¿Por qué es tan importante el oscilador armónico?

El oscilador armónico es importante porque es una solución aproximada para casi todos los sistemas con un mínimo de energía potencial.

El razonamiento proviene de la expansión de Taylor . Considere un sistema con energía potencial dada por$U(x)$. Puedes aproximar$U$a$x=x_0$por

Para comenzar, tenga en cuenta que hay más de una encarnación de "el" oscilador armónico en la física, por lo que antes de investigar su significado, probablemente sea beneficioso aclarar de qué se trata.

¿Qué es el oscilador armónico?

Hay al menos dos encarnaciones fundamentales de "el" oscilador armónico en la física: el oscilador armónico clásico y el oscilador armónico cuántico . Cada uno de estos es algo matemático que se puede usar para modelar parte o la totalidad de ciertos sistemas físicos en un sentido exacto o aproximado según el contexto.

La versión clásica se encapsula en la siguiente ecuación diferencial ordinaria (EDO) para una función desconocida de valor real$f$de una variable real:

Cada encarnación de la oscilación armónica en la que puedo pensar en física se reduce a comprender cómo una de estas dos cosas matemáticas es relevante para un sistema físico particular, ya sea en un sentido exacto o aproximado.

¿Por qué son importantes estos modelos matemáticos?

En resumen, la importancia del oscilador armónico clásico y cuántico proviene de su ubicuidad: están absolutamente en todas partes en la física. Podríamos pasar una enorme cantidad de tiempo tratando de entender por qué esto es así, pero creo que es más productivo simplemente ver la omnipresencia de estos modelos con algunos ejemplos. Me gustaría comentar que aunque es ciertamente cierto que el oscilador armónico es un modelo simple y elegante, creo que responder a su pregunta diciendo que es importante debido a este hecho es una especie de petición de principio. La simplicidad no es una condición suficiente para la utilidad, pero en este caso, somos afortunados de que al universo realmente le "guste" este sistema.

¿Dónde encontramos el oscilador armónico clásico?

(¡Esta no es una lista exhaustiva, y las sugerencias para adiciones son más que bienvenidas!)

1. Misa en un resorte de la Ley de Hooke (¡el clásico!). En este caso, la ecuación del oscilador armónico clásico describe la ecuación exacta de movimiento del sistema.
2. Muchas (pero no todas) situaciones clásicas en las que una partícula se mueve cerca de un mínimo local de un potencial (como escribe Rob en su respuesta). En estos casos, la ecuación del oscilador armónico clásico describe la dinámica aproximada del sistema siempre que su movimiento no se desvíe apreciablemente del mínimo local del potencial.
3. Sistemas clásicos de osciladores acoplados . En este caso, si los acoplamientos son lineales (como cuando un grupo de masas están conectadas por resortes de la Ley de Hooke), se puede usar la magia del álgebra lineal (valores propios y vectores propios) para determinar los modos normales del sistema, cada uno de los cuales actúa como un solo clásico. oscilador armónico. Estos modos normales se pueden usar para resolver la dinámica general del sistema. Si los acoplamientos no son lineales, entonces el oscilador armónico se convierte en una aproximación para pequeñas desviaciones del equilibrio.
4. Análisis de Fourier y PDEs . Recuerde que las series de Fourier, que representan funciones periódicas en toda la línea real o funciones en un intervalo finito, y las transformadas de Fourier se construyen usando senos y cosenos, y el conjunto$\{\sin, \cos\}$forma una base para el espacio de solución de la ecuación del oscilador armónico clásico. En este sentido, cada vez que utiliza el análisis de Fourier para el procesamiento de señales o para resolver una PDE, solo está utilizando el oscilador armónico clásico en esteroides enormemente potentes.
5. Electrodinámica clásica . En realidad, esto se incluye en el último punto, ya que las ondas electromagnéticas provienen de la resolución de las ecuaciones de Maxwell, lo que en ciertos casos produce la ecuación de onda que se puede resolver mediante el análisis de Fourier.

¿Dónde encontramos el oscilador armónico cuántico?

1. Tome cualquiera de los sistemas físicos anteriores, considere una versión mecánica cuántica de ese sistema, y ​​el sistema resultante estará gobernado por el oscilador armónico cuántico. Por ejemplo, imagina un pequeño sistema en el que una partícula está atrapada en un potencial cuadrático. Si el sistema es lo suficientemente pequeño, dominarán los efectos cuánticos y se necesitará el oscilador armónico cuántico para describir con precisión su dinámica.
2. Vibraciones reticulares y fonones . (Un ejemplo de lo que afirmo en el punto 1 cuando se aplica a grandes sistemas de osciladores acoplados.
3. Campos cuánticos. Este es quizás el elemento más fundamental e importante en cualquiera de estas dos listas. Resulta que el modelo físico más fundamental que tenemos actualmente, a saber, el modelo estándar de la física de partículas, se basa en última instancia en la cuantificación de los campos clásicos (como los campos electromagnéticos) y en darse cuenta de que las partículas básicamente emergen de las excitaciones de estos campos, y estas excitaciones son modelado matemáticamente como un sistema infinito de osciladores armónicos cuánticos acoplados.

El oscilador armónico es común.

Aparece en muchos ejemplos cotidianos: péndulos, resortes, electrónica (como el circuito RLC ), ondas estacionarias en una cuerda, etc. Es trivial establecer demostraciones de estos fenómenos y los vemos constantemente.

El oscilador armónico es intuitivo

Podemos imaginar las fuerzas en sistemas como el péndulo o una cuerda pulsada. Esto hace que sea fácil de estudiar en el aula. Por el contrario, hay muchos ejemplos "cotidianos" que no son intuitivos, como el infame efecto Bernoulli que levanta un disco soplando aire hacia abajo . Estas paradojas son grandes acertijos, pero confundirían a (la mayoría) de los estudiantes principiantes.

El oscilador armónico es matemáticamente simple.

Las matemáticas son parte de la física. Al estudiar el movimiento armónico simple, los estudiantes pueden usar inmediatamente las fórmulas que describen su movimiento. Estas fórmulas son comprensibles: por ejemplo, la ecuación para la frecuencia muestra el resultado intuitivo de que al aumentar la rigidez del resorte aumenta la frecuencia. En un nivel más avanzado, los estudiantes pueden derivar las ecuaciones a partir de los primeros principios. La capacidad de resolver un problema de la vida real con tanta facilidad es una clara demostración de cómo la física usa las matemáticas.

La ingeniería también se beneficia enormemente. Muchos sistemas, incluso los muy complejos, son lineales. Los sistemas lineales complicados actúan como osciladores armónicos múltiples. Por ejemplo, una cuerda clavada vibra naturalmente a frecuencias que son múltiplos de su fundamental. Cualquier movimiento de la cuerda se puede representar como una suma de la vibración de cada componente, con cada componente independiente de otros componentes. Esta superposición nos permite modelar cosas como tocar la cuerda. Las placas circulares , las cámaras de guitarra, los rascacielos, las antenas de radio e incluso las moléculas son más complejas. Sin embargo, la superposición y otras herramientas de la teoría de sistemas lineales aún nos permiten tomaratajos en el cálculo y confiar en los resultados. Estos métodos de cálculo también son buenas herramientas de enseñanza para temas de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales.

Debido a que el oscilador armónico es un sistema familiar que está tan estrechamente relacionado con temas fundamentales en matemáticas, ciencias e ingeniería, es uno de los sistemas más estudiados y comprendidos.

Las otras respuestas ya cubren muchos de los aspectos más importantes. Una aplicación interesante es descubrir cómo la forma del oscilador armónico está conectada con la distribución gaussiana (normal), otra construcción matemática de uso frecuente. Podría haber sugerido esto a la lista de joshphysics, pero como requiere algunos detalles para apreciar, decidí convertirlo en una respuesta independiente (pero en realidad es más un comentario extenso).

Tomar$N$variables aleatorias independientes$X_i$, cada uno con varianza$\sigma$y, por simplicidad, significa$0$. Ahora la función característica para una distribución de probabilidad arbitraria$P_X$es$G_X(k) = \langle e^{ikX} \rangle = \int e^{ikx}P_X(x) \mathrm{d}x$. Escribiendo la exponencial en serie de Taylor (donde cortamos todos los términos más allá de la cuadrática)$e^{ikx} \approx 1 + ixk - \frac{1}{2}x^2k^2$, tenemos$G_X(k) \approx 1 - \frac{1}{2}\sigma^2k^2$.

Ahora defina una nueva variable aleatoria$Z = \frac{\sum_{i=1}^N X_i}{\sqrt{N}}$, asi que$G_Z(k) = \left(G_X\left(\frac{k}{\sqrt{N}}\right)\right)^N \approx \left(1 - \frac{\sigma^2k^2}{2N}\right)^N$y como$N\to\infty$(todos los términos de orden superior en la caída de la suma) tenemos por definición,$G_Z(k) = e^{-\frac{1}{2}\sigma^2k^2}$, que luego da la distribución gaussiana

Esta es una derivación simplista del teorema del límite central, que es de gran importancia en varias áreas de la ciencia y probablemente se encuentre entre los resultados más fundamentales de la estadística.

Tenga en cuenta que en la derivación todos los términos de orden superior se eliminaron (como$N\to\infty$), y el único que quedaba era el término cuadrático, armónico. Esto sucede regularmente en aplicaciones en diferentes dominios, pero realmente no puedo nombrar una razón fundamental por la que debería ser así.

Creo que la respuesta de Rob es bastante inclusiva y verdadera. Solo quiero agregar algo. Si expande el potencial a través de la serie de Taylor, la segunda derivada busca un vector tangencial en el punto$x_0$que es el punto mínimo de la curva, por lo que es cero. Entonces, tenemos un potencial de la forma$\frac{1}{2}k(x-x_0)^2$que hemos desplazado el origen de x a la ubicación de$x_0$. Entonces aproximaríamos la curva del potencial a una parábola. Eso hace que el oscilador armónico sea importante para la física.