¿Podríamos enviar a un hombre a salvo a la Luna en un cohete sin conocimientos de relatividad general?

El problema con la mecánica orbital es que rápidamente se vuelve excesivamente complicada y difícil de entender intuitivamente. Sin embargo, creo que hay una forma razonablemente sencilla de mostrar el poco efecto que GR tiene en una órbita de transferencia Tierra-Luna. Pero esto requiere un poco de preparación, así que tengan paciencia conmigo mientras doy una breve introducción.

Espero que todos los que lean este sitio sepan que la energía potencial gravitatoria viene dada por la ley de Newton:

$$V(r) = -\frac{GMm}{r}$$

La energía potencial gravitacional se debe a la fuerza de atracción gravitacional, pero para un objeto en órbita también hay una fuerza centrífuga (ficticia) que lo empuja hacia afuera. Si calculamos la energía potencial debida a la fuerza centrífuga y la sumamos a la energía potencial gravitacional obtenemos una energía potencial efectiva:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} \tag{1}$$

dónde$L$es el momento angular, que es una constante para un objeto en órbita (porque el momento angular se conserva en un campo central). si calculamos$V_{eff}$para un objeto en una órbita de transferencia Tierra-Luna obtenemos un gráfico como este:

La órbita circular estable se encuentra en el mínimo del potencial, es decir, a unos 384.400 km, lo que es tranquilizador ya que esta es la distancia entre la Tierra y la Luna. Hasta aquí todo bien.

Pero cuando incluimos los efectos de la Relatividad General encontramos que modifica la ecuación del potencial efectivo. Los detalles se dan en el artículo de Wikipedia sobre geodésicas de Schwarzschild , pero saltemos los detalles y solo demos la ecuación para$V_{eff}$incluyendo efectos relativistas:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GML^2}{c^2mr^3} \tag{2}$$

Entonces, incluir efectos relativistas solo agrega un tercer término en$r^{-3}$.

Ahora calculamos la posición de la órbita estable encontrando el mínimo de$V_{eff}$es decir, calculamos$dV/dr$, póngalo a cero y resuelva la ecuación resultante para$r$. Haciendo esto para el potencial newtoniano (1) nos da:

$$r = \frac{L^2}{GMm^2} \tag{3}$$

Encontrar el mínimo de la expresión relativista (2) es un poco más complicado ya que terminamos con una cuadrática para resolver, pero un poco de manipulación termina con:

$$r = \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{12G^2M^2m^2}{L^2c^2}} \right)$$

y podemos aproximar la raíz cuadrada usando el teorema del binomio para obtener:

$$\begin{align} r &\approx \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + 1 - \frac{6G^2M^2m^2}{L^2c^2} \right) \\ &\approx \frac{L^2}{GMm^2} - \frac{3GM}{c^2} \tag{4} \end{align}$$

Y comparando nuestras distancias newtonianas (3) y relativistas (4) calculadas, encontramos que la diferencia entre ellas es:

$$\Delta r \approx \frac{3GM}{c^2} \approx 1.3 \text{cm}$$

Así que esa es la diferencia que hace la relatividad general en la órbita de transferencia calculada entre la Tierra y la Luna: ¡alrededor de 1,3 cm!

El Laboratorio de Propulsión a Chorro ha incorporado efectos relativistas generales en su integración numérica de los planetas desde mediados hasta finales de la década de 1960. Por ejemplo, las efemérides JPL DE19, lanzadas en 1967, incorporaron efectos relativistas en su modelado del sistema solar.

Esto no ayudó mucho. Si hubieran ignorado los efectos relativistas, habría habido poco efecto. Los errores en esas efemérides JPL más antiguas se acumularon rápidamente y se degradaron hasta la inutilidad en solo unos pocos años. La mayoría de estos errores se debieron a capacidades computacionales extremadamente malas (su computadora portátil / computadora doméstica es mucho más poderosa que la supercomputadora más grande de la década de 1960) y mediciones bastante malas (JPL Deep Space Network todavía estaba en su infancia).

Otras partes de la NASA, incluidas otras partes del JPL, no incorporaron efectos relativistas en la propagación de su nave espacial. No tenía mucho sentido. En la década de 1960, el modelo de la NASA del campo de gravedad de la Tierra era un modelo de armónicos esféricos de 4x4, y el de la Luna, un modelo de gravedad esférica simple. (Compare eso con el modelo de gravedad terrestre 2159x2159 EGM2008 y el modelo de gravedad lunar 900x900 GRGM900C). Los errores inducidos por estas limitaciones conocidas empequeñecen el error al no modelar esos pequeños efectos relativistas.

En 1968, la NASA estaba bastante sorprendida por los errores de 2 kilómetros que estaban viendo en sus sondas lunares y en el vuelo de 1968 del Apolo 8. Esto fue algo que la NASA persiguió. Resulta que el lado cercano de la Luna tiene cinco grandes concentraciones de masa que se burlan de ese modelo simple de gravedad esférica. Este problema valió la pena corregirlo.

¿No está modelando efectos relativistas? En muchos casos, eso todavía no vale la pena corregirlo. Hasta hace muy poco, fui el arquitecto clave de gran parte del software de mecánica orbital utilizado en el Centro Espacial Johnson de la NASA. Solicité anualmente poder agregar efectos relativistas a nuestros cálculos gravitacionales. Esa solicitud fue rechazada todos los años. Pregunté porque quería incluirlo, no porque sea importante para modelar el comportamiento de las naves espaciales.

La relatividad general tiene un efecto minúsculo en las naves espaciales. No están despiertos lo suficiente como para ver cómo crecen los errores que resultan de ignorar esos efectos. Ignorar los efectos relativistas induce un minúsculo error en el estado propagado, uno que está completamente inundado por otros errores. Por ejemplo, en el caso de un vehículo en órbita terrestre baja, las incertidumbres en la atmósfera superior de la Tierra son enormes. Una pequeña llamarada solar es todo lo que se necesita para hacer que la atmósfera superior de la Tierra se hinche como un globo. No tiene sentido modelar los efectos relativistas cuando la resistencia es varios órdenes de magnitud más alta y cuando tienes la suerte de conocer la resistencia con dos puntos de precisión.

En el caso de que un vehículo vaya a la Luna oa otro planeta, los errores en los sistemas de guía, navegación y control vuelven a anular los efectos de ignorar la relatividad. Estos errores, junto con otros, deben corregirse para que la nave espacial no pierda el objetivo. Cada nave espacial que va a algún otro cuerpo del sistema solar necesita hacer al menos una corrección a mitad de camino en el camino. En el peor de los casos, ignorar los efectos relativistas simplemente significa tener que aportar un poco de combustible adicional para esas correcciones a mitad de camino.

Algunas comprobaciones de cordura sin calcular nada en realidad:

Primero, el error debido a descuidar la relatividad general es tan pequeño que no afectó la predicción de los eclipses lunares y en realidad no se notó en ningún lugar excepto en la órbita de Mercurio (al menos no hasta que construyeron experimentos específicos para detectar discrepancias menores). Sé que esto no da una respuesta completamente satisfactoria, pero la luna y nuestros cohetes siguen las mismas leyes físicas y si la mecánica de Kepler es lo suficientemente buena para la luna, es lo suficientemente buena para el cohete.

En segundo lugar, la precisión de la fuerza y ​​la duración del empuje de los cohetes, especialmente hace medio siglo, era limitada. Las precisiones en la ingeniería de maquinaria bruta (que definitivamente califica como un cohete que quema combustible sólido) son optimistas alrededor de tres decimales, lo que es mucho peor que la precisión con la que se verificó experimentalmente la dinámica newtoniana.

En tercer lugar, se realizan ajustes de rumbo durante el vuelo para corregir la trayectoria y llegar al destino correcto. Así que no confiamos en un lanzamiento extremadamente preciso para eliminar la acumulación de errores.

En resumen, los efectos de la relatividad general se ven completamente eclipsados ​​por las imperfecciones de la maquinaria de metal duro, las cantidades de combustible mal medidas, las impurezas del combustible, las irregularidades de la combustión, la turbulencia y la aerodinámica general en la atmósfera durante el lanzamiento, el peso de la carga útil determinado incorrectamente, excrementos de pájaros en el parabrisas, etc. en. Dado que llegamos a la luna con tecnología steampunk , la relatividad general puede ignorarse con seguridad para los viajes espaciales, al menos si estás lo suficientemente lejos de una estrella.

Eso, por supuesto, no significa que la relatividad general no se note en otros lugares. El GPS definitivamente se ve afectado por esto, y nuestro cronometraje también es lo suficientemente preciso como para detectar una diferencia en el tiempo si escalas una montaña y vuelves a bajar.

Voy a empezar a rodar la pelota en este caso. Mi conocimiento de GR probablemente no sea lo suficientemente bueno como para hacer de esta una respuesta verdaderamente satisfactoria ...

La aceleración gravitatoria de un objeto que se mueve radialmente a velocidades no relativistas en la métrica de Schwarzschild se modifica por un factor$(1 - r_s/r)(3[1-r_s/r] -2)$, dónde$r_s = 2GM/c^2 = 0.00885 m$para la tierra

Si tomamos una órbita terrestre baja de unos pocos cientos de kilómetros, el factor es$0.999999995$. Porque en algún lugar entre la Tierra y la luna es$0.9999999998$.

Entonces, si hace algo tonto como usar una ecuación de aceleración uniforme durante 3 días, entonces la inexactitud posicional (radial) que resulta proviene de los tiempos del campo gravitatorio$t^2$multiplicado por los factores anteriores. Creo que el segundo factor es más realista ya que la mayor parte del tiempo se pasó entre la Tierra y la Luna. El campo gravitatorio aquí es del orden de 0,02 m/s$^2$, dando un error de posición de orden de magnitud después de un vuelo de 3 días de 0,3 metros, o un poco más grande si se pasa más tiempo en un campo gravitatorio más fuerte.

Tangencialmente, supongo que podemos hacer un cálculo de orden de magnitud usando la dilatación del tiempo métrica de Schwarzschild para la Tierra en la órbita de la luna. En primer orden, un reloj en la Luna corre más rápido que uno en la superficie de la Tierra a una velocidad de$(1- r_s/r)^{-1/2}$, dónde$r \sim 6,400\ km$. Multiplicando esto por 3 días, se obtiene un error temporal de 0,2 milisegundos, tiempo durante el cual la luna se ha movido (con respecto a la Tierra) unos 0,2 metros.

Entonces, este cálculo extraordinariamente aproximado parece indicar que GR no es motivo de preocupación aquí. Pero estoy seguro de que alguien puede hacer un trabajo más preciso. En cualquier caso, no creo que la premisa de la pregunta sea correcta, ya que las correcciones de vuelo en tránsito y en órbita podrían y se hicieron (varias veces) durante los vuelos de Apolo.

Considere que no sería particularmente difícil hacer un aterrizaje tipo Apolo si cada una de sus medidas relativas de velocidad, rango y ángulo estuvieran desviadas en +/- 5%.

Simplemente podría hacer pequeñas correcciones iterativas en el camino, hasta que los valores absolutos fueran lo suficientemente pequeños como para que los errores relativos fueran intrascendentes. En el peor de los casos, necesitaría llevar algo más de margen de seguridad en el combustible.

Absolutamente podríamos, y de hecho, sospecho fuertemente que la Relatividad General nunca se usó en el programa Apolo. por un lado, las computadoras de navegación a bordo no eran lo suficientemente poderosas para realizar ningún cálculo útil con GR.

por otro lado, es posible medir la posición de la luna con una precisión de unos pocos centímetros (mucho más preciso de lo que se necesita para llevar una nave espacial allí de manera segura) y ciertamente es necesario usar GR para modelar esos datos con precisión.