¿Por qué las fuerzas conservativas deberían tener su rotacional igual a cero? (intuición)

"Curl" es un término matemático bastante bien llamado: denota el grado de "rotación" en el campo vectorial. Por esta razón, si recorre todo el recorrido de un campo vectorial, encontrará que la integral total a lo largo de ese camino dependerá del rotacional del campo en cuestión. Si una fuerza tuviera un rizo, podría dar la vuelta completa y hacer un trabajo neto, por lo que sería no conservativo. Una fuerza conservativa, por otro lado, se cancela a sí misma a medida que avanza en un circuito cerrado.

Piense en un campo lleno de rizos como un remolino: podría imaginarse dando vueltas y vueltas y aumentando la velocidad en él. Pero un campo sin rizos podría parecerse más a un río. Puedes fluir río abajo, pero si vas y vienes río abajo, pasas tanto tiempo subiendo como bajando, así que no puedes sacar nada de él. (Esta es una analogía altamente no matemática, pero así es como yo la considero).

Un campo de fuerza se llama conservativo si su trabajo entre cualquier punto$A$y$B$no depende del camino. Esto implica que el trabajo sobre cualquier camino cerrado (circulación) es cero. Esto también implica que la fuerza no puede depender explícitamente del tiempo. Considere, por ejemplo, una fuerza que decae en el tiempo en una línea recta. Elige un camino largo y cerrado. La magnitud del trabajo de$A$a$B$será mayor que de$B$a$A$conduciendo una circulación que no desaparece. Esto es cierto incluso si puede escribir esta fuerza como$\vec F(\vec r,t)=-\vec \nabla U(\vec r,t)$o$\vec \nabla\times\vec F(\vec r,t)=0$. Además, se puede demostrar que esto implicaría$\frac{dE}{dt}=\frac{\partial U}{dt}\neq 0$.

En cuanto al rizo, me gusta visualizarlo como una circulación infinitesimal. Permítanme tratar de elaborar la respuesta dada por zeldredge. Imagine un flujo de fluido bidimensional. Puede pensar en el rizo como una rueda de paletas infinitesimal colocada con su eje perpendicular al fluido. Siempre que el fluido lo hace girar, el rotacional es distinto de cero. La velocidad angular de la rueda de paletas da la magnitud del rotacional. No es difícil visualizar que esta paleta girará cuando se la coloque en un remolino y permanezca estática cuando se la coloque en el flujo laminar de un río. Cuando vas a campos vectoriales más abstractos, como los eléctricos o magnéticos, solo piensas en una rueda de paletas abstracta.

Para finalizar permítanme mencionar que un rotacional que se desvanece (incluso para una fuerza dependiente de una posición) no implica, en general, que la fuerza sea conservativa. Esas cosas son equivalentes sólo cuando el espacio está simplemente conectado . Cuando este no es el caso, los teoremas de Stokes y Green fallan y el rotacional cero no implica circulación cero. El ejemplo clásico es la fuerza bidimensional$\vec F(x,y)=\frac{-y\hat i+x\hat j}{x^2+y^2}$, que tiene rizo y circulación que se desvanecen$2\pi$alrededor de un círculo unitario con centro en el origen. Si este campo vectorial pretende ser un campo de velocidad de flujo, significa claramente que el fluido está girando alrededor del origen. Sin embargo, se vuelve más lento a medida que nos alejamos del origen. Imagina un camino cerrado infinitesimal,$l_1+l_2+l_3+l_4$, en coordenadas polares que no contienen el origen, como se muestra en la figura. Tenemos cero "trabajo" terminado$l_3$y$l_4$y cancelando mutuamente el "trabajo" sobre$l_1$y$l_2$. El camino más largo$l_2$compensar el flujo más lento.

el corazón de una fuerza siendo conservativa es que es integrable, que, si tenemos una fuerza${\vec F}$, entonces es posible encontrar un potencial$\phi({\vec x})$tal que${\vec F} = - {\vec \nabla}\phi$. La razón de esto es que si seleccionamos dos puntos$p$y$q$, queremos que la diferencia de energía entre los dos puntos sea$\phi(p) - \phi(q)$, y esto tiene que ser independiente de la ruta.

Sin embargo, resulta que para todas las funciones$f({\vec x})$, tenemos${\vec \nabla} \times \left({\vec \nabla}f\right) = 0$. Por lo tanto, si${\vec F}$es ser integrable, es necesario (pero no suficiente) que${\vec \nabla} \times {\vec F} = 0$

entonces, en esencia, independencia de ruta -> libre de rizos.

Solo para agregar a la respuesta de Jerry Schirmer, encuentro útil pensar en un potencial como una forma más compacta de expresar$\vec F$porque$\vec F$es tridimensional y$\phi$es unidimensional. Si$\vec F$es conservador, parece que solo contiene información de "una dimensión"; tiene cierta redundancia en su forma (es decir, no es su expresión más simple).

Por otro lado, podría tener algunas funciones enroscadas$\vec F$(en otras palabras,$\nabla\times\vec F\ne\vec0$) que no tienen una "versión compacta" correspondiente$\phi$.

De hecho, podría haber algunos potenciales$\phi$que no son más simples que sus correspondientes gradientes$\vec F$, pero, de nuevo, se trata más de intuición.

De wikipedia en curl:

https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(matemáticas)

Interpretación intuitiva:

Suponga que el campo vectorial describe el campo de velocidad de un flujo de fluido (como un gran tanque de líquido o gas) y una pequeña bola está ubicada dentro del fluido o gas (el centro de la bola está fijo en un cierto punto). Si la bola tiene una superficie rugosa, el fluido que pasa por ella la hará girar. El eje de rotación (orientado según la regla de la mano derecha) apunta en la dirección del rizo del campo en el centro de la pelota, y la velocidad angular de la rotación es la mitad de la magnitud del rizo en este punto.[8]

Eso me dice que, si sustituyes campo vectorial por campo de fuerza, y usas como "sonda" una pequeña bola que interactúa con el campo, entonces se mantendría el mismo principio, y la bola comenzaría a girar cada vez más rápido. Imagina que pintas una pequeña "X" en cualquier punto aleatorio de la pelota. Después de una rotación completa, la "X" volvería a su posición inicial, pero con mayor energía cinética. Eso es, por definición, imposible en un campo de fuerza conservativo, por lo que si ve que la bola gira (cuando su centro se mantiene fijo), no es un campo conservativo. Solo es conservador si la bola no gira, lo que significa que la magnitud del rotacional es cero.

Imagínese si la curvatura del campo gravitatorio no fuera cero. En principio, podríamos construir "turbinas de gravedad" alrededor del sol y generar electricidad infinita. El objetivo de las fuerzas conservativas es que no puedes quedarte (o terminar) en el mismo lugar con más energía que antes.