¿Por qué el principio de incertidumbre de Heisenberg no es válido en ondas en cuerdas?

Creo que has entendido mal el significado de la ecuación.

$$\Delta X \Delta P \geq \hbar / 2 \, .$$ Esto no es sorprendente dado que la notación utilizada aquí es realmente engañosa . deberia escribirse asi

$$\sigma_X \sigma_P \geq \hbar / 2 \, .$$

Para entender esto tenemos que explicar lo que$\sigma_X$y$\sigma_P$significar. Suponga que tiene un pulso de onda en un punto fijo específico en el tiempo. Puede describir este pulso como una función de la posición$f(x)$. Ese pulso tiene algo de ancho; puede ser muy estrecha o muy afilada. Una forma común de caracterizar este ancho es con la varianza definida como

$$\text{variance} \equiv \int f(x) (x - \mu)^2 \, dx$$ dónde $\mu$es el valor medio de $x$como ponderado por $f(x)$, definido como $$\mu \equiv \int x f(x) dx \, .$$ A partir de ahora, supongamos que establecemos las coordenadas de modo que $\mu=0$y tenemos $$\text{variance} \equiv \int f(x)x^2 \, dx \, .$$ Nuevamente, la variación es solo una caracterización de qué tan ancho es el pulso. También definimos la "desviación estándar" del pulso como $$\text{standard deviation} \equiv \sigma_x \equiv \sqrt{\text{variance}} \, .$$

El mensaje para llevar a casa aquí es que$\sigma_x$es solo una medida del ancho del pulso. Vea el diagrama. También puede pensar en esto como la "incertidumbre en la posición del pulso", pero esa interpretación particular realmente tiene más sentido en el caso cuántico donde tiene una función de onda que representa la amplitud de probabilidad para encontrar una partícula en varias posiciones.

El principio de incertidumbre de Heisenberg relaciona el ancho de este pulso$\sigma_X$a la incertidumbre en el impulso del pulso (o velocidad si lo desea)$\sigma_P$. Así que ahora ves que la velocidad real de la onda no es lo que está involucrado en el principio de incertidumbre; más bien es la incertidumbre en la velocidad que entra.

Ahora, para ir un poco más allá, pensemos más en lo que$\sigma_P$en realidad significa. Puedes volver a expresar la función de onda$f(x)$en función del vector de onda a través de la transformada de Fourier

$$\tilde{f}(k) \equiv \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i k x} \, dx \, .$$

Esta función te dice cómo descomponer el pulso en ondas, cada una de las cuales tiene un impulso específico.$p = \hbar k$. El principio de incertidumbre de Heisenberg dice precisamente que el ancho de esta nueva función, multiplicado por el ancho de la función de onda de posición original, debe ser igual o mayor que$\hbar/2$.

Importante: si te olvidas del momento y hablas solo de posición y vector de onda, obtienes una relación que se cumple para cualquier función$f$y no tiene absolutamente nada que ver con la mecánica cuántica:

$$\sigma_x \sigma_k \geq 1/2 \, .$$

Si lo desea, puede pensar en esto como el límite clásico de la relación de incertidumbre de Heisenberg, pero nuevamente, en realidad es solo una declaración matemática sobre las formas de las ondas.

Su situación es un poco confusa ya que la velocidad del paquete de ondas no está relacionada con el impulso. Si quiere hablar sobre el principio de incertidumbre de las ondas clásicas, el 'momento' es proporcional a la longitud de onda inversa$\lambda^{-1}$. En esta situación la velocidad de la onda no depende de la longitud de onda, solo cosas como la densidad del medio. Entonces, aunque la velocidad de la onda es más lenta, eso no tiene nada que ver con la dispersión en las longitudes de onda necesarias para construir un pulso (en un sentido de Fourier), y por lo tanto no tiene nada que ver con la dispersión en el 'momento'.

De hecho, puede convencerse intuitivamente de que si el paquete de ondas tiene una longitud más corta$\Delta x$necesitará comparativamente más longitudes de onda cortas para componerlo. Entonces, de hecho, hay un impulso comparativamente más alto (y una dispersión en el impulso) en el paquete de ondas más corto y se mantiene la versión clásica del principio de incertidumbre.

Editar: lo que quiero decir es que tienes un paquete de ondas que es una superposición lineal de un montón de ondas planas con diferentes longitudes de onda. Ahora supongamos que escala este paquete de ondas para que tenga la mitad de la extensión lineal$\Delta x$(puede definir esto como desviación estándar, o el soporte si es finito, o como sea) pero la misma forma. Es intuitivo que esta será la superposición de la misma distribución de ondas planas cada una con la mitad de la longitud de onda anterior. Dado que la longitud de onda se reduce a la mitad, el 'momento'$\lambda^{-1}$se duplica Es por eso que aumenta el impulso y un producto$\Delta x \Delta p$aparece en la relación de incertidumbre.