.

Dado que la energía de una moneda, si cae desde una altura fija, es proporcional a su masa, esperaría que la energía del sonido también sea proporcional a su masa. Entonces, esto es lo que hice. Integré las densidades espectrales de potencia y las ajusté en una relación lineal con respecto a la masa. Obtuve:

Hice un ajuste bayesiano para obtener una estimación de los errores. A la izquierda, estoy trazando la distribución de probabilidad posterior conjunta para el$\alpha$parámetro de intersección y el$\beta$parámetro de pendiente, y a la derecha, estoy trazando la línea de mejor ajuste, así como$2\sigma$contornos a su alrededor a ambos lados. Para mis antecedentes, tomé los antecedentes de Jeffrey.

El modelo parece funcionar bastante bien, por lo que suponiendo que supiera la altura a la que caían las monedas y que ya hubiera calibrado las condiciones particulares de la mesa y el ruido en la habitación en cuestión, parecería que, a partir de una grabación del sonido que hizo la moneda. a medida que caía, podría esperar estimar la masa de la moneda dentro de una ventana de aproximadamente 2 gramos.

Para mayor especificidad, utilicé las siguientes monedas:

• centavo: 1970
• Níquel: 1999
• moneda de diez centavos: 1991
• Trimestre: 1995

Editar: Colapso de escala

Siguiendo a Floris, podemos comprobar para ver qué tan preciso es el modelo.$f \sim E^{1/2} m^{-1/3} \eta^{-1}$es. Usaremos los datos proporcionados y trazaremos nuestra densidad de potencia observada frente a una frecuencia escalada$f m^{1/3} \eta E^{-1/2}$. Obtenemos:

que se ve bastante bien. Para ver un poco mejor qué tan bien se superponen, reproduciré la trama pero introduciré un desplazamiento entre cada una de las monedas:

Es bastante impresionante lo bien que se alinean los espectros. En cuanto a los picos secundarios para la moneda de veinticinco centavos y el níquel, véase la idea de último momento de Floris.

Material de aterrizaje

Alguien en los comentarios preguntó qué sucede si cambiamos la cosa sobre la que caen las monedas. Entonces, hice algunas caídas en las que, en lugar de caer directamente sobre la mesa, hice que las monedas cayeran sobre una hoja de papel sobre la mesa. Si me preguntas, estos dos casos sonaron muy diferentes, pero sus espectros son muy similares. Esto fue para el trimestre. Notarás que los trazos en papel están notablemente debajo de los de la mesa.

Materiales de monedas

La composición real de la moneda parece tener un efecto bastante grande. A continuación, probé tres centavos diferentes, cada uno cayó 5 veces. Un centavo de latón de la década de 1970, un centavo de zinc de 2013 y un centavo de bronce de 1956.

monedas grandes

Con la esperanza de resolver mejor el segundo armónico, probé algunas otras monedas más grandes:

Observe que el dólar presidencial tiene un segundo armónico muy bien resuelto. Observe también que los dólares Susan B no solo se ven y se sienten como monedas de veinticinco centavos, sino que también suenan como monedas.

Repetibilidad

Por último, me preocupaba cuán repetible era todo esto. ¿Podría realmente esperar medir algunos de estos espectros y luego, dado el sonido de una moneda cayendo, determinar qué monedas estaban presentes, o tal vez, como en la espectroscopia, decir las proporciones de las monedas presentes en la caída? Lo último que intenté fue dejar caer 10 centavos a la vez y 10 centavos a la vez para ver qué tan bien resueltos estaban los espectros.

Si bien es justo decir que todavía podemos resolver muy bien el pico de centavo, parece que las monedas de cinco centavos en el mundo real tienen muchas variaciones. Para obtener más información sobre las monedas de cinco centavos, consulte la segunda respuesta de Floris.

Si tiene las dimensiones y el material de un objeto, puede calcular tanto la masa como los modos de vibración normales. Solo la masa no es suficiente: una "moneda" de papel grande tendrá una frecuencia fundamental diferente a la de una pequeña esfera de tungsteno.

Un resumen de todo lo que viene a continuación: el resultado de varias ediciones e incluye una buena interacción con la otra respuesta de alemi:

La relación entre la frecuencia fundamental del "ping" de una moneda y su masa viene dada (aproximadamente) por

$$m \propto \frac{t\sqrt{E}}{f^{1/3}D}$$ dónde

$E$= módulo de Young
$t$= espesor
$m$= masa de la moneda
$D$= diámetro de la moneda
$f$= frecuencia fundamental

Aquí están los detalles de cómo llegué allí...

Si asume que todas las "monedas" tienen la misma relación de aspecto (relación entre diámetro y grosor) y están hechas del mismo material, entonces es posible calcular la relación entre la frecuencia fundamental y la masa. Del análisis dimensional, si asumimos que la frecuencia es una función de

• $\eta$: relación de aspecto (adimensional: inicialmente asumida constante para todos, ignorada)
• $D$: diámetro ($\text{m}$)
• $\rho$densidad ($\text{kg}/\text{m}^3$)
• $E$: módulo ($\text{kg}/\text{m s}^2$)

Entonces la combinación de lo anterior que nos da unidades de$1/s$es

$$f = \text{const} \cdot \frac{1}{D} \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

Combinando esto con la masa del objeto que es proporcional con$\rho D^3$, entonces suponiendo$\rho$es constante (así que podemos sacarlo de la ecuación) obtenemos

$$f = \text{const} \cdot m^{-1/3}E^{1/2}\\ m = \text{const} \cdot E^{3/2}f^{-3}$$

En otras palabras, la masa disminuye con la tercera potencia de la frecuencia para monedas con el mismo material y relación de aspecto.

Pero no es así como funcionan las monedas estadounidenses. Del sitio web de la menta de EE . UU ., extraje lo siguiente:

                                               Aspect
coin      mass  diameter thickness  material    ratio
penny    2.500    19.05     1.52       Zn*      12.53
nickel   5.000    21.21     1.95      Cu-Ni     10.88
dime     2.268    17.91     1.35      Cu-Ni     13.27
quarter  5.670    24.26     1.75      Cu-Ni     13.86
old 1c.  3.11     19.05     1.52     Bronze.    12.53
* copper plated...

Entonces, el material no es siempre el mismo, y tampoco lo es la relación de aspecto. Eso hará que sea un poco difícil probar o refutar la relación.

Aún así, vamos a intentarlo. De los datos experimentales ( respuesta de @alemi ) leí las frecuencias fundamentales de la siguiente manera:

penny    12.6
nickel   12.4
dime     12.8
quarter   9.2

Ahora, los dos interesantes son el cuarto y el centavo, ya que tienen el mismo material y la relación de aspecto más similar (13,3 frente a 13,9, por lo que solo hay una diferencia del 5%). De la razón de sus masas (2.500), esperaríamos que la razón de frecuencias sea 0.74 ($2.5^{-1/3}$). Y la relación observada es 0.72. Eso es realmente bastante cerca...

Dicho de otra manera: si conocieras las frecuencias de la moneda de diez centavos y de la moneda de veinticinco centavos, y tuvieras que estimar la masa de la moneda de veinticinco centavos a partir de la moneda de diez centavos, obtendrías

$$\begin{align}\\ m &= 2.268 * \left(\frac{12.8}{9.2}\right)^3\\ &= 6.11\end{align}$$

que es un error de alrededor del 7% o menos de 0,5 g. Creo que es espectacular dado que hay una diferencia de factor 2.5 entre la moneda de diez centavos y la moneda de veinticinco centavos.

Animado por este resultado, decidí ver si podía llegar a un acuerdo para las cuatro monedas dada su diferente relación de aspecto y material. Dado que tanto el bronce como las aleaciones de Cu-Ni tienen un amplio rango de módulo de Young, tuve que adivinar un poco (todos los valores en GPa):

material  range (GPa)  value (GPa)
bronze      96 - 120      110
Cu-Ni      120 - 156      120

A continuación, tuve que lidiar con la relación de aspecto. Después de pensar en esto, era plausible que una relación de aspecto más grande (moneda más delgada) tuviera una frecuencia más baja, así que decidí ver qué pasaba si hacía que la frecuencia dependiera de$1/\eta$. Esto condujo a la siguiente fórmula de "frecuencia esperada":

$$\text{expected} = \frac{\sqrt{E}}{m^{1/3}\eta}$$

Calculando esto con la nueva masa del centavo (3,11 g), obtuve el siguiente gráfico para la relación de cada una de las monedas:

En este gráfico, las estrellas rojas son los números (escalados para ajustarse al mismo gráfico) que se habrían obtenido sin tener en cuenta la relación de aspecto; los círculos azules corresponden a los valores con el$1/\eta$relación tenida en cuenta. Claramente esto mejoró el ajuste. Bastante convincente, dados los datos relativamente ruidosos...

IDEA TARDÍA

Hay múltiples frecuencias visibles en las grabaciones de sonido que mostró @alemi. Algunos de estos se explican fácilmente al observar los múltiples modos de una placa circular simple; consulte, por ejemplo , Waller, 1938 Proc. física Soc. 50 70 .

Dos imágenes de esa publicación: primero, los modos de vibración:

Y a continuación, sus frecuencias relativas:

Esto muestra que el primer armónico es 1,7 veces mayor que la frecuencia fundamental. Al observar los datos, vemos que, de hecho, es correcto: de hecho, para el trimestre estamos viendo incluso el segundo armónico (a 2,3x del fundamental).

La cuestión de la división de la frecuencia fundamental es un poco más complicada. Si alguna vez has jugado con una taza de café vacía, es posible que hayas notado que cuando golpeas el borde, el tono cambia dependiendo de si golpeas directamente desde el asa o con un desplazamiento de 45 grados desde allí. Esto se debe a que hay dos modos simétricos: uno en el que el identificador es un nodo y otro en el que es un antinodo. Este último tiene una frecuencia ligeramente más baja.

Algo similar puede ocurrir con el níquel: cuando miras la imagen de un níquel anterior a 2005, verás que hay más material en la dirección norte-sur y este-oeste. Esto significa que hay dos modos de vibración: el de los nodos en azul y el de los nodos en rojo:

Obviamente, cuando las líneas azules son los nodos, la frecuencia será ligeramente superior.

LITERATURA

Encontré un documento donde esto se discute con más detalle; en términos generales, está de acuerdo con todo lo dicho anteriormente, e incluso se le ocurrieron valores muy similares para las frecuencias (medidas y modeladas). Puede leerlo en http://me363.byu.edu/sites/me363.byu.edu/files/Emerson_Steed_CoinIdentification.pdf

Curiosamente, los autores no pudieron capturar el sonido del centavo, aunque su modelo sugirió una frecuencia cercana a la que midió @alemi (13,1 kHz). Mostraron el primer modo de vibración como

que es una bonita y colorida representación en 3D del modo descrito por el artículo de Waller de 1938.

Esto no es un anuncio.

Bajo la rúbrica de "pruebe esto en casa", quería compartir una cosa más que descubrí después de escribir mi respuesta anterior, pero no tiene nada que ver con esa respuesta que pensé que era mejor escribir esto como una publicación separada.

Descubrí dos cosas interesantes. Primero, cuando haces girar una moneda sobre una superficie dura, "suena" con las frecuencias características que @alemi observó durante una caída. En segundo lugar, por tres dólares puedes obtener una aplicación en tu iPhone que visualiza esto de forma hermosa. Normalmente no conecto un producto (mi única relación con el creador de la aplicación es que la compré...), pero aquí voy... La aplicación se llama "SignalSpy"; solo ha estado en la App Store durante unos días y aún no tiene reseñas. Tiene cuatro modos diferentes: osciloscopio, espectro, niveles y espectrograma. Aunque los cuatro modos son interesantes, encontré que el espectrograma funcionó mejor para estos experimentos. Aquí hay un ejemplo de una captura de pantalla que tomé cuando hice girar cuatro monedas de oro diferentes (la moneda holandesa de 10 florines, la misma moneda, pero de diferentes años):

En este gráfico, el eje del tiempo se mueve hacia la izquierda, por lo que los espectros nuevos aparecen a la derecha y los espectros más antiguos se "desvanecen" a la izquierda. Puedes ver que hice girar algunas monedas diferentes: las últimas cuatro bandas son las cuatro monedas diferentes giradas una tras otra. La mayoría de las cosas son bastante repetibles: la frecuencia fundamental es una banda brillante alrededor de 8,2 kHz, hay una banda débil en 11, luego un grupo de bandas alrededor de 17,5 a 19 kHz.

Para que este experimento funcione correctamente, coloqué el teléfono sobre una encimera de granito en una habitación tranquila. Hice girar las monedas a unas 6 pulgadas del borde inferior del teléfono (donde está el micrófono en el iPhone 5); más cerca y el "ruido" de la moneda rodando en la superficie domina el espectro. A esta distancia, estaba obteniendo frecuencias modales muy bien resueltas.

Repetí este experimento con 31 tipos diferentes de monedas: la ventaja de viajar mucho. Algunas monedas son sorprendentemente consistentes - los 10 yenes, los 2 dólares canadienses, el medio shekel,... - mientras que otras son bastante variables. El que realmente se destacó fue el níquel estadounidense. En particular, la "división de modos" que se observó anteriormente es bastante desconcertante. En algunas monedas de cinco centavos, no aparece en absoluto; en otros, es muy significativo. Esto sugiere que mi explicación anterior (modos relacionados con el relieve de la moneda) no puede ser la historia completa. Y sí, verifiqué que la orientación de la cara y el edificio (Monticello) sea consistente en todas las monedas.

He tratado de medir si había una diferencia en la redondez (una forma elíptica causaría la división del modo) o en la planaridad (si la moneda no es plana, esperaría la división del modo). Dentro de la precisión de mi calibrador digital (nominalmente 0,01 mm), no pude ver ningún efecto obvio que pudiera rastrear a ninguno de estos, pero intentaré repetir este experimento cuando tenga acceso a un equipo de medición más preciso, ambos para medir dimensiones y pesos. Eso podría ser un tiempo sin embargo.

Déjame mostrarte cómo se ven los espectros de una colección de monedas de cinco centavos (ordenadas aproximadamente por un grado de división):

No hice girar las 20 monedas en rápida sucesión; de hecho, esta es una combinación de varias capturas de pantalla que tomé en mi teléfono y agregué la escala más grande a la izquierda para ayudar a medir las posiciones máximas.

Descubrí un hecho interesante sobre el níquel: por ley, se permite que su peso varíe bastante, con una masa nominal de 5.000 gramos, tiene una tolerancia permitida de 0.194 gramos (ver http://www.law.cornell. edu/uscode/text/31/5113 ). No he tenido la oportunidad de obtener las especificaciones detalladas de todas las monedas que medí; cuando lo haga, evaluaré mi fórmula anterior y veré si la fórmula que obtuve anteriormente se mantiene en una amplia gama de tamaños y materiales. Espero que las relaciones de aspecto sean lo suficientemente diferentes como para poder explorar si el "lineal en$\eta$"la suposición es cierta o no.

Estoy compartiendo esto con la esperanza de que otros comiencen a experimentar: este es un experimento realmente fácil y genial de hacer. La aplicación también funciona en el iPad.

No pretendo quitarle nada a las excelentes respuestas anteriores, pero la respuesta "simple y al grano" es, muy calificada, sí.

Por calificado, quiero decir que uno debe conocer la composición, el grosor, el diámetro (o la forma), la distribución de la densidad, el país de fabricación, etc. de la moneda. Si hacemos suposiciones y restricciones, entonces es posible calcular la masa de la moneda (hasta cierto punto). grado de precisión), a partir de su frecuencia "ping". La fórmula a utilizar, es la proporcionada por Floris.

Creo que la pregunta principal está relacionada de alguna manera con la ecuación de energía.$E=m c^2=\hbar \nu$. A su vez, mi respuesta está relacionada con la pregunta Ondas elásticas 3D en un vaso . Mi primera impresión fue que la moneda presenta cierta deformación elástica después de la colisión y que esta deformación se puede analizar utilizando funciones propias. Realmente, se muestra el espectrograma de varias tazas y vasos probados con selecciones más altas relacionadas con los modos propios, como se muestra en la Figura 1.

Pero las monedas en realidad no siguen esta regla. El sonido del impacto de una moneda con algún objeto de madera, metal o piedra tiene una frecuencia muy baja en comparación con el modo principal, como se muestra en la respuesta de @alemi. También podemos usar pistas de sonido para distinguir monedas, no es tan preciso como en el caso de tazas o vasos. No obstante podríamos hablar de algún detector de monedas para hacer un sonido más relacionado con la moneda individual. Como detector podemos utilizar, por ejemplo, una caja metálica a modo de lata. Cuando ponemos una moneda en una lata y la agitamos, produce un sonido muy específico para cada moneda. Por ejemplo, probé 3 monedas canadienses: cuarto, 1 dólar de 2018 y 2 dólares de 2005 en una lata vacía de té Akbar Ceylon. Hay 3 pistas de sonido muy diferentes que se muestran en la Figura 2

Por lo tanto, podemos concluir que cada moneda produce un sonido específico pero no está relacionado solo con la masa. En la Figura 3 se muestra el equipo que he usado para mi experimento: lata vacía, computadora y monedas. Tenga en cuenta que las monedas canadienses de 1 dólar y 2 dólares tienen un diseño muy especial; vea la Figura 3. Sin embargo, trato de calcular los valores propios usando mi código publicado aquí ; vea la Figura 4. Los primeros 3 modos para Quarter y Loonie son muy parecidos (valores en Hz se muestran sobre las figuras) mientras que las masas difieren: 4,4 g y 6,27 g respectivamente. Es por eso que no podemos usar el sonido del impacto solo para distinguirlos. Por otro lado, tienen un sonido diferente en una lata; consulte la Figura 2.

Las monedas de diferente composición y forma darán diferentes sonidos. Consideremos la forma similar y la composición de la moneda, y cambiemos solo su masa. También cae desde la misma altura y sobre la misma superficie. Que la moneda sea metálica (hierro).

Cuando cae en la superficie producirá ruido. Por la ley de conservación de la energía, cuanto más pesada sea la moneda, más energía potencial se convertirá en energía cinética y, por lo tanto, más sonará al golpearla.

Por lo tanto, solo necesita medir su amplitud en decibles para conocer su sonido.

PD: también puede usar la duración del sonido, ya que también vibrarán y producirán sonido durante diferentes intervalos de tiempo.

PS2: Cambiar la composición de la moneda producirá diferentes frecuencias, que nuevamente se pueden medir fácilmente y luego calibrar por amplitud.