Positividad de residuos y unitaridad en amplitudes de dispersión

Véase QFT de Weiberg, vol. I, apartado 10.3, la ecuación siguiente 10.3.6. Limpiando un poco la notación y usando la normalización moderna de espinores junto con la convención métrica mayoritariamente negativa, el polo del propagador para un campo general es

$$\Delta_{\ell\ell'}(p)=\frac{|Z|^2}{p^2-m^2+i\epsilon} M_{\ell\ell'} \tag{1}$$ dónde $M$es la matriz de proyección habitual, $$M_{\ell\ell'}=\sum_\sigma u_\ell(p,\sigma)u^*_{\ell'}(p,\sigma) \tag{2}$$

Usando el hecho de que los vectores de polarización son siempre ortogonales entre sí (es decir,$u^\dagger v=0$), vemos eso

$$Mv=0 \tag{3}$$

Por otra parte, utilizando el hecho de que$u^\dagger u=|u|^2>0$, vemos eso

$$Mu=|u|^2u \tag{4}$$

Por lo tanto, como el$u,v$los vectores de polarización son una base, vemos que$M\ge 0$es una matriz no negativa (sus valores propios son cero o positivos).

Pero hay una sutileza escondida en$|u|^2>0$: los vectores de polarización

$$u(p)\equiv \langle 0|\psi(0)|p\rangle \tag{5}$$ tiene norma positiva si y solo si $|p\rangle$tiene norma positiva. Lo mismo puede decirse de los vectores de polarización de las antipartículas, definidos como $$v(p)\equiv \langle \bar p|\psi(0)|0\rangle \tag{6}$$ donde la barra indica antipartícula (carga opuesta). Los objetos $u,v$son los vectores de polarización habituales que se incluyen en las líneas externas de amplitudes de dispersión (en el caso de espín $j=1$partículas, la notación usual es $\varepsilon^\mu$, pero es el mismo concepto).

Por lo tanto, el residuo del propagador$M$es no negativo solo si el sector físico tiene norma positiva, es decir, si los estados asintóticos$|p\rangle$tener norma positiva. Si tienes una línea externa con$|u|^2<0$, entonces la matriz$M$se vuelve indefinido (ya no es no negativo).

Tenga en cuenta que en las teorías de calibre también hay estados no físicos, pero estos nunca deberían aparecer en líneas externas. Estos estados pueden tener una norma negativa. Por ejemplo, en el caso del giro$j=1$partículas, los vectores de polarización son similares al espacio, pero los estados longitudinales$\varepsilon^\mu=p^\mu$son como el tiempo. Pero si usamos$\varepsilon^\mu=p^\mu$en una línea externa, la amplitud es cero (por la identidad de Ward).

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Observación: los vectores de polarización$u,v$son sólo una base para el espacio físico de Hilbert. Los fantasmas son ortogonales a lo físico.$u,v$, y tienen norma negativa,$u^\ell u_\ell^*<0$. Como ejemplo, considere una vez más las polarizaciones longitudinales para espín$j=1$partículas: los vectores de polarización física son similares al espacio, mientras que la polarización longitudinal es similar al tiempo. Juntos, estos cuatro vectores abarcan$\mathbb R^4$, mientras que las polarizaciones físicas solo generan vectores similares al espacio.